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甘肅省蘭州市第五十一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知函數(shù)以下關(guān)于的結(jié)論正確的是()A.若,則B.的值域?yàn)镃.在上單調(diào)遞增D.的解集為2.將化為弧度為A. B.C. D.3.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為()A.10 B.9C.8 D.64.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)(的單位:天)的Logistic模型:其中為最大確診病例數(shù).當(dāng)時(shí),標(biāo)志著已初步遏制疫情,則約為()A.60 B.65C.66 D.695.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是,它與原點(diǎn)的距離是,規(guī)定:比值叫做的正余混弦,記作.若,則()A. B.C. D.6.一半徑為2m的水輪,水輪圓心O距離水面1m;已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng),每3秒轉(zhuǎn)一圈,且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn))開始計(jì)算時(shí)間.如圖所示,建立直角坐標(biāo)系,將點(diǎn)P距離水面的高度h(單位:m)表示為時(shí)間t(單位:s)的函數(shù),記,則()A.0 B.1C.3 D.47.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)為A. B.C. D.8.三棱柱中,側(cè)棱垂直于底面,底面三角形是正三角形,是的中點(diǎn),則下列敘述正確的是①與是異面直線;②與異面直線,且③面④A.② B.①③C.①④ D.②④9.給定四個(gè)函數(shù):①;②();③;④.其中是奇函數(shù)的有()A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)10.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________12.方程的解為__________13.函數(shù)的反函數(shù)為___________14.設(shè),若存在使得關(guān)于x的方程恰有六個(gè)解,則b的取值范圍是______15.已知一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則k的取值范圍是___________.16.若,,,則的最小值為______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,且側(cè)面平面,點(diǎn)是的中點(diǎn)(1)求證:(2)若,求證:平面平面18.已知.(1)指出函數(shù)的定義域,并求,,,的值;(2)觀察(1)中的函數(shù)值,請(qǐng)你猜想函數(shù)的一個(gè)性質(zhì),并證明你的猜想;(3)解不等式:.19.已知函數(shù),其中(1)若的最小值為1,求a的值;(2)若存在,使成立,求a取值范圍;(3)已知,在(1)的條件下,若恒成立,求m的取值范圍20.判斷并證明在的單調(diào)性.21.6月17日是聯(lián)合國(guó)確定的“世界防治荒漠化和干旱日”,旨在進(jìn)一步提高世界各國(guó)人民對(duì)防治荒漠化重要性的認(rèn)識(shí),喚起人們防治荒漠化的責(zé)任心和緊迫感.為增強(qiáng)全社會(huì)對(duì)防治荒漠化的認(rèn)識(shí)與關(guān)注,聚集聯(lián)合國(guó)2030可持續(xù)發(fā)展目標(biāo)——實(shí)現(xiàn)全球土地退化零增長(zhǎng).自2004年以來,我國(guó)荒漠化和沙化狀況呈現(xiàn)整體遏制、持續(xù)縮減、功能增強(qiáng)、成效明顯的良好態(tài)勢(shì).治理沙漠離不開優(yōu)質(zhì)的樹苗,現(xiàn)從苗圃中隨機(jī)地抽測(cè)了400株樹苗的高度(單位:),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)的值和抽到的樹苗的高度在的株數(shù);(2)估計(jì)苗圃中樹苗的高度的平均數(shù)和中位數(shù).(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】A選項(xiàng)逐段代入求自變量的值可判斷;B選項(xiàng)分別求各段函數(shù)的值域再求并集可判斷;C選項(xiàng)取特值比較大小可判斷不單調(diào)遞增;D選項(xiàng)分別求各段范圍下的不等式的解集求并集即可判斷.【題目詳解】解:A選項(xiàng):當(dāng)時(shí),若,則;當(dāng)時(shí),若,則,故A錯(cuò)誤;B選項(xiàng):當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故的值城為,B正確;C選項(xiàng):當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,在上不單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng):當(dāng)時(shí),若,則;當(dāng)時(shí),若,則,故的解集為,故D錯(cuò)誤;故選:B.2、D【解題分析】根據(jù)角度制與弧度制的關(guān)系求解.