鏈?zhǔn)椒▌t的一般形式

鏈?zhǔn)椒▌t的一般形式 若u=f(x1,…,x),x.=申.(t1,…,t),(i=1,…,n),則TOC\o"1-5"\h\z1nii1 mu=￡u(x.),即學(xué)=2學(xué)牛(j=1,…,m).總之，復(fù)合函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)數(shù)tj xi i“ dt oxoti=1 j i=1 ij等于所有對中間變量的偏導(dǎo)數(shù)與中間變量對自變量的偏導(dǎo)數(shù)之積的和.特例:申(t)=f(tx)=f(tx「…，tx”),申'(t)=x1D]f(tx)+…+x”Dnf(tx).*△(齊次函數(shù)的Euler公式)(p.123.6對三元函數(shù))若存在k使f:R?-R滿足f(tx)=tkf(x)(t>0,xUR”.書上的定義中k>0,tuR),則稱f為k次齊次函數(shù)?證明：可微函數(shù)f是k次齊次函數(shù)ox]D1f+…+xnDnf(=(gradf,x))=kf.(*)證nf(tx)=tkf(x).兩端對t求導(dǎo)，得x]D]f(tx)+…+x”D”f(tx)=ktk-]f(x).令t=1得(*).u設(shè)申(t)=f(tx)/tk,(即證申(t)=f(x).由申(1)=f(x),只要證申(t)=申(1),即證申常值)，貝呦可微,申'(t)=丄(tk(x1D1f(tx)+…+xDf(tx))-ktk-1f(x))=丄12k 1 1 nn tk+1(tx1D]f(tx)+…+tx”Dnf(tx)-kf(tx))(以tx.代條件(*)中的x.)=0,故申常值,申(t)=申=f(x),f(tx)=tkf(x). y y*Euler公式的應(yīng)用.(1)證明u=xf(蘭)+yg(蘭)滿足x2u+2xyu+y2u=0.x x xx xyyyp.143.3(2).解(1)(u是一次齊次函數(shù))用兩次Euler公式.(2)u是1+2+???+(n-1)=力n(n+1)次齊次函數(shù).補(bǔ)充練習(xí)△u=x3siny+y3sinx,求—.(-6(cosx+cosy)ox3oy3u=exyz,求uxyz.(exyz(1+3xyz+x2y2z2))u=(x-心(y-b)q,求筈計(jì)(P!q!)x+yu=x+yu=—x-y,求0p+qW0xp0yq2(-1)p(p+q-l)!(qx+py)(x-y)p+q+1證明z=xnf(丄)滿足方程xzx+2yz=nz.x2 xy證明z=yf(x2-y2)滿足方程y12zx+xyzy=xz.111已矢廿u=12x4- x3(y+z)+-jx2yz+f(y-x,z-x),化簡u*+uy+u?.(xyz)△證明u=屮(x—at)+屮(x+at)滿足u=a2u.△證明△證明u=x申(x+y)+y屮(x+y)滿足u-2u+u=0. xx xyyy △設(shè)u=Inx,v=In(y+Jl+y2),以u,v為自變量變換方程xz+小+y2z=xy.xy(z+z=eushv)uvTOC\o"1-5"\h\z△設(shè)x=rcos屮,y=rsin牡變換(1)xu—yu;(2)xu=yu;(3)x2u+2xyu+y2y x x y xx xyu. ((1)u;(2)ru;(3)r2u.)yy 屮 r rr7△設(shè)x=rsinOcos屮,y=rsinOsin屮,z=rcosO,變換u2+u2+u2. (u2+r-2w2+(rxyz r OsinO)-2u『)七.方向?qū)?shù)與梯度偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率,方向?qū)?shù)是函數(shù)沿任意方向的變化率.t等

等.a設(shè)f:D(uRn)fR,aUD°,l為方向(111=1)若極限limf(a+〃)_f⑷存在，則稱tt等

等.a之為f在a沿方向1的方向?qū)?shù)，記為Df(a),f(a),g(a),雪等.11 01 01aex若記g(t)=f(a+t1),則Df⑷=g'(0).設(shè)1=(1],…，1”),a=@],…，a”)，則g(t)=f(a+t1)=f(a1+弘,…,an+t1”).由鏈?zhǔn)椒▌t(u=f(x),x=a+t1),當(dāng)f在a可微時(shí),g'(t)

