湖南省長沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學2024屆數(shù)學高一上期末考試試題含解析

湖南省長沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學2024屆數(shù)學高一上期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知全集，集合1，2，3，，，則A.1， B.C. D.3，2．函數(shù)與（且）在同一坐標系中的圖象可能是（）A. B.C. D.3．設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則4．對于函數(shù)，，“”是“的圖象既關于原點對稱又關于軸對稱”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．如圖，在正四棱柱中底面是正方形的直棱柱，側棱，，則二面角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°6．已知是銳角三角形，，，則A. B.C. D.與的大小不能確定7．福州新港江陰港區(qū)地處福建最大海灣興化灣西北岸，全年全日船泊進出港不受航道及潮水的限制，是迄今為止“我國少有、福建最佳”的天然良港.如圖，是港區(qū)某個泊位一天中6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）A.5 B.6C.8 D.108．＝A.－ B.C.－ D.9．兩直線2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交點在y軸上，那么k的值是A.-24 B.6C.±6 D.±2410．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為______.12．據(jù)資料統(tǒng)計，通過環(huán)境整治.某湖泊污染區(qū)域的面積與時間t（年）之間存在近似的指數(shù)函數(shù)關系，若近兩年污染區(qū)域的面積由降至．則使污染區(qū)域的面積繼續(xù)降至還需要_______年13．一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為2cm，則球的表面積為_____________14．下列說法正確的序號是__________________.（寫出所有正確的序號）①正切函數(shù)在定義域內是增函數(shù)；②已知函數(shù)的最小正周期為,將的圖象向右平移個單位長度,所得圖象關于軸對稱,則的一個值可以是；③若,則三點共線；④函數(shù)的最小值為；⑤函數(shù)在上是增函數(shù),則的取值范圍是.15．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，為常數(shù)），則=_________.16．已知，，則________.（用m，n表示）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為.（1）求函數(shù)的解析式，及當時，的值域；（2）當時，總有，使得，求實數(shù)m的取值范圍.18．已知二次函數(shù)，關于x的不等式<0的解集為（1）求實數(shù)m、n的值；（2）當時，解關于x的不等式；（3）當是否存在實數(shù)a，使得對任意時，關于x的函數(shù)有最小值-5.若存在，求實數(shù)a值；若不存在，請說明理由19．已知A(2,0)，B(0,2)，，O為坐標原點（1），求sin2θ的值；（2）若，且θ∈(－π,0)，求與的夾角20．已知圓的方程為：（1）求圓的圓心所在直線方程一般式；（2）若直線被圓截得弦長為，試求實數(shù)的值；（3）已知定點，且點是圓上兩動點，當可取得最大值為時，求滿足條件的實數(shù)的值21．已知函數(shù)，.（1）若在上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）求關于的不等式的解集.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】可求出集合B，然后進行交集的運算，即可求解，得到答案【題目詳解】由題意，可得集合，又由，所以故選C【題目點撥】本題主要考查了集合的交集運算，其中解答中正確求解集合B，熟記集合的交集運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、B【解題分析】分析一次函數(shù)的單調性，可判斷AD選項，然后由指數(shù)函數(shù)的單調性求得的范圍，結合直線與軸的交點與點的位置關系可得出合適的選項.