線性代數(shù)胡覺亮版(題目)

習(xí)題解答習(xí)題一（A）1．用消元法解以下線性方程組：x12x23x34,（1）3x15x27x39,2x13x24x35.解由原方程組得同解方程組x12x23x34,x22x33,得方程組的解為x1x32,令x3c，得方程組的通解為x22x33.x1c2,x22c3,x3c，此中c為隨意常數(shù)．x12x2x3x41,（2）x12x2x3x41,x12x2x35x45.解由原方程組得同解方程組x12x2x3x41,4x44,02,所以方程組無解．x1x22x31,x12x2x32,（3）3x12x25x33,x15x30.解由原方程組得同解方程組x1x22x31,x2x30,4x31,得方程組的解為x15,x21,x31．4442x12x2x43,2x13x2x33x46,（4）3x14x2x32x40,x13x2x3x42.解由原方程組得同解方程組x13x2x3x42,3x2x3x410,3x3x49,x43,得方程組的解為x12,x21,x34,x43．2．用初等行變換將以下矩陣化成行階梯形矩陣和行最簡形矩陣：122（1）212．221122122100解212r012r010，得221001001122100行階梯形：012（不獨(dú)一）；行最簡形：010．0010013211（2）1232．4423102132111232255解1232r04105r01，得244423000000001021123225行階梯形：04105（不獨(dú)一）；行最簡形：0152．00000040023（3）11．12231110解11r01r01，得1200001110行階梯形：01（不獨(dú)一）；行最簡形：01．000011111（4）203211361．242643111111111110011220321r02501r01001解361200700，得1242643000000010000000111111001120250101001行階梯形：070（不獨(dú)一）；行最簡形：．0000102000000000003．用初等行變換解以下線性方程組：x13x23x35,（1）2x1x24x311,x2x33.100M2133M537，解B214M11r010M011M39001M29得方程組的解為x127,x320,x299．3x1x24x33x41,（2）2x1x26x35x42,x12x22x32x42.1143M11143M1解B2165M2r0321M0，1222M20000M1得方程組無解．x12x23x34x44,x13x23x41,（3）x2x3x44,7x23x3x418.1000M471234M42151303M1r0101M解B2，0111M40012M230731M182M00000x147,2得方程組的解為x2x415,令x4c，得方程組的通解為2x32x423.2x147c152c23,x4c，此中c為隨意常數(shù)．,x2,x32222x1x2x32x43x52,6x13x22x34x45x53,（4）6x13x24x38x413x59,4x12x2x3x42x51.21123M21100112M263245M32解Br00104M3，634813M900010M042112M100000M0x11x21x51,222得方程組的解為x34x53,令x2c1,x5c2，得方程組的通解為x40.x1c1c21c1,x34c23,x40,x5c2，此中c1,c2為隨意常數(shù)．22,x22（B）x1x2x31,1．當(dāng)為什么值時(shí)，線性方程組x1x2x3,有無量多解，并求解．x1x2x32111M1111M1解B11Mr010M1．11M2001M21111M1當(dāng)1時(shí)，Br000M0，方程組有無量多解，且解為000M0x1x2x31．令x2c1,x3c2，得方程組的通解為x1c1c21,x2c1,x3c2，此中c1,c2為隨意常數(shù)．3．（結(jié)合收入問題）已知三家企業(yè)A、B、C擁有以以下圖所示的股份關(guān)系，即A企業(yè)掌握C企業(yè)50%的股份，C企業(yè)掌握A企業(yè)30%的股份，而A企業(yè)70%的股份不受此外兩家企業(yè)控制等等．ABC3現(xiàn)設(shè)A、B和C企業(yè)各自的營業(yè)凈收入分別是12萬元、10萬元、8萬元，每家企業(yè)的聯(lián)合收入是其凈收入加上其他企業(yè)的股份按比率的提成收入．試確立各企業(yè)的結(jié)合收入及實(shí)質(zhì)收入．解A企業(yè)的結(jié)合收入為元，實(shí)質(zhì)收入為元；企業(yè)的結(jié)合收入為元，實(shí)質(zhì)收入為元；C企業(yè)的結(jié)合收入為元，實(shí)質(zhì)收入為元.習(xí)題二A）1．利用對(duì)角線法例計(jì)算以下隊(duì)列式：cossin（1）．sincos解原式1．xy（2）x2y2．解原式xy(yx)．123（3）312．231解原式18．a(chǎn)bc（4）0ab．00a解原式a3．00a（5）0ab．a(chǎn)bc解原式a3．2．按定義計(jì)算以下隊(duì)列式：00a0（1）b000．f00c0d0eb000c解原式a(13f0cab(111)1)dabcd．0dee010L0002L0（2）LLLLL．000Ln1n00L010L0解原式n(1)n102L0(1)n1n!．MMM00Ln13．利用隊(duì)列式的性質(zhì)，計(jì)算以下隊(duì)列式：abacae（1）bdcdde．bfcfef111111解原式abcdef111abcdef0224abcdef．11100211112222（2）．333344441111解原式0444192．00660008axaaa（3）aaxaaaaax．a(chǎn)aaaax11111000解原式(4ax)aaxaa(4ax)ax00(4ax)x3．a(chǎn)aaxaa0x0aaaaxa00x23100（4）1201．03518510154120112011201解原式23100011020110203518035180035125101540015100151123512215．01151111L11a10L0（5）10a2L0，此中a0,i1,2,L,n．iMMMLM100Lanr1r1aii2in解原式