=lf(a+tl)+…+lf(a+tl),f(a)=lf(a)+…+lf(a).因此,若設(shè)gradf(a)1xnxl1xnx■yV’ ■yV ■yV’ ■yV1n1n=(f (a),…,f (a)) (= (Df⑷，…,D“ f⑷))，則f(a)=gradf(a) -lWlgradf(a)l,等號x1 xn 1nlogradf(a)=cl,即l= .稱gradf⑷為f在a處的梯度(向量).這證明了下列l(wèi)gradf(a)l命題若f在a可微，則f沿任何方向的導(dǎo)數(shù)都存在，且f(a)=gradf(a)-l.方向?qū)?shù)沿梯度方向達(dá)到最大值Igradf(a)l,沿梯度相反方向達(dá)到最小值-lgradf(a)l.(換言之，沿梯度方向,函數(shù)的變化率最大.)特例：①偏導(dǎo)數(shù).取l=ei=(0,…,0,1,0,…,0),有g(shù)radf(a)-l=f”(a).②二元：l=i(cos。,sin。).③三元：l=(cosa,cosp,cosy).n元：l=(cos(l,xj,…，cos(l,x”)).注1所有方向?qū)?shù)存在(稱為弱可微)冷連續(xù). "例f(X,y)=<前已證明lim f(x,y)例f(X,y)=<前已證明lim f(x,y)不存在，故在(0,0)不連(X,y)t(0,0)x4+y20, (x,y)=(0,0).0,sin。=0,計(jì),sin。工0.、sin。續(xù).(因而不可微，不能用上述命題求方向?qū)?shù)0,sin。=0,計(jì),sin。工0.、sin。Df(0,0)=limf(tcos。，tsin。)一f(0，0)=lim co訐sin。。l tTO t tTO12CoS4。+sin2。：+y，害;(，fx(0,0)=1=fy：+y，害;(，fx(0,0)=1=fy(0,0).當(dāng)cos。工0,sin。工0時(shí)，方向?qū)?shù)Hm八… =lim◎不存在.tT0 t tT0 t△p.125例1.方向向量(3,-3,3),魯(1,1,1)=(1,2y,3z2)-(；,-；,；)△(p.127.6(3))證明:grad(uv)=ugradv+vgradu.(3"")=v+uf(tcos。,tsin。)一f(0,0)=1=3.(1丄1)dx '8x' 8x，) i i i△求Dvf(0,0),若f(x,y)=』x2一y2|,v=(cos。,sin。),0W。W2兀.解g(t)=f(tcos。,tsin。)=111Jcos2。I.v=(±乎,±乎)時(shí)Dvf(0,0)=g'(0)=0.在其它方向,g-'(0)= ■llcos20I,盯(0)=Jlcos2。I,方向?qū)?shù)不存在.(注.書上定義的是單側(cè)方向?qū)?shù),=g+'(0),是存在的.)△(p.127.10)設(shè)f可微,l1，l2UR2線性無關(guān).若fl=fl=0,則f常值.八.中值定理與Taylor公式前已接觸過f(x,y)一f(a,b)=fx(g,y)(x-a)+厶(a,H)(y一b),g在a,x之間,耳在b,y之間，條件是f在點(diǎn)(a,b)附近有偏導(dǎo)數(shù). '在求方向?qū)?shù)時(shí)已經(jīng)知道，在連接點(diǎn)(a,b)與(a+h,b+k)的線段(x,y)=(a+th,b+tk)(0WtW1)上f是一元函數(shù)申(t)=f(a+th,b+tk)(0WtW1).對它用一元函數(shù)中值定理，有(為使申可微，需條件f可微)申(1)―申(0)=申'(。)(0＜。＜1),即(注意申'(t)=fx(a+th,b+tk)h+fy(a+th,b+tk)k)f(a+h,b+k)一f(a,b)=f(a+Oh,b+Ok)h+f(a+Oh,b+Ok)k (*)為保證連接任何(a+h,b+k)與(a,b)的線段在f的定義域內(nèi)，要求f的定義域是凸的.這樣,有中值定理設(shè)D為R2的凸開域,f在D內(nèi)可微，則對D內(nèi)任意兩點(diǎn)(a,b),(a+h,b+k)有。

