基于排隊(duì)論的收費(fèi)臺優(yōu)化模型研究

基于排隊(duì)論的收費(fèi)臺優(yōu)化模型研究

隨著出版業(yè)的快速發(fā)展，超市和購物中心之間的競爭變得越來越激烈。它是超市和任何消費(fèi)者最終完成交易的唯一途徑，團(tuán)隊(duì)系統(tǒng)是向前邁出的一步。排隊(duì)系統(tǒng)是超市和顧客接觸的前線,排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量將影響到公司在消費(fèi)者心中的形象,制約著公司整個運(yùn)營的水平和績效。優(yōu)化排隊(duì)系統(tǒng),為顧客提供最佳服務(wù)是公司面對競爭的必然選擇,而要從根本上解決排隊(duì)問題,公司必須在可接受的經(jīng)營成本下,使顧客盡量減少等待時間。由于顧客的到達(dá)是隨機(jī)的,各顧客需要交費(fèi)的時間也是隨機(jī)的,若開放的窗口過少,顧客等待時間會很長,使顧客不滿意,而導(dǎo)致顧客流失或轉(zhuǎn)向競爭者;若開放的窗口過多,雖然減少了顧客的等待時間,但將導(dǎo)致收銀員空閑,使企業(yè)的經(jīng)營成本增加。因此,如何根據(jù)顧客流量及所需的交費(fèi)時間動態(tài)地、合理地開設(shè)收費(fèi)窗口數(shù)目,使得顧客滿意且企業(yè)經(jīng)營成本也不會過高,這是該類企業(yè)亟待解決的問題?，F(xiàn)有解決這一問題的一般方法是將系統(tǒng)中的顧客由于等待所產(chǎn)生的損失費(fèi)用加企業(yè)開放收費(fèi)窗口的費(fèi)用作為總費(fèi)用,使得這個總費(fèi)用最小的收費(fèi)窗口數(shù)即為所求。在文獻(xiàn)提出的模型中,決策者需根據(jù)服務(wù)水平來決定最優(yōu)化的K值(K表示一個擁擠指標(biāo),當(dāng)每個隊(duì)伍中的人數(shù)超過K時就增加一個服務(wù)臺)和需開放的服務(wù)臺數(shù)。而服務(wù)水平的確定又必須考慮每位顧客的機(jī)會成本,即他們到達(dá)帶來的收入是否大于服務(wù)臺的運(yùn)營成本,但這往往很難確定。文獻(xiàn)探討了二層限制條件的M/G/1排隊(duì)模型的優(yōu)化問題,即服務(wù)員在二層限制條件下,根據(jù)不同的隊(duì)長確定開放服務(wù)臺的數(shù)量以降低成本,其假設(shè)顧客平均等待費(fèi)用已知且是線性的。文獻(xiàn)劃分不同的顧客等級,利用先到先服務(wù)的M/G/1排隊(duì)模型,提出了在多等級顧客中的價(jià)值構(gòu)成模型:凈收入=期望收入-顧客等待費(fèi)用-提高收入所需費(fèi)用,他們假設(shè)顧客的等待費(fèi)用為已知。以上文獻(xiàn)均把顧客由于等待所產(chǎn)生的費(fèi)用假設(shè)為一個已知量,將等待費(fèi)用和服務(wù)成本的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)得到最優(yōu)的控制策略,但在實(shí)際應(yīng)用中顧客的等待費(fèi)用往往很難確定。例如,一個70歲的退休老人與一個30歲的年輕人同樣等待1個小時所產(chǎn)生的損失費(fèi)用顯然是不同的,同一個人在不同時間的等待損失費(fèi)用也是不同的;另一方面,由于這類企業(yè)競爭激烈,應(yīng)提高服務(wù)質(zhì)量,把顧客滿意放在首位。因此,上述方法在實(shí)際中往往是不可行的?；诖?通過調(diào)查獲得顧客能接受的平均等待時間TD(N),提出了以TD(N)為約束條件的優(yōu)化模型,在此約束條件下可求得使服務(wù)成本最小的收費(fèi)臺數(shù)。本文通過成都市一大型超市的調(diào)查數(shù)據(jù),利用上述方法對收銀臺開放數(shù)目進(jìn)行優(yōu)化,所得結(jié)果比該商場原開放方式更能滿足顧客的要求,同時還節(jié)約了成本。1顧客到達(dá)和服務(wù)規(guī)則大型超市顧客交費(fèi)排隊(duì)系統(tǒng)是一個隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng),它有如下特征:(1)顧客到達(dá)收費(fèi)系統(tǒng)是相互獨(dú)立的,顧客相繼到達(dá)的時間間隔是隨機(jī)的;(2)服務(wù)規(guī)則遵從先到先服務(wù)原則,且為等待制,即顧客接受服務(wù)需要等待;(3)顧客交費(fèi)時間是相互獨(dú)立的。2滅及達(dá)到穩(wěn)態(tài)時,p0c系統(tǒng)運(yùn)行較長時間達(dá)到穩(wěn)態(tài),進(jìn)入系統(tǒng)的顧客可隨時改變其隊(duì)列。假設(shè)顧客的到達(dá)服從泊松分布,其交費(fèi)時間服從負(fù)指數(shù)分布,因此這個收費(fèi)系統(tǒng)是M/M/C/∞/∞的一個排隊(duì)系統(tǒng)。變量設(shè)置:λ(i)為顧客平均到達(dá)率;μ為服務(wù)員的服務(wù)率;ρc為系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度;pn(c)為開放c臺收銀機(jī)時在統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下系統(tǒng)中有n個顧客的概率;c(i)為i時段使服務(wù)成本最小的收費(fèi)臺數(shù);TD(N)為白天或晚上顧客能夠接受的平均等待時間。當(dāng)?shù)竭_(dá)率為λ(i),服務(wù)率為μ的生滅過程達(dá)到穩(wěn)態(tài)時,可得p0(c)=[c-1∑k=01k!