數(shù)學線代線性代數(shù)課件

2.3行列式的展開定理

2.3.1行列式按一行（列）展開2.3.2伴隨矩陣與矩陣求逆在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，叫做元素aij的代數(shù)余子式．定義2.5

2.3.1行列式按一行（列）展開剩下的元素按原來的相對位置排列，叫做元素aij的余子式，記作Mij.行列式的每個元素分別對應著一個余子式和代數(shù)余子式.形成的n-1階行列式引理2.1:(2.8)證明當aij位于第一行第一列時,即有又從而引理2.2若A的第i行除aij外，其余元素都為零，則|A|=aijAij.把|A|的第i行依次與第i-1行，第i-2行…第1行對調，證明再把|A|的第j列依次與第j-1列，第j-2列…第1列對調，所以|A|=(-1)i+jaijMij設n階矩陣A=(aij)，則A的行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即

證明定理2.4同理可以證明列的情況.設n階矩陣A=(aij)，則A的行列式等于某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證明把行列式|A|按第j行展開，有|A|推論當ajk=aik(k=1,…,n)時=0

同理可證明列的情況.當i≠j時=++jninjiAaAaL11ai1…ain例2.11計算行列式解=1080例2.12計算n階行列式解按第一行展開，得,等號兩端減Dn-1，得這是一個關于Dn-Dn-1的遞推公式,反復使用遞推公式,得：因為所以故例2.13范德蒙德(Vandermonde)行列式

n階范德蒙德行列式的特點：(1)每列(行)為某個數(shù)的不同方冪.(2)冪次從0遞增到n-1.(3)結果為后列元素減去前列元素的乘積.(2.9)

證明用數(shù)學歸納法.所以當n=2時等式成立.由于Vn假設等式對于n-1階行列式成立,證n階范德蒙行列式也成立。將Vn降階：從第n行開始，后行減去前行的x1倍,則將Vn按第一列展開，并把每列的公因子(xi-x1)提出來，n-1階范德蒙德行列式例2.14計算n階行列式b≠ai,i=1,…,n.解用加邊法，構造n階行列式，使得按第一行（列）展開后，等于原行列式計算行列式常用方法：(1)利用定義.(2)利用性質化為三角形行列式.(3)行列式按行（列）展開原則.(4)遞推法.(5)數(shù)學歸納法.(6)每行和為常數(shù)，列相加，再提取公因子.(9)加邊法.(7)相鄰兩行依次相減，化簡行列式.(8)利用已有的結論.

定義2.62.3.2伴隨矩陣與矩陣求逆

稱為矩陣A的伴隨矩陣.行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構成的伴隨矩陣的性質:證明如下矩陣則故同理可得=矩陣A可逆的充要條件是|A|≠0,且

其中A*為矩陣A的伴隨矩陣.證明若可逆，矩陣A可逆，則|A|≠0即有B使AB=E.所以|AB|=|E|=1，又|AB|=所以|A|≠0.必要性.若|A|≠0，則矩陣A可逆充分性.由于所以故定理2.5說明:1.矩陣A可逆的充要條件：2.A的逆矩陣的計算：注意：方陣A的伴隨矩陣A*總是存在的，而A的逆陣卻例2.15判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，求其逆矩陣.不一定存在.解故A不可逆，B可逆。例