u(0,1)使(*)式成立.證設(shè)申(t)=f(a+th,b+tk),則申在［0,1］上可微，….注1若記x0=(a,b),x=(a+h,b+k),連接x0,x的線段為g=(a+0h,b+Ok),則結(jié)論成為3ger使f(x)-f(x0)=gradf(g)-(x-x°).這對n元函數(shù)當(dāng)然也成立.注2凸域可減弱為星形域.推論設(shè)D,f同上(可以是n元函數(shù)).(1)若推論設(shè)D,f同上(可以是n元函數(shù)).(1)若3M^0VxUD|gradf(x)IWM,則Vx,x°UD,If(x)-f(x0)KMIb-aI；(2)若gradf=0,則f常值.用同樣的思想可以求多元函數(shù)的Taylor公式.為使符號簡單，下面只對二元函數(shù)討論.RR設(shè)申(t)=f(a+th,b+tk)(0WtW1),則?'(t)——(^―+k—)f(a+th,b+tk),Rx Ry9〃(t)——h(―h+ k)+k(h+^—^k)=(h—+k―y)2f(a+th,b+tk),―x2 ―x—y ―y―x ―y2 ―x ―y一般地,用數(shù)學(xué)歸納法可得9(m)(t)=(h￡+k—)mf(a+ th, b+tk)=為Cihm-iki—m f(a +th,b+tk).—x卽 i——0m —xm-i如9(n)(0),9(n+1)(°)得? +(n+1)!，得(h丄+k』)n+1f(a+Oh,b+°k).n!f(a+h'b+k)=f(a'b)+三k!(噲+k各)kf(a'b)+(n+1)廠抵為使混合偏導(dǎo)數(shù)相等「要求所有n+1階偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的，即fUC(n+1).Peano余項(xiàng)是o存+k2)n/2,這時(shí)只要fUC(n).一 月R*注對n元函數(shù)，上面公式中,(h,k)以h=(人,…,h)代替,h—+k、即(h,k)-grad1n Rx Ry現(xiàn)在是h-grad,即h"+…+hD,由多項(xiàng)式展開定理，有1 1 nn(hD+…+hD)m=為h…h(huán)D1 1 nn ST^kZ］，…,Zr=1Taylor公式是f(a+h)=f(a)+藝—(h-grad)kf(a)+ (h-grad)m+1f(a+Oh).(*)k! (m+1)!k——1如果把一元函數(shù)f的導(dǎo)數(shù)f(k)(a)用另一種記號Dkf(a),則f的Taylor公式是f(a+h)=f⑷+刀］(hD)kf(a)+ + (hD)m+1f(a+Oh).k——1容易看出(*)與它的相似性.△計(jì)算(1.1)1.02.法一.用微分:f(a+h,b+k)af(a,b)+hf^(a,b)+k/(a,b),f(x,y)=xy,a=b=1,h=0.1,k=0.02,(1.1)1.02心11+0.1Xyxy-1I(11)+0.02XxyInxI(11)=1.1.(1,1)(1,1)fxy+k2fyy)(a,b),fxx(x,y)=y(y-1)xy-2,fxy(x,y)=xy-1+yxy-1fxy+k2fyy)(a,b),fxx(x,y)=y(y-1)xy-2,fxy(x,y)=xy-1+yxy-1lnx,fyy(x,y)=xyln2x,(1.1)1.02心1+0.1+0+力(0.12X0+2X0.1X0.02X1+(0.02)2X0)=1.102.△設(shè)IxI,IyI充分小，求f(x,y)=arctan 的到二次項(xiàng)的近似公式.1-x+y解f(x,y)"f(0,0)+x￡(0,0)+yfy(0,0)+2(xf”(0,0)+2xyfy(0,0)+y2fy(0,0)兀= +x—xy4九.(局部)極值與最大最小值極大、極小、嚴(yán)格極大、嚴(yán)格極小、最大、最小值.極值點(diǎn)只限于定義域的內(nèi)點(diǎn).極值必要條件若f在a處有極值，且各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則gradf(a)=0.