(λ(i)μ)k+1cμ)c]-1?(1)pn(c)={1n!(λ(i)μ)np0(c)?n=1?2???c；1c!cn-c(λ(i)μ)np0(c)?n=c+1??。(2)由文獻(xiàn)可得,在M/M/C/∞/∞系統(tǒng)中,對于時段i(i=1,2,…,14),當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)時,每個顧客在系統(tǒng)中的等待時間W的均值為E(W)=pc(c)cμ(1-ρc)2=p0(λ(t)μ)n1n!nμ(nμ-λ)2?(3)式中,ρc=λ(i)cμ。本文的模型是,當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)時,一個顧客在收費(fèi)系統(tǒng)中的平均等待時間E(W)不超過顧客能夠接受的平均等待時間TD(N)的條件下,求使服務(wù)成本最小的收費(fèi)臺數(shù)c(i)=min{c|E(W)≤ΤD(Ν)}={min{c|pc(c)[cμ(1-ρc)2]≤ΤD}?1≤i≤9；min{c|pc(c)[cμ(1-ρc)2]≤ΤΝ}?10≤i≤14。(4)設(shè)Xi表示在時段i,當(dāng)收費(fèi)臺開放數(shù)為c(i)時,c(i)個收費(fèi)臺中正在工作的臺數(shù),則Xi的分布為P(Xi=k)=pk(c(i)),k=0,1,…,c(i)-1,(5)Ρ(Xi=c(i))=1-c(i)-1∑k=0pk(c(i)),(6)所以E(Xi)=c(i)-1∑k=1kpk(c(i))+c(i)[1-c(i)-1∑k=0pk(c(i))]。(7)因此,收費(fèi)臺的有效工作率為E(Xi)c(i)。3顧客到達(dá)率計(jì)算公式與顧客進(jìn)路數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述對成都某大型超市進(jìn)行調(diào)查,數(shù)據(jù)如下:(1)共設(shè)有40臺收銀機(jī),這些收銀機(jī)各時段的開放情況見表1。(2)在收費(fèi)系統(tǒng)現(xiàn)場連續(xù)記錄了150名顧客各自進(jìn)入系統(tǒng)的時刻,利用文獻(xiàn)中定數(shù)檢驗(yàn)法得到一天i時段內(nèi)進(jìn)入收費(fèi)系統(tǒng)的顧客流是一個符合泊松分布的顧客流,其平均到達(dá)率記為λ(i)(數(shù)據(jù)見表1)。值得注意的是,進(jìn)入收費(fèi)系統(tǒng)的顧客流在一個時段內(nèi)是一平穩(wěn)泊松流,但在整個一天內(nèi)卻不是一個平穩(wěn)泊松流。(3)利用計(jì)算機(jī)收費(fèi)記錄數(shù)據(jù),隨機(jī)選取了400名顧客交費(fèi)時所需的時間數(shù)據(jù),通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)得到顧客交費(fèi)時所需的時間v是服從負(fù)指數(shù)分布且其均值為E(v)=μ-1=1.629min/人,即μ=36.8人/h。(4)通過對100名隨機(jī)選擇的購物顧客的調(diào)查,獲得了顧客在交費(fèi)時能夠接受的等待時間數(shù)據(jù)。對這些數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn),9∶00～19∶00顧客能夠接受的等待時間均值為TD=0.11h,19∶00～23∶00的均值為TN=0.13h。這說明,晚上顧客的時間沒白天那么緊迫,所以晚上能夠接受的等待時間大于白天能夠接受的等待時間。4cibi和ez根據(jù)上述模型,借助MATLAB軟件,代入以上的商場數(shù)據(jù)即可研究該排隊(duì)系統(tǒng)中服務(wù)臺數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。編制含有5個子程序[關(guān)于p0(c),pn(c),E(W),c(i)和E(Xi)]的MATLAB源程序來實(shí)現(xiàn)如下功能:給定顧客在各時段的平均到達(dá)率λ(i)、平均服務(wù)率μ,以及服務(wù)臺數(shù)的起始變化值及終止值(需要注意最小開放服務(wù)臺數(shù)應(yīng)保證系統(tǒng)服務(wù)率,即ρc=λ(i)cμ＜1才能使系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡)的情況下,算出各時段顧客等待時間不超過TD(N)的c(i)值,再算出E(Xi)值及E(Xi)c(i)的值。計(jì)算結(jié)果見表2。5收銀臺有效工作率(1)從表2可見,在時段9∶00～11∶00及17∶00～21∶00優(yōu)化的臺數(shù)c(i)小于實(shí)際開放的臺數(shù),可見這些時段實(shí)際開放的臺數(shù)過多,而11∶00～17∶00和21∶00～23∶00期間實(shí)際開放的收費(fèi)臺數(shù)又太少,尤其是22∶00～23∶00時段,這樣顧客等待的時間將會超過他們能接受的等待時間,從而使得顧客不滿意。從表2還可看到,優(yōu)化后各時段收費(fèi)系統(tǒng)的有效工作率E(Xi)c(i)均在95%以上,說明收銀員的工作量比較飽和,避免了由于收銀臺開放數(shù)過多造成的人員浪費(fèi)。(2)大型超市的排隊(duì)系統(tǒng)還可設(shè)置少許輔助人員,在客流量大時作收銀員,客流量小時可將顧客準(zhǔn)備購買但排隊(duì)時又放棄購買的貨物整理放回貨架,這樣既可進(jìn)一步優(yōu)化排隊(duì)系統(tǒng),也是降低成本的一種途徑。6節(jié)約成本的原則從上可