【題目詳解】因為一次函數(shù)為直線，且函數(shù)單調遞增，排除AD選項.對于B選項，指數(shù)函數(shù)單調遞減，則，可得，此時，一次函數(shù)單調遞增，且直線與軸的交點位于點的上方，合乎題意；對于C選項，指數(shù)函數(shù)單調遞減，則，可得，此時，一次函數(shù)單調遞增，且直線與軸的交點位于點的下方，不合乎題意.故選：B.3、D【解題分析】由空間中直線、平面的位置關系逐一判斷即可得解.【題目詳解】解：由a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，知：在A中，若，，則或，故A錯誤；在B中，若，，則，故B錯誤；在C中，若，，則或，故C錯誤；在D中，若，，，則由面面垂直的判定定理得，故D正確；故選：D【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，屬中檔題4、C【解題分析】由函數(shù)奇偶性的定義求出的解析式，可得出結論.【題目詳解】若函數(shù)的定義域為，的圖象既關于原點對稱又關于軸對稱，則，可得，因此，“”是“的圖象既關于原點對稱又關于軸對稱”的充要條件故選：C.5、C【解題分析】連接AC，BD，交點為O，連接，則即為二面角的平面角，再求解即可.【題目詳解】解：連接AC，BD，交點為O，連接，∵，，，∴平面，即即為二面角的平面角，∵四棱柱中底面是正方形的直棱柱，，，∴，則，∴.故選：C【題目點撥】本題考查了二面角的平面角的作法，重點考查了運算能力，屬基礎題.6、A【解題分析】分析：利用作差法，根據(jù)“拆角”技巧，由三角函數(shù)的性質可得.詳解：將，代入，，可得，，由于是銳角三角形，所以，，，，所以，，綜上，知．故選A點睛：本題主要考查三角函數(shù)的性質，兩角和與差的三角函數(shù)以及作差法比較大小，意在考查學生靈活運用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.解答本題的關鍵是運用好“拆角”技巧.7、C【解題分析】從圖象中的最小值入手，求出，進而求出函數(shù)的最大值，即為答案.【題目詳解】從圖象可以看出，函數(shù)最小值為-2，即當時，函數(shù)取得最小值，即，解得：，所以，當時，函數(shù)取得最大值，，這段時間水深（單位：m）的最大值為8m.故選：C8、A【解題分析】.考點：誘導公式9、C【解題分析】兩直線2x+3y-k=0和x+ky-12=0的交點在y軸上，令x=0，可得，解得k即可【題目詳解】∵兩直線2x+3y-k=0和x+ky-12=0的交點在y軸上，令x=0，可得，解得k=±6故選C【題目點撥】本題考查了兩條直線的交點坐標，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題10、A【解題分析】由斜二測畫法的規(guī)則知與x'軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合，其長度不變，與y軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合，其長度變成原來的一半，正方形的對角線在y'軸上，可求得其長度為，故在平面圖中其在y軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍，長度為2，觀察四個選項，A選項符合題意．故應選A考點：斜二測畫法點評：注意斜二測畫法中線段長度的變化二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】命題為假命題時，二次方程無實數(shù)解，據(jù)此可求a的范圍.【題目詳解】若命題“，”為假命題，則一元二次方程無實數(shù)解，∴.∴a的取值范圍是：.故答案為：.12、2【解題分析】根據(jù)已知條件，利用近兩年污染區(qū)域的面積由降至，求出指數(shù)函數(shù)關系的底數(shù)，再代入求得污染區(qū)域將至還需要的年數(shù).【題目詳解】設相隔為t年的兩個年份湖泊污染區(qū)域的面積為和，則可設由題設知，，，，即，解得，假設需要x年能將至，即，，，解得所以使污染區(qū)域的面積繼續(xù)降至還需要2年.故答案為：213、【解題分析】正方體的對角線等于球的直徑．求得正方體的對角線，則球的表面積為考點：球的表面積點評：若長方體的長、寬和高分別為ａ、ｂ、ｃ，則球的直徑等于長方體的對角線14、③⑤【解題分析】對每一個命題逐一判斷得解.【題目詳解】①正切函數(shù)在內是增函數(shù),所以該命題是錯誤的；②因為函數(shù)的最小正周期為,所以w=2,所以將的圖象向右平移個單位長度得到,所得圖象關于軸對稱,所以，所以的一個值不可以是，所以該命題是錯誤的；③若,因為，所以三點共線，所以該命題是正確的；④函數(shù)=，所以sinx=-1時，y最小為-1，所以該命題是錯誤的;⑤函數(shù)在上是增函數(shù),則,所以的取值范圍是.