證f在a=(%?：化)處有極值巳(t)=f(a，：?._1,t，%①在%處有極值二gi(a.)=0nfx(a)=0(i=1,…，n).駐點(diǎn)=穩(wěn)定點(diǎn)=梯度為0的點(diǎn).鞍點(diǎn)=非極值點(diǎn)的駐點(diǎn).如(0,0)是z=xy的鞍點(diǎn)(圖見p.91).例f(x,y)*x2+y2在(0,0)極小，偏導(dǎo)數(shù)不存在.對多元函數(shù)，不能從偏導(dǎo)數(shù)的符號變化判斷極值，如z=xy.以下對二元函數(shù)考慮極值充分條件.設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y),(a,b)是其駐點(diǎn).顯然,f(a,b)是否極值，由Az=f(a+h,b+k)-f(a,b)當(dāng)IhI,IkI充分小時(shí)的符號確定.設(shè)在(a,b)的某鄰域內(nèi)fuC⑵(這是為了用Peano余項(xiàng))，則有△z=力(h2f(a,b)+2hkf(a,b)+k2f(a,b))+o(p2)(p=\''h2+k2),xx xy yy當(dāng)厶z$0時(shí)f(a,b)極小，W0時(shí)極大，不定時(shí)不是極值.為記號簡單，設(shè)A=f(a,b),B=fxx xy(a,b),C=fyy(a,b),Q(h,k)=Ah2+2Bhk+Ck2,則△z=力(Ah2+2Bhk+Ck2)+o(p2)=力Q(h,k)+o(p2).1°若Vh,k,Q(h,k)>0(即二次型Q正定)，則f(a,b)極小.事實(shí)上,△乙=2p2(Q(p,p)+a(p)),其中a(p)=2°pQ-0(p-0).Q(p,p)關(guān)2pp p2 pp于h,k連續(xù)且(魯)2+(p)2=1,故在單位圓周上達(dá)到最小值，設(shè)為m,則Vh,k,Q(p,I)三m>0.因?yàn)閍(p)-0(p-0),故p充分小時(shí)Ia(p)I<m,從而p充分小時(shí)厶z$0,即在(a,b)附近&三0.2°若Vh,k,Q(h,k)<0(即二次型Q負(fù)定)，則f(a,b)極大.3°在其它情形(即Q不定時(shí)),f(a,b)不是極值.(反證法)設(shè)f(a,b)極小，則Q(h,k)三0.事實(shí)上，設(shè)％h0,k0)使Q(h0,k0)<0.(下面證明f(a,b)不是極小值，即在(a,b)的任何鄰域內(nèi)有點(diǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值<f(a,b).這樣的點(diǎn)在由(a,血和(a+h0,b+k0)確定的直線上就有?)記p02=h02+k02,則對f(a+th0,b+tk0)hk hk1-f(a,b)=212p02(Q(po 0)+a(tp0))有Q(p0 0)=一Q(h0,k0)<0.因?yàn)閠-0時(shí)0 p0hp0k0 p0p0 p02 00tp0—0,故t充分小時(shí)Q(-p^,p-)+a(tp0)<0,從而f(a+th0,b+tk0)<f(a,b),與f(a,b)極小矛盾.類似地,f(a,b)極大時(shí)Q(h,k)W0.注以上證明了f(a,b)是極值nQ半定.極值充分條件設(shè)在(a,b)極值充分條件設(shè)在(a,b)的某鄰域內(nèi)fUC⑵且(a,b)是f的駐點(diǎn),A=f^，⑵，"=fy(a，b),C=fy(a,b),則當(dāng)二次型Ah2+2Bhk+Ck2(h,kuR)(等價(jià)地，矩陣'AIBC丿Hessia矩陣)正定時(shí)f(a,b)極小，負(fù)定時(shí)極大，不定時(shí)不是極值.