數(shù)字圖像處理2-趙建峰

數(shù)字圖像處理

(DigitalImageProcessing)內(nèi)蒙古科技大學(xué)信息學(xué)院信息處理研究室趙建峰第二章、圖像變換理論§2.1空域、變換域基礎(chǔ)知識(shí)§2.2空域、變換域變換方法§2.1空域、變換域基礎(chǔ)知識(shí)一、變化的必要性二、變換基礎(chǔ)知識(shí)三、常用變換簡(jiǎn)介一、變換的必要性我們?nèi)祟愐曈X(jué)所感受到的是在空間域和時(shí)間域的信號(hào)。許多問(wèn)題在頻域中討論時(shí)，有其非常方便分析的一面。1、空間位置上的變化不改變信號(hào)的頻域特性。2、利用頻率成分和圖像外表之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使在空間域表述困難的增強(qiáng)任務(wù)在頻率域中執(zhí)行。3、濾波在頻率域更為直觀，可以解釋空間域?yàn)V波的某些性質(zhì)。二、變換基礎(chǔ)知識(shí)空域和頻域之間的變換關(guān)系：采用復(fù)數(shù)表示法，可同時(shí)表示信號(hào)的振幅和相位。故上式可表示為：這種變換，一般為線性正交變換。以傅立葉變換為例：任意信號(hào)可分解為正弦波的加權(quán)和正弦波的振幅A和相位φ信號(hào)的頻域表示

(a)幅頻特性；(b)相頻特性三、常用變換簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)變換是將原定義在空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用輸入圖像在這些空間的特有性質(zhì)有效而快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析。除了傅立葉變換外，常用的變換還有Gabor變換、小波變換、離散余弦變換、PCA變換等。這些變換在圖像分析、濾波、增強(qiáng)、壓縮等處理中都有著非常典型而重要的應(yīng)用?！?.2空域、變換域變換方法一、頻域變換的一般形式二、傅立葉變換三、離散余弦變換（DCT）四、離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換（WHT）五、小波變換一、頻域變換的一般形式二維頻域變換的一般形式為：上式中，1為正變換，2為逆變換。式中g(shù)(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分別為正、逆變換核，x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二維變換的特性如果：g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2(y,v)h(x,y,u,v)=h1(x,u)h2(y,v)則稱正、反變換核是可分離的。如果：g1(x,u)=g2(y,v)h1(x,u)=h2(y,v)則稱該變換核是對(duì)稱的?？煞蛛x性的應(yīng)用利用變換核的可分離性，可用兩次一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)二維變換。1、先對(duì)f(x,y)的每一行進(jìn)行一維變換得到F(x,v)，再沿F(x,v)每一列取一維變換得到變換結(jié)果F(u,v)。2、先對(duì)f(x,y)的每一列進(jìn)行一維變換得到F(y,u)，再沿F(y,u)每一行取一維變換得到變換結(jié)果F(u,v)。二者變換的最終結(jié)果是一樣的。變換的矩陣表示數(shù)字圖像都是實(shí)數(shù)矩陣，設(shè)f(x,y)為M×N的圖像灰度矩陣，為了分析、推導(dǎo)方便，可將可分離變換寫(xiě)成矩陣的形式：F=PfQF=P-1FQ-1

其中，F(xiàn)、f是二維M×N的矩陣；P是M×M矩陣；Q是N×N矩陣。式中，u=0,1,2,…,M－1，v=0,1,2,…,N－1。二、傅立葉變換一、連續(xù)函數(shù)傅立葉變換二、離散傅立葉變換三、常用變換簡(jiǎn)介連續(xù)函數(shù)傅立葉變換對(duì)一個(gè)一維信號(hào)進(jìn)行傅立葉變換，即得到構(gòu)成該信號(hào)的頻譜，其頻譜反映了該輸入信號(hào)由哪些頻率構(gòu)成。一個(gè)可進(jìn)行傅立葉變換的一維信號(hào)f(x)需滿足狄里赫萊條件，即f(x)：1、具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；2、具有有限個(gè)極值點(diǎn)；3、絕對(duì)可積。連續(xù)函數(shù)傅立葉變換定義式中： ，x稱為時(shí)域變量，u稱為頻域變量。式中：x,y為時(shí)域變量；u,v為頻域變量。一維：二維：離散傅立葉變換因?yàn)閿?shù)字圖像為離散信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform，DFT)。設(shè){f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號(hào)f(x)的N個(gè)抽樣，其離散傅立葉變換對(duì)為：一維離散傅立葉變換設(shè){f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號(hào)f(x)的N個(gè)抽樣，其離散傅立葉變換對(duì)為：式中：x，u=0，1，2，…,N－1，其中系數(shù)1/N可以在正變換或逆變換中，也可在傅立葉正變換和逆變換前分別乘以 ，這是無(wú)關(guān)緊要的，只要正變換和逆變換前系數(shù)乘積等于1/N即可。復(fù)數(shù)表示法由歐拉公式可得：可見(jiàn)，離散序列的傅立葉變換仍是一個(gè)離散的序列，每一個(gè)u對(duì)應(yīng)的傅立葉變換結(jié)果是所有輸入序列f(x)的加權(quán)和（每一個(gè)f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值），u決定了每個(gè)傅立葉變換結(jié)果的頻率。通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式：式中，R(u)和I(u)分別是F(u)的實(shí)部和虛部。上式也可表示成指數(shù)形式：F(u)=|F(u)|

ejφ(u)

