不等式性質及證明

1/1不等式性質及證明一般高中課程標準試驗教科書—數(shù)學[人教版]

高三新數(shù)學第一輪復習教案（講座31）—不等式性質及證明

一．課標要求：

1．不等關系通過詳細情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式（組）的實際背景；

2．基本不等式：（a,b≥0）

①探究并了解基本不等式的證明過程；

②會用基本不等式解決簡潔的最大（?。﹩栴}。

二．命題走向

不等式歷來是高考的重點內容。對于本將來講，考察有關不等式性質的基礎學問、基本方法，而且還考察規(guī)律推理力量、分析問題、解決問題的力量。本將內容在復習時，要在思想方法上下功夫。

猜測2023年的高考命題趨勢：

1．從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質與函數(shù)、三角結合起來綜合考察不等式的性質、函數(shù)單調性等，多以選擇題的形式消失，解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主；

2．利用基本不等式解決像函數(shù))0(,)(>+=ax

a

xxf的單調性或解決有關最值問題是考察的重點和熱點，應加強訓練。

三．要點精講

1．不等式的性質

比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法0abab>?->；0abab=?-=；0abab，則ba．即ab>?ba，且bc>，則ac>。

說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱不等式的傳遞性。

定理3：若ab>，則acbc+>+。說明：（1）不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向；（2）定理3的證明相當于比較ac+與bc+的大小，采納的是求差比較法；（3）定理3的逆命題也成立；

（4）不等式中任何一項轉變符號后，可以把它從一邊移到另一邊。定理3推論：若,,abcdacbd>>+>+且則。說明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式。

定理4．假如ba>且0>c，那么bcac>；假如ba>且0>ba且0>>dc，那么bdac>。說明：（1）不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負數(shù)，不等號方向轉變；（2）兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）

推論1可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。

推論2：假如0>>ba，那么n

nba>)1(>∈nNn且。定理5：假如0>>ba，那么n

nba>)1(>∈nNn且。

2．基本不等式

定理1：假如Rba∈,，那么abba222

≥+（當且僅當ba=時取“=”）。說明：（1）指出定理適用范圍：Rba∈,；（2）強調取“=”的條件ba=。

定理2：假如ba,是正數(shù)，那么

abb

a≥+2

（當且僅當ba=時取“=”

）說明：（1）這個定理適用的范圍：,abR+

∈；（2）我們稱baba,2

為+的算術平均數(shù)，

稱baab,為的幾何平均數(shù)。即：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

3．常用的證明不等式的方法（1）比較法

比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—推斷—結論；為了推斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便推斷其正負。

（2）綜合法

利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理）和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質時要留意它們各自成立的條件。

綜合法證明不等式的規(guī)律關系是：12nABBBB?????L，及從已知條件A動身，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論B。（3）分析法

證明不等式時，有時可以從求證的不等式動身，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，假如能夠確定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。

（1）“分析法”是從求證的不等式動身，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”；

（2）綜合過程有時正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探究證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程。四．典例解析

題型1：考查不等式性質的題目

例1．（1）（06上海文，14）假如0,0ab，那么，下列不等式中正確的是（）

（A）

11

ab

（2）（06江蘇，8）設a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立．．．．的是（A）||||||cbcaba-+-≤-（B）a

aaa112

2+

≥+（C）21

||≥-+

-b

aba（D）aaaa-+≤+-+213解析：（1）答案：A；明顯0,0ab，但無法推斷ba,-與|||,|ba的大小；（2）運用排解法，C選項21

≥-+

-b

aba，當a－bb，c>d，則下列結論中正確的是（）

+c>b+d

－c>b－d>bdD.

c

bda>（2）（1999上海理，15）若a和|

|1||1ba>均不能成立

B.