(又,f(a,b)極小時(shí)上述二次型正半定,極大時(shí)負(fù)半定.)Ab推論設(shè)A= 若A：>0,A>0,則f(a,b)極小;若A>0,A<0,則f(a,b)極大;BC若A<0,則f(a,b)若A<0,則f(a,b)是鞍點(diǎn)；若A=0,則不能確定.>0,A>0,A>0,<0,A>0,A<0.證Q(h,k)=A((h+Bk)2+AC廠B2k2)<AA2JB若A<0,則Q(h,k)不定.若A=0,則Q(h,k)=A(h+ k)21A0,A>0,<0,A<0,不能確定.例如設(shè)f(x,y)=x2-y4,貝l」(0,0)是駐點(diǎn),A=0,但(0,0)是鞍點(diǎn):yM0時(shí)f(0,y)<0,xM0時(shí)f(x,0)>0;設(shè)g(x,y)=(x2+y2)5/2,貝則(0,0)是駐點(diǎn),A=0,但f(0,0)極小.注1.對一元函數(shù),A=A,成為一元函數(shù)極值的二階導(dǎo)數(shù)判別法.(久f(a)…DJ(a)]對n元函數(shù)，類似的結(jié)論成立.Hessia矩陣為 ，二次型IDn1f(a)…Dnnf(")丿Q現(xiàn)在是Q(h],…,h)=￡D.f(a)hh..Hessia矩陣的n個(gè)順序主子式均〉0時(shí)極小，負(fù)1 n IJ IJi,J=1正相間時(shí)極大.當(dāng)只有一個(gè)駐點(diǎn)(設(shè)為a)時(shí)，如果能從所論函數(shù)本身判明它確有極值，則a就是極值點(diǎn).這時(shí)只要計(jì)算D11f(a),>0時(shí)極小,<0時(shí)極大.p.138例6.△(p.138例8)討論f(x,y)=(y-x2)(y-2x2)在原點(diǎn)是否取得極值.解f(x,y)=y2-3x2y+2x4.由fx(x,y)=-6xy+8x3=0,fy(x,y)=2y-3x2=0得駐點(diǎn)(0,0).(f”(0,0)=fy(0,0)=0,△=0,不能用推論.)因?yàn)閤2<y<2x/時(shí)f(x,y)<0,y<x2或y>2x2時(shí)f(x,y)>0,故在(0,0)的鄰域內(nèi)f總能取得正值與負(fù)值(如f(x,3x2)<0,f(x,2x2)>0),從而f(0,0)=0不是極值.*注但在通過原點(diǎn)的任一直線上f(0,0)極小.事實(shí)上，設(shè)g(x)=f(x,kx)=k2x2-3kx2+2x4,則g'(0)=0,g"(0)=2k2>0(kM0),故g(0)極小.當(dāng)k=0時(shí)g(x)=2x4,g(0)也極小.因此本例說明函數(shù)沿直線極小時(shí)它不一定極小.f(x,y)=xy-x3y-xy3.由fx(x,y)=y-3x2y-y3=0,fy(x,y)=x-x3-3xy2=0得9個(gè)駐點(diǎn):P1(0,0),P2(1,0),P3(-1,0),P4(0,1),P5(0,-1),P6(力,力),P7(-%,-%),P8(%,-%),P9(-%,%)?fxx(x，y)=-6xy,fxx(x，y)fy(x，y)一fy2(x，y)=(-6xy)2-(1-3x2-3y2)2.對p1,^=-1<0；對P2,P3,P4,P5,△=-4<0,都是鞍點(diǎn).對P6,P7,P8,P9,△=2>0,P6,P7極大(1/8),P8,P9極小(-1/8).△考察函數(shù)f(x,y)=(1+ey)cosx-yey的極值.