勾股定理題型總結(jié)

勾股定理知識(shí)技能和題型歸納(一)一知識(shí)技能一、 本章知識(shí)內(nèi)容歸納1、 勾股定理——揭示的是平面幾何圖形本身所蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系。重視勾股定理的敘述形式：直角三角形直角邊上的兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊上的正方形的面積、直角三角形斜邊長(zhǎng)度的平方，等于兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度平方之和、從這兩種形式來(lái)看，有“形的勾股定理”和“數(shù)的勾股定理"之分、定理的作用：已知直角三角形的兩邊，求第三邊。證明三角形中的某些線段的平方關(guān)系。作長(zhǎng)為的線段、(利用勾股定理探究長(zhǎng)度為……的無(wú)理數(shù)線段的幾何作圖方法，并在數(shù)軸上將這些點(diǎn)表示出來(lái)，進(jìn)一步反映了數(shù)與形的互相表示,加深對(duì)無(wú)理數(shù)概念的認(rèn)識(shí)、)2、 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理的證明方法，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)三角形與直角三角形全等，達(dá)到證明某個(gè)角為直角的目的。逆定理的作用：判定一個(gè)三角形是否為直角三角形、⑶勾股定理的逆定理是把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，是利用代數(shù)計(jì)算來(lái)證明幾何問(wèn)題。要注意敘述及書(shū)寫(xiě)格式、運(yùn)用勾股定理的逆定理的步驟如下：首先確定最大的邊(如c)驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系：若，則△A8C是以NC為90°的直角三角形。若，則△ABC不是直角三角形。補(bǔ)充知識(shí)：當(dāng)時(shí),則是銳角三角形當(dāng)時(shí)，則是鈍角三角形、(4)通過(guò)總結(jié)歸納，記住一些常用的勾股數(shù)、如：3,4,5;5,12,13；6,8,10;8,15,17;9,40,41；……以及這些數(shù)組的倍數(shù)組成的數(shù)組。勾股數(shù)組的一般規(guī)律：丟番圖發(fā)現(xiàn)的：式子的正整數(shù))畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的：(的整數(shù))柏拉圖發(fā)現(xiàn)的：(的整數(shù))3、 勾股定理與勾股定理逆定理的關(guān)系注意分清應(yīng)用條件：勾股定理是由直角得到三條邊的關(guān)系，勾股定理逆定理則是由邊的關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)角是否為直角。依照課標(biāo)要求，對(duì)原命題、逆命題及命題之間的關(guān)系只要求依照例子了解即可，不必專(zhuān)門(mén)訓(xùn)練、二、 本章解題技能歸納1、直角三角形的性質(zhì)與判定小結(jié)

(1)直角三角形的性質(zhì)：角的關(guān)系：直角三角形兩銳角互余。邊的關(guān)系：直角三角形斜邊大于直角邊。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、邊角關(guān)系：直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。雙垂圖：雙垂圖中的線段關(guān)系、⑵直角三角形的判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。兩邊的平方和等于第三邊(最長(zhǎng)的邊)的平方的三角形是直角三角形。2、 已知直角三角形的兩邊長(zhǎng),會(huì)求第三邊長(zhǎng)設(shè)直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,由勾股定理明白：。變形得:，因此已知直角三角形的任意兩邊，利用勾股定理可求出第三條邊。3、 當(dāng)直角三角形中含有30°與45°角時(shí)，已知一邊,會(huì)求其它的邊含有30°的直角三角形的三邊的比為：1：。含有45°的直角三角形的三邊的比為：。⑶等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則高為，面積為。三、閱讀與考慮——“希波克拉底月牙形”的三S的面積S1，S2,S3有什么關(guān)系？答： (1) 如左圖：的三S的面積S1，S2,S3有什么關(guān)系？