新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第18講不等式的最值問題教師版

第18講不等式的最值問題一．選擇題（共14小題）1．（2021春?沈陽期末）若正數(shù)，滿足，當(dāng)取得最小值時，的值為A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，的值為3．故選：．2．（2021?和平區(qū)校級二模）已知，，為正實數(shù)，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最大值為，故選：．3．（2021?西湖區(qū)校級模擬）已知，，．則的最大值為A．1 B． C． D．2【解答】解：，，．則，令，，則，則．當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，則的最大值為，故選：．4．（2021秋?楊浦區(qū)校級期末）設(shè)，則取得最小值時，的值為A． B．2 C．4 D．【解答】解：法一：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，故選：．法二：，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，，時取等號，故取得最小值時，的值為．．故選：．5．（2021春?重慶校級期中）設(shè)，則的最小值為A．2 B．4 C． D．【解答】解：由，可得，則．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．因此的最小值為．故選：．6．（2021秋?鎮(zhèn)平縣校級期末）若不等式對一切正數(shù)、恒成立，則正數(shù)的最小值為A．1 B．2 C． D．【解答】解：不等式對一切正數(shù)、恒成立，．令，，．令，則，，令，解得，可知當(dāng)時，取得極大值即最大值，．．故的最小值為2．故選：．7．（2021?濟南三模）已知，，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A．或 B．或 C． D．【解答】解：若恒成立，則使恒成立，，求得故選：．8．（2021?唐山二模）已知正數(shù)、、滿足，則的最小值為A．3 B． C．4 D．【解答】解：由題意可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號，的最小值為4故選：．9．（2021春?柯橋區(qū)期末）已知正實數(shù)，滿足，若對任意滿足條件的正實數(shù)，都有不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，，【解答】解：，可得，由，，解得，對任意滿足條件的正實數(shù)，都有不等式恒成立，可得的最小值，可令，則在遞增，可得的最小值為，則，故選：．10．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中）已知正實數(shù)，滿足，若對任意滿足條件的，，都有恒成立，則實數(shù)的最大值為A． B．7 C． D．8【解答】解：正實數(shù)，滿足，而，，，或（舍去），．又正實數(shù)，有恒成立，恒成立，，令，，由雙鉤函數(shù)的性質(zhì)得在，上單調(diào)遞增，（6）．，即的最大值為7．故選：．11．（2021春?東湖區(qū)校級期中）已知，，，則的最小值是A． B． C． D．【解答】解：由，得，解得且，①當(dāng)時，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號；②當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．綜上可得，最小值故選：．12．（2021春?西陵區(qū)校級期中）設(shè)正實數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最小值時，的最大值為A．1 B． C．2 D．【解答】解：正實數(shù)，，滿足，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．，，，時取等號．的最大值為2．故選：．13．設(shè)，，，且，則的最大值是A．13 B．12 C．11 D．10【解答】解：，，，且，，即，那么令函數(shù)，令，則，當(dāng)在，時，，在，上是單調(diào)遞減；當(dāng)在，時，，在，上是單調(diào)遞增；（2）；同理：令，則，當(dāng)在，時，，在，上是單調(diào)遞減；當(dāng)在，時，，在，上是單調(diào)遞增；（2）．故當(dāng)，，時，函數(shù)取得最大值，即．故選：．14．（2021?浙江模擬）對于，當(dāng)非零實數(shù)，滿足，且使最大時，的最小值為A． B． C． D．2【解答】解：，，由柯西不等式得，故當(dāng)最大時，有，，，，時，取得最小值為．故選：．二．填空題（共15小題）15．（2021?浙江模擬）已知正數(shù)，，滿足：，，則的取值范圍是．【解答】解：令，，由，，由，得，即，則問題等價為，滿足約束條件，求目標函數(shù)的取值范圍，根據(jù)線性規(guī)劃，作出對應(yīng)的圖象，求出，，故答案為：16．（2021?浙江模擬）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．【解答】解：正數(shù)，滿足，．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時結(jié)合，得，可知的最小值為．故答案為．17．（2021?徐匯區(qū)校級開學(xué)）設(shè)實數(shù)、、滿足，則的最小值為．【解答】解：法1：令，，其中：，，．則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號．的最小值為．故答案為：．．法實數(shù)，，滿足，，當(dāng)，時取等號，的最小值為．故答案為：．18．（2021秋?浙江月考）若實數(shù)，滿足條件，且，則的最小值為2．【解答】解：，，令，則，因此，則原式（1）．的最小值為2．故答案為：2．19．（2021?南通模擬）已知，，，若，則的最小值為．【解答】解：，，．令，解得，，．則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號．的最小值為．故答案為：．20．（2021秋?上城區(qū)校級期中）若，，則的最小值為．【解答】解：，，所以，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值．故答案為：21．（2021春?泗縣校級期末）設(shè)正實數(shù)，滿足，則的取值范圍是．【解答】解：正實數(shù)，滿足，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．則，．故的取值范圍為．故答案為：22．（2021秋?皇姑區(qū)校級期末）設(shè)，則最小值為4．【解答】解：，則（當(dāng)時取等號）（當(dāng)即時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號）即最小值為4故答案為：423．（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）若不等式對任意，恒成立，則的取值范圍是，．【解答】解：不等式，，，，令，可得：．．可知：時函數(shù)取得最大值，．．．不等式對任意，恒成立，的取值范圍是．故答案為：，．24．（2021秋?河?xùn)|區(qū)校級月考）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值是．【解答】解：正實數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，則的最小值．故答案為：．25．（2015?寶安區(qū)校級二模）設(shè)二次函數(shù)的值域為，，則的最大值為．【解答】解：因為二次函數(shù)的值域為，，所以，所以由于（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）所以．故答案為：26．（2021?藍山縣校級模擬）已知關(guān)于的一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立，且，則的最小值為3．【解答】解：一元二次不等式對一切實數(shù)都成立，當(dāng)時，不符合題意；當(dāng)時，根據(jù)的圖象，，由此，，，得，則，即時，取等號，故答案為：3．27．（2021春?青羊區(qū)校級期末）已知正實數(shù)，滿足，若對任意滿足條件的，，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為，．【解答】解：正實數(shù)，滿足，而，，，或（舍去），．又正實數(shù)，有恒成立，恒成立，，令，，由雙鉤函數(shù)的性質(zhì)得在，上單調(diào)遞增，（6）．．故答案為：，．28．（2021?遼寧）對于，當(dāng)非零實數(shù)，滿足且使最大時，的最小值為．【解答】解：，由柯西不等式得，故當(dāng)最大時，有，當(dāng)時，取得最小值為．故答案為：29．對于，當(dāng)非零實數(shù)、滿足且使最大時，的最小值為．【解答】解：，，由柯西不等式得，，故當(dāng)最大時，有，，，當(dāng)時，取得最小值為．故答案為：．三．解答題（共3小題）30．例2．若的最小值．【解答】