2022-2023學(xué)年湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)【含答案】

名校聯(lián)考聯(lián)合體2023年春季高二期末聯(lián)考暨新高三適應(yīng)性聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，且，其中，為實(shí)數(shù)，則（）A．， B．， C．， D．，3．已知非零向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．4．已知長方體的底面是邊長為2的正方形，，，分別為，的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）A． B．4 C． D．65．某學(xué)校在高考模擬考試座位的排定過程中，有來自班的4名學(xué)生和來自班的4名學(xué)生，恰好排在五行八座（每個(gè)考室5行*8座人）中的第二行，則來自同一班級(jí)的4名學(xué)生互不相鄰的概率為（）A． B． C． D．6．已知，且的最小正周期為2.若存在，使得對(duì)于任意，都有，則為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．已知，，，是表面積為的球面上四點(diǎn)，，，，三棱錐的體積為，則線段長度的取值范圍為（）A． B． C． D．二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．可能是奇函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．當(dāng)?shù)臉O大值為17時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是10．已知拋物線:的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則（）A．拋物線為B．若，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為4C．直線與拋物線相交所得弦長最短為4D．若拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上不同于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，，，則的最小值為11．已知正方體的棱長為2，則以下結(jié)論正確的是（）A．若為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則點(diǎn)到平面的距離為定值B．正方形底面內(nèi)存在點(diǎn)，使得C．若點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡的周長為D．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球半徑12．已知定義在的函數(shù)存在使為函數(shù)的最小值，其中，則的值可以為（附:，，）（）A．0 B．1 C．2 D．3三、填空題;本題共4小題，每小題5分，共20分.13．在的展開式中常數(shù)項(xiàng)等于_______.14．若一直線與曲線和曲線相切于同一點(diǎn)，則的值為_______.15．有窮等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則的最小值是_______.16．如圖，已知雙曲線:與過其焦點(diǎn)的圓相交于，，，四個(gè)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與雙曲線交于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，則雙曲線的離心率為_______.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）在數(shù)列中，，.(1)證明是等比數(shù)列;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)一系列對(duì)應(yīng)的值如下表:………020…（1）求的解析式;(2)若在銳角中，，角所對(duì)的邊，求面積的取值范圍.19．（12分）一個(gè)小型制冰廠有3臺(tái)同一型號(hào)的制冰設(shè)備，在一天內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備只要有一臺(tái)能正常工作，制冰廠就會(huì)有利潤，當(dāng)3臺(tái)都無法正常工作時(shí)制冰廠就因停業(yè)而虧本（3臺(tái)設(shè)備相互獨(dú)立，3臺(tái)都正常工作時(shí)利潤最大）.每臺(tái)制冰設(shè)備的核心系統(tǒng)由3個(gè)同一型號(hào)的電子元件組成，3個(gè)元件能正常工作的概率都為，它們之間相互不影響，當(dāng)系統(tǒng)中有不少于的電子元件正常工作時(shí)，此臺(tái)制冰設(shè)備才能正常工作.(1)當(dāng)時(shí)，求一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率;(2)若已知當(dāng)前每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.6，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，若制冰廠由于設(shè)備不能正常工作而停業(yè)一天，制冰廠將損失1萬元，為減少經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案可供選擇參考:方案1:更換3臺(tái)設(shè)備的部分零件，使每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.85，更新費(fèi)用共為600元.方案2:對(duì)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.75，設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為元.請(qǐng)從期望損失最小的角度判斷如何決策?20．（12分）如圖，圓柱的軸截面是邊長，的矩形，點(diǎn)在上底面圓內(nèi)，且（，，三點(diǎn)不在一條直線上）.下底面圓的一條弦交于點(diǎn)，其中，平面平面.(1)證明:平面;(2)若二面角的正切值為，求的長.21．（12分）已知，且在處的切線與直線平行.(1)求的值，并求此切線方程;(2)若，且有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，求證:22．（12分）已知直線過點(diǎn)且與圓:交于，兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作垂直于的直線交于點(diǎn)，記的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程(2)設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線相交于點(diǎn).請(qǐng)判斷的面積是否為定值?若是，求出這個(gè)值;若不是，請(qǐng)說明理由.名校聯(lián)考聯(lián)合體2023年春季高二期末聯(lián)考暨新高三適應(yīng)性聯(lián)合考試數(shù)學(xué)參考答案一、二、選擇題題號(hào)123456789101112答案CADCBAACABCBCDACDAB1.C【解析】，由，則，故選C.2．A【解析】，，由，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等，得即故選A.3．D【解析】∵，∴，又，，∴，解得，故選D.4．C【解析】因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以三棱錐是正四面體，此正四面體的體積為，故選C.5．