答： ⑵如圖：NC=9o°，/ABC的面積為20,在VB的同側(cè)，分別以AB,BC,AC為直徑作三個(gè)半圓■則陰影部分(即*波克拉底月牙形”)的面積為勾股定理知識(shí)技能和題型歸納(二)——題型一、基礎(chǔ)練習(xí)(要求熟練掌握)1、 在NABC中，a,b,c為三邊長(zhǎng)、當(dāng)NA=90。時(shí)，三邊關(guān)系、當(dāng)NC=90°時(shí)，三邊關(guān)系、當(dāng)時(shí),=90°、2、 如圖，在RtAABC中，/C=90°,BC=a,AC=b,AB=c、已知a=5,b=12,則c=;已知b=6,c=10,則a=已知a=2,c=,則b=;已知a=15,b=20,則MABC的周長(zhǎng)=;已知a=2,c=2、5,則^ABC的面積=;已知a:c=3:5,a+c=32,則卜=;已知c=10,a:b=3:4,則a=,b=,斜邊上的高

3、 已知^ABC3、 已知^ABC是直角三角形,AC=3,BC=5,求AB的長(zhǎng)。4、 在△ABC中，NC=90°,AB=20。（1）若NB=45°，求BC、AC。（2）若NA=60°，求BC、AC。5、 求下列圖中未知數(shù)x、y、z的值：6、 在4ABC的三邊，且，判斷4ABC的形狀。7、 若^ABC的三邊滿足條件，判斷y=z=△ABC的形狀。8、 AABC的三邊，滿足邊的長(zhǎng)是的解，求^ABC中最大角的度數(shù)、9、 用本章學(xué)過(guò)的知識(shí)判斷直線與的位置關(guān)系，說(shuō)明理由。10、 在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時(shí)8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，您明白乙船是沿哪個(gè)方向航行的不？11、 為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設(shè)一邊長(zhǎng)為10米的等腰三角形綠地，請(qǐng)您求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。12、 如圖，鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距25千米，C、D為兩個(gè)村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DA^AB于A,CB±AB于B,DA=15千米，CB=10千米,現(xiàn)要在鐵路上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E,使得C、D兩村到E的的距離相等，則E應(yīng)建在距A多少千米處？13、 在河L的同側(cè)有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)A、B相距164。米，其中A距河210米,B距河570米，現(xiàn)要在河岸上建一個(gè)貨運(yùn)碼頭，使得兩倉(cāng)庫(kù)到碼頭的路程和最短，問(wèn)：這個(gè)最短路程是多少？碼頭應(yīng)建在何處？三、典型數(shù)學(xué)思想、方法的訓(xùn)練（一）方程思想進(jìn)行計(jì)算14、 小明用一根長(zhǎng)30厘米的繩子折成三段，圍成一個(gè)三角形，他用尺子量了一下，其中一條線段的長(zhǎng)度比較短線段長(zhǎng)7厘米,比較長(zhǎng)線段短1厘米,請(qǐng)您幫助小明判斷一下，他圍成的三角形是直角三角形不？15、 已知△ABC中，/C=90°,D、E分別為BC、AC的中點(diǎn),AD=5,BE=，求AB的長(zhǎng)、16、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。假如把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。這個(gè)水池的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別為多少？17、如圖所示、已知:在正方形ABCD中，/BAC的平分線交BC于E,作EF±AC于尸，作FG^AB于G、求的值、（二）構(gòu)造直角三角形18、已知△ABC中，AB=8,AC=7,BC=6，求△△&「的面積。