b

ba1

1>-和||1||1ba>均不能成立C.不等式

aba11>-和（a+b1

）2>（b+a

1）2均不能成立

D.不等式

||1||1ba>和（a+a

1）2>（b+b1

）2均不能成立解析：（1）答案：A；∵a>b，c>d，∴a+c>b+d；

（2）答案：B

解析：∵b0，∴a－b>a，又∵a－b-不成立?！遖|b|，∴

||1||1ba不成立。由此可選B。另外，A中

ba11>成立.C與D中（a+b1）2>（b+a

1

）2成立。其證明如下：∵a|b+a

1

|，故（a+

b1）2>（b+a

1

）2。

點評：本題考查不等式的基本性質。題型2：基本不等式

例3．（06浙江理，7）“a＞b＞0”是“ab＜2

2

2ba+”的（）

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不允分也不必要條件

解析：A；2

2

ba+ab2≥中參數(shù)的取值不只是指可以取非負數(shù)。均值不等式滿意

)0,0(,2

>>≥+baabb

a。點評：該題考察了基本不等式中的易錯點。例4．（1）（2023京春）若實數(shù)a、

b滿意a+b=2，則3a+3b的最小值是（）

3

4

3

（2）（2000全國，7）若a＞b＞1，P＝balglg?，Q＝2

1（lga＋lgb），R＝lg（2ba+），

則（）

＜P＜Q

＜Q＜R＜P＜R

＜R＜Q

解析：（1）答案：B；3a+3b≥2baba+=?3233=6，當且僅當a=b=1時取等號。故3a+3b的最小值是6；

（2）答案：B；∵lga＞lgb＞0，∴

2

1

（lga＋lgb）＞balglg?，即Q＞P，又∵a＞b＞1，∴

abb

a>+2

，∴2

1

lg)2lg(

=時單調遞增，

而221132nnnnxxxx+++=+21142nnxx++≤+2

11(2)2nnxx++=+，

所以12nnxx+≤，即

11

,2

nnxx+≥因此1121211.2

nnnnnnxxxxxxx=

??????≥又由于122

12,nnnnxxxx+++≥+令2,nnnyxx=+則

11

.2

nnyy+≤由于21112,yxx=+=所以12

111.2

2

nnnyy--≤?=

因此2

21,2nnnnxxx-≤+≤故1211.22

nnnx--≤≤

點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎學問，以及不等式的證明，同時考查規(guī)律推理力量。

例8．（2023江蘇，22）已知a＞0，函數(shù)f（x）＝ax－bx2。

（1）當b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2

b；

（2）當b＞1時，證明：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2b；

（3）當0＜b≤1時，爭論：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件。（Ⅰ）證明：依設，對任意x∈R，都有f（x）≤1，

∵f（x）＝b

abaxb4)2(2

2+--，∴b

abaf4)2(2

=≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2b．

（Ⅱ）證明：必要性：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1?－1≤f（x），據(jù)此可以推出

－1≤f（1），

即a－b≥－1，∴a≥b－1；

對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1?f（x）≤1，由于b＞1，可以推出f（

b

1

）≤1，即a·

b

1

－1≤1，∴a≤2b；

∴b－1≤a≤2

b．

充分性：由于b＞1，a≥b－1，對任意x∈［0，1］，

可以推出：ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1；由于b＞1，a≤2

b，對任意x∈［0，1］，

可以推出ax－bx2≤2bx－bx2≤1，

即ax－bx2≤1。

∴－1≤f（x）≤1。

綜上，當b＞1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2

b．

（Ⅲ）解：由于a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］：f（x）＝ax－bx2≥－b≥－1，即f（x）≥－1；f（x）≤1?f（1）≤1?a－b≤1，即a≤b＋1，

a≤

b＋1?f（x）≤（b＋1）x－bx2≤1，即f（x）≤1。所以，當a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是a≤b＋1．22.解：原式?（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2。

當a=a2時，a=0或a=1，x∈?，當a＜a2時，a＞1或a＜0，a＜x＜a2，當a＞a2時0＜a＜1，a2＜x＜a，

∴當a＜0時a＜x＜a2，當0＜a＜1時，a2＜x＜a，當a＞1時，a＜x＜a2，當a=0或a=1時，x∈?。

點評：此題考查不等式的證明及分類爭論思想。題型5：課標創(chuàng)新題

例9．（06上海理，12）三個同學對問題“關于x的不等式2

x＋25＋|3

x－52

x|≥ax在[1，12]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路。

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”；乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”；丙說：“把不等式兩邊看成關于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像