B【解析】8名同學(xué)坐在一行的所有排法共有種排法，來自同一班級(jí)的4名學(xué)生互不相鄰的排法可分為兩類:第一類:來自班的4名學(xué)生坐在第1、3、5、7位置，共有種排法;第二類:來自班的4名學(xué)生坐在第2、4、6、8位置，共有種排法，所以來自班的4名學(xué)生互不相鄰，且來自班的4名學(xué)生也互不相鄰的排法共有種排法，所以事件“來自班的4名學(xué)生互不相鄰，且來自班的4名學(xué)生也互不相鄰”的概率.故選B.6．A【解析】由已知條件可得的最小正周期為4，所以;由易知，繼而得到函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故，又，∴，故選A.7．A【解析】因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故，當(dāng)時(shí)，，任取，，則，，所以，所以，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，即，故選A.8．C【解析】設(shè)球的球心為，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以球的半徑，又因?yàn)?，，，所以為，且，球心到平面的距離為2.又三棱錐的體積為，所以到平面的距離.故在球面的截面圓上，，截面圓的半徑為2.設(shè)在平面上的投影為，則的軌跡為圓，圓心為的外心，即為的中點(diǎn).又，所以，故選C.9．ABC【解析】因?yàn)閷?duì)，，顯然當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，即A正確;因?yàn)椋瑒t函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確;由得，結(jié)合選項(xiàng)B可知，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)的極大值為，所以故C正確;由B可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以無最大值，無最小值，故D錯(cuò)誤.故選ABC.10．BCD【解析】因?yàn)閽佄锞€:的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，從而拋物線的方程是，所以A錯(cuò)誤;設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則，故B正確;拋物線的焦點(diǎn)為，直線過焦點(diǎn)，所以直線與拋物線相交所得弦長最短為通徑，故C正確;對(duì)于D，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，連接，在中，設(shè)，則，要求的最小值，即最小，即最小，所以當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，角最小，設(shè)切線方程為存在，且，由聯(lián)立得，令，得，所以或（舍），所以，所以，故D正確.11．ACD【解析】對(duì)于A，由題意可得:且，∴為平行四邊形，則，又平面，平面，∴平面，又∵為線段上的點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為定值;對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，若，則，即與題意矛盾，所以B不正確;對(duì)于C，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，分別連接，，，，，由，，且，所以平面，由題意可得的軌跡為正六邊形，其中，所以點(diǎn)的軌跡的周長為，C正確;對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，三棱錐的外接球的球心，半徑為，連接，，，則平面，且，對(duì)于，，，∴，則，∵，則，∴，即，D正確.12．AB【解析】故表示函數(shù)上的點(diǎn)與兩點(diǎn)，的距離之和，所以當(dāng)為線段與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)時(shí)，的值最小，由可設(shè)，，所以，使得，由題可得時(shí)，成立，所以A正確;時(shí)，成立，所以B正確;當(dāng)時(shí)，，不合題意.故選AB.三、填空題13．16【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，的展開式中常數(shù)項(xiàng)由兩項(xiàng)構(gòu)成，即與，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.14．【解析】設(shè)切點(diǎn)，則由，得，由，得，則解得.15．【解析】由已知得，又，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取得等號(hào).16．【解析】∵，即，①∴由，連接，可得可得，②由①②聯(lián)立，所以.四、解答題17．【解析】（1）由已知可得，∴.所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(2)由（1）可得，因此，，.18．【解析】（1）由題中表格給出的信息可知，函數(shù)的周期.由;又，所以，∴(2)由可知，因?yàn)?，所以，所以，則.由正弦定理得，即，，則，又因?yàn)樵阡J角三角形中，由即得，所以，所以，則，故的取值范圍為.所以，所以面積的取值范圍為19．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為:所以一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率為.(2)若不采取措施，設(shè)總損失為，當(dāng)前每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.6，故元.設(shè)方案1、方案2的總損失分別為，，采用方案1，更換3臺(tái)設(shè)備的部分零件，使得每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.85，故元.采用方案2，對(duì)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.75，故元又，且因此，從期望損失最小的角度，當(dāng)時(shí)，可以選擇方案1或2;當(dāng)時(shí)，選擇方案2;當(dāng)時(shí)，采取方案1.20．【解析】（1）由題意可知:在下底面圓中，為直徑.因?yàn)?，所以為弦的中點(diǎn)，且.因?yàn)?，，，平?所以平面.又因?yàn)閳A柱上、下底面相互平行，即平面平面，且平面，所以平面.平面平面，平面，所以，又平面，所以平面(2)如圖，設(shè)平面交圓柱上底面于，交于點(diǎn).則二面角的大小就是二面角的大小.分別以下底面垂直于的直線、、為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.因?yàn)?，底面圓半徑為2，所以，.則，，，設(shè)，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得即令，可得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得即令，可得.又因?yàn)槎娼堑恼兄禐?，所以，化簡得，解得或（舍?即.又因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，，且為的中點(diǎn).所以，，，所以若二面角的正切值為，則的長為.21．【解析】（1）把代入可得切點(diǎn)為，∵，，∴，所以切線方程為(2)由（1）知，，得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，且時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以，過和作直線，可知時(shí)，易得恒成立，過和作直線，下