解fx(x,y)=-sinx(1+ey),fy(x,y)=(cosx-1-y)ey,駐點(diǎn)P“(n兀，(-1)n-1)(n=Z).仁(x,y)=-cosx(1+ey),fy(x,y)=-eysinx,fy(x,y)=(cosx-2-y)ey.對P2n,A=-2<0,△=-2X(-1)-02=2>0,極大(2);對P2n一],A=1+e-2>0,B=0,C=-e-2,△<0,不是極值點(diǎn).*△考察函數(shù)f(x,y,z)=x2-2xy+2y2+z2-yz+x+3y-z的極值.駐點(diǎn)(-￥駐點(diǎn)(-￥，-3,-2),6 3 3/2Hessia矩陣-2、0-24-10、-1,極小.求函數(shù)的最大最小值.步驟:1.確定是否有最大、最小值(從連續(xù)函數(shù)性質(zhì)或問題的實(shí)際意義確定);求駐點(diǎn)及定義域內(nèi)部有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(即梯度不存在的點(diǎn));比較函數(shù)在這些點(diǎn)及在邊界上的值,最大(小)者即為最大(小)值.△求函數(shù)f(x,y)=xy-x3y-xy3在正方形[0,1]2上的最大、最小值.解駐點(diǎn)為(力,力).在駐點(diǎn)處的函數(shù)值為1/8,在邊界上的函數(shù)值為f(0,y)=f(x,0)=0,f(1,y)=-y3(0WyW1),f(x,1)=-x3(0<x<1),故最大值為1/8,最小值為-1.△求函數(shù)f(x,y)=ax2+2bxy+ay2(b>a>0)在x2+y2W1上的最大、最小值.解駐點(diǎn)(0,0).在邊界上,f(x,±.'1-x2)=a±2bx\1-x2=g(x)(IxIW1).由g'(x)=0得x=± /2.因?yàn)間(1)=g(-1)=a,g(J2/2)=a土b,g("2/2)=a+b,f(0,0)=0,故有

最大值a+b,最小值a-b.注1.因?yàn)橐?x,-y代x,y時(shí)f及區(qū)域不變，故考察邊界時(shí)可只考慮f(x,d-x2).2.本題也可用初等方法解決:—(x2+y2)W2xyWx2+y2,兩個(gè)等號依次當(dāng)且僅當(dāng)x=—y和x=y時(shí)成立，故a-bW(a—b)(x2+y2)Wf(x,y)=a(x2+y2)+2bxyW(a+b)(x2+y2)Wa+b且x=y時(shí)右邊兩不等式成立,x=-y時(shí)左邊兩不等式成立.用初等方法有時(shí)會(huì)更簡便,但它通常依賴于技巧,而高等數(shù)學(xué)方法有普適性.△證明:圓內(nèi)接三角形中,正三角形的面積最大.證設(shè)圓內(nèi)接三角形三邊所對的圓心角為x,y,2兀-x-y,圓半徑為r,則三角形面積為％r2(sinx+siny-sin(x+y))(x20,y三0,x+yW2兀).設(shè)f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y),D{(x,y)Ix20,y{(x,y)Ix20,y三0,x+yW2兀}.令fx(x,y)=fy(x,y)=220,得D內(nèi)有唯一的駐點(diǎn)(§^,—兀).在D的邊界上,f(0,y)=f(x,0)=f(x,2兀-x)=0,故面積最大值為34—r2,此時(shí)三角形三內(nèi)角為兀/3,即為正三角形.△證明：xyWxInx—x+ey(x21,y三0).證即證f(x,y)=xInx-x+ey-xy在D={(x,y)Ix^1,y^0}上有最小值0.由￡(x,y)=