2020年中考專題復習：垂直模型中的相似及變形

第題型二：模型中的相似題型二：模型中的相似思路導航思路導航在中，，于，則在這個圖形中，我們可以得到個直角三角形，這個直角三角形兩兩相似，即進而可以得到組比例關系，這組比例關系中，有個比例式比較特殊：⑴；⑵；⑶，這個比例式轉化為乘積式為：⑴；⑵；⑶，這就是著名的“射影定理”典題精練典題精練⑴如圖，在中，為直角，于點，，，寫出其中的一對相似三角形是________和_________；并寫出它的面積比__________________．⑵如圖，中，于，一定能確定為直角三角形的條件的個數(shù)是（）①；②；③；④；⑤A．1B．2 C．3 D．4⑶如圖，是斜邊上的高，如果兩條直角邊，則_______．⑴答案不唯一，和，；⑵C；⑶由題意，，，則，，又，，，，，則，∴．如圖，已知中，，是邊上中線，是邊上的中線，且于點，于點，若，，求的長．連結∵，∴，即，又∵，且則，，∴，，∵是邊中線，是邊中線，∴，∴，∴，在中，，∴，∴．題型三：三垂直的應用題型三：三垂直的應用思路導航思路導航三垂直模型中包括三垂直全等和三垂直相似，在解題的過程中要善于發(fā)現(xiàn)和使用，并要學會根據(jù)具體情況構造三垂直模型.例題精講例題精講如圖，在矩形中，點、分別在邊、上，，，，，求的長．∵∴，∴，∴；在中，典題精練典題精練⑴如圖，梯形中，，，為上一點，且，若，，，則=．⑵如圖，已知，，是線段的中點，且，，，那么．⑴10；⑵4⑴如圖，正方形ABCD的邊長為10，內部有6個全等的正方形，小正方形的頂點E.F、G、H分別落在邊AD.AB.BC.CD上，則DE的長為．⑵如圖，一個邊長分別為、、的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點重合，另兩個頂點分別在正方形的兩條邊、上，那么這個正方形的面積是．⑴2．⑵．抓住相似模型．，∴設，，∴在中，，∴正方形的面積為．⑴等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點，∠MPN=60°，且PM、PN分別于邊AB.AC交于點E.F.如圖，若點P在BC邊上運動，且∠MPN繞點P旋轉，當CF=AE=2時，求PE的長.⑵如圖，梯形中，∥，，，點分別在線段上，且，若，求長．【解析】⑴可證△EBP∽△PCF.∴．設BP=x，則．解得.∴PE的長為4或．⑵在梯形中，∥，，，∴∴∵∴∴∴△∽△∴即：解得：．如圖，在矩形中，為中點，交于，連結．⑴與是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由．⑵設，是否存在這樣的值，使得與相似，若存在，證明你的結論，并求出的值；若不存在，說明理由．⑴相似．在矩形中，．因為，、、共線，所以．又∵，∴∴∴∵∴又∵∴⑵存在，由于，∴只能是，．由⑴知，∴．∴．即．反過來，在時，，，，，∴．∴．精講:相似三角形經(jīng)典模型總結【探究一】模型介紹：⑴A字型與反A字型；⑵8字型與反8字型；⑶雙垂直模型與母子型；⑷三垂直模型與一線三等角模型；⑸手拉手相似模型；【探究二】模型聯(lián)系：思維拓展訓練(選講)思維拓展訓練(選講)如圖，中，，于，平分交于，于．求證：．由，，∴∴，即又∵和中，，∴∴，∴∵是的平分線，，∴，則已知：如圖，在正方形中，，點是邊上的動點（點不與端點重合），的垂直平分線分別交于點，交的延長線于點．⑴設，試用含的代數(shù)式表示的值；⑵在⑴的條件下，當時，求的長．⑴過點作，分別交于兩點．∵是線段的垂直平分線，∴．∵，∴∵H是AE的中點，∴M是AD的中點∴是的中位線，∴．∵四邊形是正方形，∴四邊形是矩形．∴．∴．∵，∴．∴，即．⑵過點作于點，則四邊形和四邊形都是矩形．∵，解得．∴，．∵，∴，即．又∵∴解得．∴．已知，，，，為線段上的動點，點在射線上，且滿足（如圖1所示）．⑴當，且點與點重合時（如圖2所示），求線段的長；⑵在圖1中，連結．當，且點在線段上時，設點之間的距離為，，其中表示的面積，表示的面積，求關于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的范圍；⑶當，且點在線段的延長線上時（如圖3所示），求的大?。胖校?，∴，∴，即，過點作于E，如圖=1\*GB2⑴則而⑵如圖=2\*GB2⑵，過點分別作于，于點.∵，∴∴設，則，∴，，∴⑶答：證明：如圖=3\*GB2⑶，過點分別作于，于點.∵，∴∴又∵，∴∴∴∴等腰直角中，、分別為直角邊、上的點，且，過、分別作的垂線，交斜邊于、．求證：．如圖，延長至，使，連接則，于是可證于是∵∴∴∴∴∴．復習鞏固復習鞏固題型一模型中的相似鞏固練習如圖，是一塊銳角三角形余料，邊長毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在、上，這個正方形零件的邊長是多少？∵四邊形為正方形∴∴設邊長為，，即∴（毫米）答：邊長為毫米．題型二模型中的相似鞏固練習如圖，斜邊上的高為，若，，則，，．，，．如圖，中，，于，是上任意一點，連結，過作于，求證：．∵，∴又∴∴，即又∵為直角三角形，∴又∴∴，即∴．如圖，在中，，，．點在斜邊上，分別作，，垂足分別為、，得四邊形．設，．⑴用含的代數(shù)式表示為；⑵求與之間的函數(shù)關系式，并求出的取值范圍；⑶設四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關系式，并求出的最大值．⑴；⑵可證∴∴∴⑶當時，取到最大值為．題型三三垂直的應用鞏固練習如圖，矩形中，，，將矩形繞點順時針旋轉得到矩形．點為線段上一點（不包括端點），且，求的面積． 如圖，設，則．∵，∴．又，∴．又∵．∴∴．即．解得，（不符合題意，舍去）．∴，即．當時，，∴，，．