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第題型二:模型中的相似題型二:模型中的相似思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航在中,,于,則在這個(gè)圖形中,我們可以得到個(gè)直角三角形,這個(gè)直角三角形兩兩相似,即進(jìn)而可以得到組比例關(guān)系,這組比例關(guān)系中,有個(gè)比例式比較特殊:⑴;⑵;⑶,這個(gè)比例式轉(zhuǎn)化為乘積式為:⑴;⑵;⑶,這就是著名的“射影定理”典題精練典題精練⑴如圖,在中,為直角,于點(diǎn),,,寫(xiě)出其中的一對(duì)相似三角形是________和_________;并寫(xiě)出它的面積比__________________.⑵如圖,中,于,一定能確定為直角三角形的條件的個(gè)數(shù)是()①;②;③;④;⑤A.1B.2 C.3 D.4⑶如圖,是斜邊上的高,如果兩條直角邊,則_______.⑴答案不唯一,和,;⑵C;⑶由題意,,,則,,又,,,,,則,∴.如圖,已知中,,是邊上中線,是邊上的中線,且于點(diǎn),于點(diǎn),若,,求的長(zhǎng).連結(jié)∵,∴,即,又∵,且則,,∴,,∵是邊中線,是邊中線,∴,∴,∴,在中,,∴,∴.題型三:三垂直的應(yīng)用題型三:三垂直的應(yīng)用思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航三垂直模型中包括三垂直全等和三垂直相似,在解題的過(guò)程中要善于發(fā)現(xiàn)和使用,并要學(xué)會(huì)根據(jù)具體情況構(gòu)造三垂直模型.例題精講例題精講如圖,在矩形中,點(diǎn)、分別在邊、上,,,,,求的長(zhǎng).∵∴,∴,∴;在中,典題精練典題精練⑴如圖,梯形中,,,為上一點(diǎn),且,若,,,則=.⑵如圖,已知,,是線段的中點(diǎn),且,,,那么.⑴10;⑵4⑴如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,內(nèi)部有6個(gè)全等的正方形,小正方形的頂點(diǎn)E.F、G、H分別落在邊AD.AB.BC.CD上,則DE的長(zhǎng)為.⑵如圖,一個(gè)邊長(zhǎng)分別為、、的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合,另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊、上,那么這個(gè)正方形的面積是.⑴2.⑵.抓住相似模型.,∴設(shè),,∴在中,,∴正方形的面積為.⑴等邊△ABC邊長(zhǎng)為6,P為BC邊上一點(diǎn),∠MPN=60°,且PM、PN分別于邊AB.AC交于點(diǎn)E.F.如圖,若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng),且∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),當(dāng)CF=AE=2時(shí),求PE的長(zhǎng).⑵如圖,梯形中,∥,,,點(diǎn)分別在線段上,且,若,求長(zhǎng).【解析】⑴可證△EBP∽△PCF.∴.設(shè)BP=x,則.解得.∴PE的長(zhǎng)為4或.⑵在梯形中,∥,,,∴∴∵∴∴∴△∽△∴即:解得:.如圖,在矩形中,為中點(diǎn),交于,連結(jié).⑴與是否相似?若相似,證明你的結(jié)論;若不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由.⑵設(shè),是否存在這樣的值,使得與相似,若存在,證明你的結(jié)論,并求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.⑴相似.在矩形中,.因?yàn)椋?、、共線,所以.又∵,∴∴∴∵∴又∵∴⑵存在,由于,∴只能是,.由⑴知,∴.∴.即.反過(guò)來(lái),在時(shí),,,,,∴.∴.精講:相似三角形經(jīng)典模型總結(jié)【探究一】模型介紹:⑴A字型與反A字型;⑵8字型與反8字型;⑶雙垂直模型與母子型;⑷三垂直模型與一線三等角模型;⑸手拉手相似模型;【探究二】模型聯(lián)系:思維拓展訓(xùn)練(選講)思維拓展訓(xùn)練(選講)如圖,中,,于,平分交于,于.求證:.由,,∴∴,即又∵和中,,∴∴,∴∵是的平分線,,∴,則已知:如圖,在正方形中,,點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與端點(diǎn)重合),的垂直平分線分別交于點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).⑴設(shè),試用含的代數(shù)式表示的值;⑵在⑴的條件下,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng).⑴過(guò)點(diǎn)作,分別交于兩點(diǎn).∵是線段的垂直平分線,∴.∵,∴∵H是AE的中點(diǎn),∴M是AD的中點(diǎn)∴是的中位線,∴.∵四邊形是正方形,∴四邊形是矩形.∴.∴.∵,∴.∴,即.⑵過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),則四邊形和四邊形都是矩形.∵,解得.∴,.∵,∴,即.又∵∴解得.∴.已知,,,,為線段上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在射線上,且滿足(如圖1所示).⑴當(dāng),且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)(如圖2所示),求線段的長(zhǎng);⑵在圖1中,連結(jié).當(dāng),且點(diǎn)在線段上時(shí),設(shè)點(diǎn)之間的距離為,,其中表示的面積,表示的面積,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量的范圍;⑶當(dāng),且點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖3所示),求的大小.⑴中,,∴,∴,即,過(guò)點(diǎn)作于E,如圖=1\*GB2⑴則而⑵如圖=2\*GB2⑵,過(guò)點(diǎn)分別作于,于點(diǎn).∵,∴∴設(shè),則,∴,,∴⑶答:證明:如圖=3\*GB2⑶,過(guò)點(diǎn)分別作于,于點(diǎn).∵,∴∴又∵,∴∴∴∴等腰直角中,、分別為直角邊、上的點(diǎn),且,過(guò)、分別作的垂線,交斜邊于、.求證:.如圖,延長(zhǎng)至,使,連接則,于是可證于是∵∴∴∴∴∴.復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固題型一模型中的相似鞏固練習(xí)如圖,是一塊銳角三角形余料,邊長(zhǎng)毫米,高毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上,這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少?∵四邊形為正方形∴∴設(shè)邊長(zhǎng)為,,即∴(毫米)答:邊長(zhǎng)為毫米.題型二模型中的相似鞏固練習(xí)如圖,斜邊上的高為,若,,則,,.,,.如圖,中,,于,是上任意一點(diǎn),連結(jié),過(guò)作于,求證:.∵,∴又∴∴,即又∵為直角三角形,∴又∴∴,即∴.如圖,在中,,,.點(diǎn)在斜邊上,分別作,,垂足分別為、,得四邊形.設(shè),.⑴用含的代數(shù)式表示為;⑵求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出的取值范圍;⑶設(shè)四邊形的面積為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出的最大值.⑴;⑵可證∴∴∴⑶當(dāng)時(shí),取到最大值為.題型三三垂直的應(yīng)用鞏固練習(xí)如圖,矩形中,,,將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形.點(diǎn)為線段上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),且,求的面積. 如圖,設(shè),則.∵,∴.又,∴.又∵.∴∴.即.解得,(不符合題意,舍去).∴,即.當(dāng)時(shí),,∴,,.
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