【題目詳解】因?yàn)椋?故選:D.3、A【解題分析】根據(jù)條件可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;根據(jù)函數(shù)的解析式及奇偶性,對(duì)稱性可得出函數(shù)f(x)在的圖象;令,畫出其圖象,進(jìn)而得出函數(shù)的圖象.根據(jù)函數(shù)圖象及其對(duì)稱性,中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出結(jié)論【題目詳解】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)f(x)滿足,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),,可以得出函數(shù)f(x)在上的圖象,進(jìn)而得出函數(shù)f(x)在的圖象.畫出函數(shù),的圖象;令,可得周期T1,畫出其圖象,進(jìn)而得出函數(shù)的圖象由圖象可得:函數(shù)在區(qū)間上共有10個(gè)零點(diǎn),即5對(duì)零點(diǎn),每對(duì)零點(diǎn)的中點(diǎn)都為1,所以所有零點(diǎn)的和為.故選:A4、B【解題分析】由已知可得方程,解出即可【題目詳解】解:由已知可得,解得,兩邊取對(duì)數(shù)有,解得.故選:B5、D【解題分析】由可得出,根據(jù)題意得出,結(jié)合可得出關(guān)于和的方程組,解出這兩個(gè)量,然后利用商數(shù)關(guān)系可求出的值.【題目詳解】,則,由正余混弦的定義可得.則有,解得,因此,.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的新定義,涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用,根據(jù)題意建立方程組求解和的值是解題的關(guān)鍵,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】根據(jù)題意設(shè)h=f(t)=Asin(ωt+φ)+k,求出φ、A、T和k、ω的值,寫出函數(shù)解析式,計(jì)算f(t)+f(t+1)+f(t+2)的值【題目詳解】根據(jù)題意,設(shè)h=f(t)=Asin(ωt+φ)+k,(φ<0),則A=2,k=1,因?yàn)門=3,所以ω,所以h=2sin(t+φ)+1,又因?yàn)閠=0時(shí),h=0,所以0=2sinφ+1,所以sinφ,又因?yàn)棣眨?,所以φ,所以h=f(t)=2sin(t)+1;所以f(t)sint﹣cost+1,f(t+1)=2sin(t)+1=2cost+1,f(t+2)=2sin(t)+1sint﹣cost+1,所以f(t)+f(t+1)+f(t+2)=3故選:C7、C【解題分析】選項(xiàng)A中,函數(shù)的定義域?yàn)?不合題意,故A不正確;選項(xiàng)B中,函數(shù)的定義域?yàn)?無奇偶性,故B不正確;選項(xiàng)C中,函數(shù)為偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),,為增函數(shù),故C正確;選項(xiàng)D中,函數(shù)為偶函數(shù),但在不是增函數(shù),故D不正確選C8、A【解題分析】對(duì)于①,都在平面內(nèi),故錯(cuò)誤;對(duì)于②,為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線,底面三角形是正三角形,是中點(diǎn),故與是異面直線,且,故正確;對(duì)于③,上底面是一個(gè)正三角形,不可能存在平面,故錯(cuò)誤;對(duì)于④,所在的平面與平面相交,且與交線有公共點(diǎn),故錯(cuò)誤.故選A9、B【解題分析】首先求出函數(shù)的定義域,再由函數(shù)的奇偶性定義即可求解.【題目詳解】①函數(shù)的定義域?yàn)?,且,,則函數(shù)是奇函數(shù);②函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,則函數(shù)()為非奇非偶函數(shù);③函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則函數(shù)不是奇函數(shù);④函數(shù)的定義域?yàn)?,,則函數(shù)是奇函數(shù).故選:B10、C【解題分析】詳解】,即,選.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】求出a的范圍,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化不等式為對(duì)數(shù)不等式,求解即可【題目詳解】由loga0得0<a<1.