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1.1.3導數(shù)的幾何意義

定義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù),記作:回顧

由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的基本方法是:在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)．什么是導函數(shù)?由函數(shù)f(x)在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到,當x=x0時,f’(x0)是一個確定的數(shù).那么,當x變化時,f’(x0)便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).即:下面來看導數(shù)的幾何意義:

βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點,Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.斜率!PQoxyy=f(x)割線切線T請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉動的情況.

我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個確定位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.

設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:

這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質——函數(shù)在x=x0處的導數(shù).導數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率.即:

故曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程是:例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.（1）求出函數(shù)在點x0處的變化率，得到曲線在點(x0,f(x0))的切線的斜率。（2）根據直線方程的點斜式寫出切線方程，即求切線方程的步驟：即點P處的切線的斜率等于4.

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