通常稱|F(u)|為f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜，φ(u)為f(x)的相位譜。頻譜的平方稱為能量譜或功率譜，它表示為：二維離散傅立葉變換將一維離散傅立葉變換推廣到二維，變換對(duì)定義為：式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；x,y為時(shí)域變量，u,v為頻域變量。與一維變換一樣，系數(shù)1/MN可以在正變換或逆變換中，也可以在正變換和逆變換前分別乘以系數(shù) ，只要兩式系數(shù)的乘積等于1／MN即可。二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、相位譜和能量譜分別為：式中，R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實(shí)部和虛部。二維傅立葉變換的性質(zhì)一、可分離性二、周期與共軛對(duì)稱三、平移性四、旋轉(zhuǎn)特性五、線性與相似性六、均值性七、拉普拉斯八、卷積與相關(guān)二維傅立葉變換的矩陣形式二維傅立葉變換的快速算法由于二維離散傅立葉變換具有可分離性，即它可由兩次一維離散傅立葉變換計(jì)算得到，三、離散余弦變換（DCT）一、一維離散余弦變換二、二維離散余弦變換三、快速離散余弦變換離散余弦變換（DiscreteCosineTransform，DCT）的變換核為余弦函數(shù)。DCT除了具有一般的正交變換性質(zhì)外，它的變換陣的基向量能很好地描述人類語(yǔ)音信號(hào)和圖像信號(hào)的相關(guān)特征。因此，在對(duì)語(yǔ)音信號(hào)、圖像信號(hào)的變換中，DCT變換被認(rèn)為是一種準(zhǔn)最佳變換。近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)建議中，都把DCT作為其中的一個(gè)基本處理模塊。除此之外，DCT還是一種可分離的變換。一維離散余弦變換一維DCT的變換核定義為：式中，x,u=0,1,2,…,N－1；一維DCT定義如下：設(shè){f(x)|x=0,1,…,N-1}為離散的信號(hào)列。式中，u,x=0,1,2,…,N－1。一維離散余弦變換的矩陣形式將變換式展開(kāi)整理后，可以寫(xiě)成矩陣的形式，即F=Gf。一維DCT的逆變換IDCT定義為式中，x,u=0,1,2,…,N－1?？梢?jiàn)一維DCT的逆變換核與正變換核是相同的。二維離散余弦變換二維離散余弦變換定義如下：設(shè)f(x,y)為M×N的數(shù)字圖像矩陣，則：式中，C(u)和C(v)的定義同式（7-48）；x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。其中正變換核為：二維DCT逆變換定義如下：式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二維DCT的矩陣形式如下：F=GfGT二維DCT的逆變換核與正變換核相同，且是可分離的，即：根據(jù)可分離性，二維DCT可用兩次一維DCT來(lái)完成，其算法流程與DFT類似，即：快速離散余弦變換離散余弦變換(DCTforDiscreteCosineTransform)是與傅里葉變換相關(guān)的一種變換，它類似于離散傅里葉變換(DFTforDiscreteFourierTransform),但是只使用實(shí)數(shù)。離散余弦變換相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)度大概是它兩倍的離散傅里葉變換，這個(gè)離散傅里葉變換是對(duì)一個(gè)實(shí)偶函數(shù)進(jìn)行的（因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)），在有些變形里面需要將輸入或者輸出的位置移動(dòng)半個(gè)單位(DCT有8種標(biāo)準(zhǔn)類型，其中4種是常見(jiàn)的)。四、離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換（WHT）一、沃爾什函數(shù)二、一維離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換三、二維離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換一、沃爾什函數(shù)沃爾什函數(shù)系是一個(gè)完備正交函數(shù)系，其值只能?。?和－1，由美國(guó)數(shù)學(xué)家沃爾什在1923年提出。從排列次序上可將沃爾什函數(shù)分為三種定義方法：第一種是按照沃爾什排列來(lái)定義（按列率排序）；第一種是按照佩利排列來(lái)定義（按自然排序）；第三種是按照哈達(dá)瑪排列來(lái)定義。按哈達(dá)瑪排序的沃爾什函數(shù)可由2n（n=0，1，2，…）階哈達(dá)瑪矩陣（H