所以該命題是正確的.故答案為③⑤【題目點撥】本題主要考查正切函數(shù)的單調性，考查正弦型函數(shù)的圖像和性質，考查含sinx的二次型函數(shù)的最值的計算，考查對數(shù)型函數(shù)的單調性，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.15、【解題分析】先由函數(shù)奇偶性，結合題意求出，計算出，即可得出結果.【題目詳解】因為為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則，解得，則，所以，因此.故答案為：.16、【解題分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，以及對數(shù)的運算性質，準確運算，即可求解.【題目詳解】因為，，所以，，所以，可得.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），值域為（2）【解題分析】（1）由正弦函數(shù)的周期求得得解析式，利用正弦函數(shù)的性質可得函數(shù)值域；（2）利用時，的值域是集合的子集，分類討論求得的最大值和最小值，得出不等關系，從而得出結論【小問1詳解】，.因為，所以，所以的值域為.【小問2詳解】當時，總有，使得，即時，函數(shù)的值域是的子集，即當時，.函數(shù)，其對稱軸，開口向上.當時，即，可得，，所以，解得；當即時，在上單調遞減，在上單調遞增；所以，所以.當時，即，可得，，所以，此時無解.綜上可得實數(shù)m的取值范圍為.18、（1）；（2）答案見解析；（3）存在，.【解題分析】（1）利用給定條件結合一元二次不等式與一元二次方程的關系，借助韋達定理計算作答.（2）分類討論求解一元二次不等式即可作答.（3）換元，借助二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值，計算判斷作答.【小問1詳解】依題意，不等式的解集是，因此，是關于x的一元二次方程的二根，且，于得，解得，所以實數(shù)m、n的值是：.【小問2詳解】當時，由（1）知：，當時，，解得：或，當時，解得，當時，不等式化：，解得：，所以，當時，原不等式的解集是，當時，原不等式的解集是，當時，原不等式的解集是.【小問3詳解】假設存在實數(shù)滿足條件，由（1）知，，，因，則設，函數(shù)化為：，顯然，于是得在上單調遞減，當時，，由解得：或（舍去），又，所以存在實數(shù)滿足條件，.【題目點撥】易錯點睛：解含參數(shù)的一元二次不等式，首先注意二次項系數(shù)是否含有參數(shù)，如果有，必須按二次項系為正、零、負三類討論求解.19、（1）；（2）【解題分析】分析：(1)先根據(jù)向量數(shù)量積得sinθ＋cosθ值，再平方得結果，(2)先根據(jù)向量的模得cosθ，即得C點坐標，再根據(jù)向量夾角公式求結果.詳解：(1)∵＝(cosθ，sinθ)－(2,0)＝(cosθ－2，sinθ)，＝(cosθ，sinθ)－(0,2)＝(cosθ，sinθ－2)，＝cosθ(cosθ－2)＋sinθ(sinθ－2)＝cos2θ－2cosθ＋sin2θ－2sinθ＝1－2(sinθ＋cosθ)＝－∴sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－1＝－.(2)∵＝(2,0)，＝(cosθ，sinθ)，∴＋＝(2＋cosθ，sinθ)，∵|＋|＝，所以4＋4cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝7，∴4cosθ＝2，即cosθ＝.∵－π＜θ＜0，∴θ＝－，又∵＝(0,2)，＝，∴cos〈，〉＝，∴〈，〉＝.點睛：向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進行交匯.對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”，通過解三角求得結果.20、（1）；（2）或；（3）.【解題分析】（1）配方得圓的標準方程，可得圓心坐標滿足，消去可得圓心所在直線方程；（2）由弦長、半徑結合勾股定理求出圓心到直線的距離，再由點到直線距離公式求得圓心到直線的距離，兩者相等可解得m；（3）根據(jù)題意判斷出四邊形PACB是正方形，進而求得，由兩點間距離公式可求得m【小問1詳解】由已知圓C的方程為：，所以圓心為，所以圓心在直線方程為.【小問2詳解】（2）由已知r=2，又弦長為，所以圓心到直線距離，所以，解得或.【小問3詳解】由可取得最大值為可知點為圓外一點，所以，當PA、PB為圓的兩條切線時，∠