2020年中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)：垂直模型中的相似及變形

第題型二：模型中的相似題型二：模型中的相似思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航在中，，于，則在這個(gè)圖形中，我們可以得到個(gè)直角三角形，這個(gè)直角三角形兩兩相似，即進(jìn)而可以得到組比例關(guān)系，這組比例關(guān)系中，有個(gè)比例式比較特殊：⑴；⑵；⑶，這個(gè)比例式轉(zhuǎn)化為乘積式為：⑴；⑵；⑶，這就是著名的“射影定理”典題精練典題精練⑴如圖，在中，為直角，于點(diǎn)，，，寫(xiě)出其中的一對(duì)相似三角形是________和_________；并寫(xiě)出它的面積比__________________．⑵如圖，中，于，一定能確定為直角三角形的條件的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④；⑤A．1B．2 C．3 D．4⑶如圖，是斜邊上的高，如果兩條直角邊，則_______．⑴答案不唯一，和，；⑵C；⑶由題意，，，則，，又，，，，，則，∴．如圖，已知中，，是邊上中線，是邊上的中線，且于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．連結(jié)∵，∴，即，又∵，且則，，∴，，∵是邊中線，是邊中線，∴，∴，∴，在中，，∴，∴．題型三：三垂直的應(yīng)用題型三：三垂直的應(yīng)用思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航三垂直模型中包括三垂直全等和三垂直相似，在解題的過(guò)程中要善于發(fā)現(xiàn)和使用，并要學(xué)會(huì)根據(jù)具體情況構(gòu)造三垂直模型.例題精講例題精講如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，，，求的長(zhǎng)．∵∴，∴，∴；在中，典題精練典題精練⑴如圖，梯形中，，，為上一點(diǎn)，且，若，，，則=．⑵如圖，已知，，是線段的中點(diǎn)，且，，，那么．⑴10；⑵4⑴如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，內(nèi)部有6個(gè)全等的正方形，小正方形的頂點(diǎn)E.F、G、H分別落在邊AD.AB.BC.CD上，則DE的長(zhǎng)為．⑵如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)分別為、、的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊、上，那么這個(gè)正方形的面積是．⑴2．⑵．抓住相似模型．，∴設(shè)，，∴在中，，∴正方形的面積為．⑴等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC邊上一點(diǎn)，∠MPN=60°，且PM、PN分別于邊AB.AC交于點(diǎn)E.F.如圖，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，且∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF=AE=2時(shí)，求PE的長(zhǎng).⑵如圖，梯形中，∥，，，點(diǎn)分別在線段上，且，若，求長(zhǎng)．【解析】⑴可證△EBP∽△PCF.∴．設(shè)BP=x，則．解得.∴PE的長(zhǎng)為4或．⑵在梯形中，∥，，，∴∴∵∴∴∴△∽△∴即：解得：．如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，交于，連結(jié)．⑴與是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．⑵設(shè)，是否存在這樣的值，使得與相似，若存在，證明你的結(jié)論，并求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．⑴相似．在矩形中，．因?yàn)椋?、、共線，所以．又∵，∴∴∴∵∴又∵∴⑵存在，由于，∴只能是，．由⑴知，∴．∴．即．反過(guò)來(lái)，在時(shí)，，，，，∴．∴．精講:相似三角形經(jīng)典模型總結(jié)【探究一】模型介紹：⑴A字型與反A字型；⑵8字型與反8字型；⑶雙垂直模型與母子型；⑷三垂直模型與一線三等角模型；⑸手拉手相似模型；【探究二】模型聯(lián)系：思維拓展訓(xùn)練(選講)思維拓展訓(xùn)練(選講)如圖，中，，于，平分交于，于．求證：．由，，∴∴，即又∵和中，，∴∴，∴∵是的平分線，，∴，則已知：如圖，在正方形中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合），的垂直平分線分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．⑴設(shè)，試用含的代數(shù)式表示的值；⑵在⑴的條件下，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．⑴過(guò)點(diǎn)作，分別交于兩點(diǎn)．∵是線段的垂直平分線，∴．∵，∴∵H是AE的中點(diǎn)，∴M是AD的中點(diǎn)∴是的中位線，∴．∵四邊形是正方形，∴四邊形是矩形．∴．∴．∵，∴．∴，即．⑵過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形和四邊形都是矩形．∵，解得．∴，．∵，∴，即．又∵∴解得．∴．已知，，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且滿足（如圖1所示）．⑴當(dāng)，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（如圖2所示），求線段的長(zhǎng)；⑵在圖1中，連結(jié)．當(dāng)，且點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)點(diǎn)之間的距離為，，其中表示的面積，表示的面積，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的范圍；⑶當(dāng)，且點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖3所示），求的大小．⑴中，，∴，∴，即，過(guò)點(diǎn)作于E，如圖=1\*GB2⑴則而⑵如圖=2\*GB2⑵，過(guò)點(diǎn)分別作于，于點(diǎn).∵，∴∴設(shè)，則，∴，，∴⑶答：證明：如圖=3\*GB2⑶，過(guò)點(diǎn)分別作于，于點(diǎn).∵，∴∴又∵，∴∴∴∴等腰直角中，、分別為直角邊、上的點(diǎn)，且，過(guò)、分別作的垂線，交斜邊于、．求證：．如圖，延長(zhǎng)至，使，連接則，于是可證于是∵∴∴∴∴∴．復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固題型一模型中的相似鞏固練習(xí)如圖，是一塊銳角三角形余料，邊長(zhǎng)毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？∵四邊形為正方形∴∴設(shè)邊長(zhǎng)為，，即∴（毫米）答：邊長(zhǎng)為毫米．題型二模型中的相似鞏固練習(xí)如圖，斜邊上的高為，若，，則，，．，，．如圖，中，，于，是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)作于，求證：．∵，∴又∴∴，即又∵為直角三角形，∴又∴∴，即∴．如圖，在中，，，．點(diǎn)在斜邊上，分別作，，垂足分別為、，得四邊形．設(shè)，．⑴用含的代數(shù)式表示為；⑵求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出的取值范圍；⑶設(shè)四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值．⑴；⑵可證∴∴∴⑶當(dāng)時(shí)，取到最大值為．題型三三垂直的應(yīng)用鞏固練習(xí)如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形．點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求的面積． 如圖，設(shè)，則．∵，∴．又，∴．又∵．∴∴．即．解得，（不符合題意，舍去）．∴，即．當(dāng)時(shí)，，∴，，．