由得a﹣1,∴≤﹣1=,解得0<x≤,故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,對(duì)數(shù)不等式的解法,考查計(jì)算能力,屬于中檔題12、【解題分析】令,則解得:或即,∴故答案為13、【解題分析】先求出函數(shù)的值域有,再得出,從而求得反函數(shù).【題目詳解】由,可得由,則,所以故答案為:.14、【解題分析】作出f(x)的圖像,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.令,則,則該關(guān)于t的方程有兩個(gè)解、,設(shè)<,則,.令,則,據(jù)此求出a的范圍,從而求出b的范圍【題目詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則f(x)圖像如圖所示:當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),令,則,∵關(guān)于x的方程恰有六個(gè)解,∴關(guān)于t的方程有兩個(gè)解、,設(shè)<,則,,令,則,∴且,要存a滿足條件,則,解得故答案為:15、【解題分析】由題意,函數(shù)的圖象在x軸上方,故,解不等式組即可得k的取值范圍【題目詳解】解:因?yàn)椴坏仁綖橐辉尾坏仁?,所以,又一元二次不等式?duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,所以有,解得,即,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是,故答案為:.16、【解題分析】利用基本不等式求出即可.【題目詳解】解:若,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)則的最小值為.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)見解析【解題分析】分析:(1)可根據(jù)為等腰三角形得到,再根據(jù)平面平面可以得到平面,故.(2)因及是中點(diǎn),從而有,再根據(jù)平面得到,從而平面,故平面平面.詳解:(1)證明:因?yàn)椋c(diǎn)是棱的中點(diǎn),所以,平面.因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以平面,又因?yàn)槠矫妫?(2)證明:因?yàn)?,點(diǎn)是的中點(diǎn),所以.由(1)可得,又因?yàn)椋云矫?,又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫纥c(diǎn)睛:線線垂直的證明,可歸結(jié)為線面垂直,也可以轉(zhuǎn)化到平面中的某兩條直線的垂直問題,而面面垂直的證明,可轉(zhuǎn)化為線面垂直問題,也轉(zhuǎn)化為證明二面角為直二面角.18、(1)的定義域;;;;;(2)詳見詳解;(3)【解題分析】(1)根據(jù)真數(shù)大于零,列出不等式組,即可求出定義域;代入函數(shù)解析式求出,,,的值.(2)與,與關(guān)系,猜想是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的定義可證明.(3)求出,由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的單調(diào)性即可得到所求.【題目詳解】(1)要使函數(shù)有意義須,函數(shù)的定義域是;;;;.(2)由從(1)得到=,=,猜想是奇函數(shù),以下證明:在上任取自變量,所以是奇函數(shù).(2)所以,原不等式等價(jià)于所以原不等式的解集為【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的定義域的求法和奇偶性的判斷與證明,考查不等式的解法,注意應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式,求解不等式不要忽略了定義域,是解題的易錯(cuò)點(diǎn),屬于中檔題.19、(1)5(2)(3)【解題分析】(1)采用換元法,令,并確定的取值范圍,化簡(jiǎn)為關(guān)于二次函數(shù)后,根據(jù)其性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算;(2)將存在,使成立,轉(zhuǎn)化為存在,,求出的最大值列不等式即可;(3)根據(jù)第(1)問的信息,將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式,采用分離參數(shù)法,使用基本不等式,求得的取值范圍.【小問1詳解】令,則,,當(dāng)時(shí),,解得【小問2詳解】存在,使成立,等價(jià)于存在,,由(1)可知,,當(dāng)時(shí),,解得【小問3詳解】由(1)知,,則又,則恒成立,等價(jià)于恒成立,又,,則等價(jià)于即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立20、函數(shù)在單調(diào)遞增【解題分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可【題目詳解】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義:任取,所以因?yàn)椋?,所以所以原函?shù)單調(diào)遞增。21、(
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