19、 已知△ABC中，NB=30°,ZC=45°,AB~AC=2~,求BC的長(zhǎng)。20、 已知：如圖，AB=AC=20,BC=32,D為BC邊上一點(diǎn)，/DAC=90。、求BD的長(zhǎng)、21、 (1)寫(xiě)出三種用“構(gòu)造斜邊長(zhǎng)為的直角三角形的方法''作長(zhǎng)為的線段的方案、能否通過(guò)“構(gòu)造直角邊長(zhǎng)為的直角三角形的方法”來(lái)作長(zhǎng)為的線段？若能，寫(xiě)出三角形的三邊；若不能，說(shuō)明理由。在(1)中，作長(zhǎng)為的線段,往往需要先作出其它長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段才能求出長(zhǎng)為的線段，關(guān)于正整數(shù)，能否通過(guò)構(gòu)造兩邊均為有理數(shù)的直角三角形求出作長(zhǎng)為的線段？若能，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)三角形三邊之間的關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由、勾股定理與變換22、 已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C處,BC與AD交于點(diǎn)、E,AD=8,AB=4,求DE的長(zhǎng)、3、(2004年荊州中考)一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種證明方法。如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到的位置，連結(jié)，設(shè),請(qǐng)利用四邊形的面積證明勾股定理。24、 AABC中,CD是AB邊上的中線,AC=8,BC=6,CD=5,判斷△ABC的形狀。面積法：25、 設(shè)表示三角形的三條高，假如 ，那么這個(gè)三角形是什么三角形？26、 證明：直角三角形的斜邊與斜邊上的高的和大于兩直角邊之和。27、 已知:平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)A(),B(),C(0,-3),(1)判斷的形狀并說(shuō)明理由；⑵若點(diǎn)D的坐標(biāo)為，求中CD邊上的高h(yuǎn)的值、TOC\o"1-5"\h\z28、 如圖，已知直線與x軸、y軸分別 y交于點(diǎn)A、B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi) f作等腰RtAABC,ZBAC=90O且P(1,a)為坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、 r求AABC的面積； r<T/證明不論3取任何實(shí)數(shù)，AB0P的面積是一個(gè)常數(shù) %要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實(shí)數(shù)a的值、 。 爻代數(shù)計(jì)算證明幾何問(wèn)題：29、 求證:直角三角形中兩直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍、30、 如圖△ABC中，ZC=90°,M是CB的中點(diǎn),MD±AB于D,32、（求證(①； M②。BA 請(qǐng)說(shuō)明三條線段AD32、（求證(①； M②。B圖,?上AB,0A>OB,1、 邊長(zhǎng)為4,E為AB中點(diǎn),AF=,圖,?上AB,0A>OB,（2）運(yùn)用（1）的結(jié)論能夠證明下列命題：已知:如圖，設(shè)M是^ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，MD±AB于G,MEVBC于K,MF±CA于H,BD=BE,CE=CF,求證:AD=AF;（六）圖形的割、補(bǔ)與拼圖33、 已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=5,AD=5,ZB=90°，求四邊形ABCD的面積、第33題圖34、 一塊四邊形的草地ABCD，其中ZA=60°,ZB=ZD=90°,AB=20m,CD=10m,求這塊草地的面積、35、 有十字形，它由五個(gè)全等的正方形組成，如圖所示，您能把它姨三題拼成一個(gè)長(zhǎng)是寬的2倍的長(zhǎng)方形不？（先計(jì)算，再拼圖）備用圖：36、 現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6。5，寬為2的紙片，請(qǐng)您將它分割成6塊，再合并成一個(gè)正方形，要求先畫(huà)出分割線，再拼成正方形并證明您的方法的正確性。（七）運(yùn)動(dòng)、開(kāi)放與探究37、 在△中，設(shè)當(dāng)ZC=90°時(shí)，依照勾股定理有;若△不是直角三角形，請(qǐng)您類(lèi)比勾股定理,試猜想與的關(guān)系，并證明您的結(jié)論。38、 如圖,M是Rt^ABC斜邊AB的中點(diǎn)，P、Q分別在AC、38、 如圖,M是Rt^ABC斜邊AB的中點(diǎn)，P、Q分別在AC、BC上,PM±MQ,判斷的數(shù)量關(guān)系并證明您的結(jié)論。39、 △ABC中,AB=AC=4,點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，猜想的值而變化，并證明您的猜想、40、 已知：矩形ABCD、（四個(gè)角是直角）P為矩.形內(nèi)一點(diǎn)（如圖a）,求證：;探究PQ隨點(diǎn)P位置的變化