n10L010i1ai1a10L0n1n)ai．10a2L(1i1ai0i1MMMLM100Lan4．利用隊(duì)列式睜開定理，計(jì)算以下隊(duì)列式：12140121（1）01．13013102010100101222121323解原式01117．1331131301311139365827（2）53．4278450030323014153223141531443144解原式1434318．343066663443a100L010a20L0000a3L00（3）MMMMM．000Lan10100L0an00L01a10L0a20L000a2L0解原式n1(1)0a3L00anMMMMMMM00Lan100Lan01a20L0n11(n1)0a3L0a1a2Lan(1)(1)MMM00Lan1a2a3Lan1a1a2Lana2a3Lan1(a1an1)．210L00121L00（4）Dn012L00MMM．MM000L21000L12解將隊(duì)列式按第一行睜開，得Dn2Dn1Dn2，則DnDn1Dn1Dn2LD2D121121，2所以DnDn11Dn22LD1(n1)n1．5．利用隊(duì)列式睜開定理證明：當(dāng)時(shí)，有0L001L0001L00n1n1DnMMOMM．M000L000L1證將隊(duì)列式按第一行睜開，得Dn()Dn1Dn2，則DnDn1(Dn1Dn2)2(Dn2Dn3)Ln2(D2D1)n2[()2()]n，所以DnDn1n．（1）由Dn對(duì)于與對(duì)稱，得DnDn1n．（2）n1n1由（1）與（2）解得Dn(類比于高中學(xué)過的由數(shù)列an與an-1的關(guān)系推導(dǎo)通項(xiàng)公式）abc6．利用范德蒙品德列式計(jì)算隊(duì)列式a2b2c2．bcacababc111解原式(abc)a2b2c2(abc)abc111a2b2c2(abc)(ba)(ca)(cb)．214211257．設(shè)D，試求A14+A24+A34+A44和M11+M12M13M14．31335111解A14+A24+A34+A440；1111M11+M12M13M14A11A12A131125A14133351110100346502132654422422142284．22062062612608．利用克拉默法例解以下線性方程組：x1x2x3x45,x12x2x34x42,（1）3x2x35x42,2x13x1x22x311x40.解經(jīng)計(jì)算，得D142,D1142,D2284,D3426,D4142，所以方程組的解為x11,x22,x33,x41．x12x23x34x411,（2）x2x3x43,x13x2x40,7x23x3x45.解經(jīng)計(jì)算，得D16,D116,D20,D332,D416，所以方程組的解為x11,x20,x32,x41．2x1x23x30,9．試問取何值時(shí)，齊次線性方程組3x14x27x30,有非零解．x12x2x30解方程組有非零解，則D0．又213D3475(3)，12所以3．x1x2x30,10．試問、取何值時(shí)，齊次線性方程組x1x2x30,有非零解．x12x2x30解方程組有非零解，則D0．又11D11(1)，121所以1或0．（B）1．選擇題：2a111a135a123a12a11a12a1331（1）設(shè)a21a22a23a0，則2a21a235a223a22()．3a31a32a332a311a335a323a323（A）2a（B）2a（C）3a（D）3a1a11a135a12a123解原式c22(3)a211a235a22a22c5c3c3(3)c23a3115a32a32c2c3a33

61a11a12a13(a21a22a23)2a．3a31a32a333選（A）．a(chǎn)100b1（2）四階隊(duì)列式0a2b20的值等于（）．0b3a30b400a4（A）a1a2a3a4bb12b3b4（B）a1a2a3a4bb12b3b4（C）a1a2bb12a3a4b3b4（D）a2a3b2b3a1a4bb14解將隊(duì)列式的第4行挨次與第3行、第2行互換，再將隊(duì)列式的第4列挨次與第3列、第2列互換，得a100b1a1b1000a2b20b4a400a2a3b2b3a1a4b1b4．0b3a3000a2b2b400a400b3a3選（D）．（3）設(shè)線性方程組a11x1a12x2b10,a11a121，則方程組的解為a21x1a22x2b2若a21a220.（）．（A）xb1a12,x2a11b1（B）xb1a12,x2a11b11b2a22a21b21b2a22a21b2（C）x1b1a12,x2a11b1（D）x1b1a12,x2a11b1b2a22a21b2b2a22a21b2解將方程組寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：a11x1a12x2b1,有a21x1a22x2b2.Da11a121,D1b1a12b1a12,D2a11b1a11b1，a21a22b2a22b2a22a21b2a21b2所以方程組的解為D1b1a12D2a11b1x1b2a22,x2a21．DDb2選（C）．1111xabc0的根的個(gè)數(shù)為（（4）方程f(x)=a2b2c2）．x2x3a3b3c3（A）1（B）2（C）3（D）4解方法一：將f(x)按第1列睜開，知f(x)為3次多項(xiàng)式，所以有3個(gè)根．選（C）．方法二：f(x)(ax)(bx)(cx)(ba)(ca)(cb)有3個(gè)根x1a,x2b,x3c．選（C）．a(chǎn)10a202．計(jì)算四階隊(duì)列式D40b10b2．c10c200d10d2a10a20a1a200解D4c10c20c1c2000b10b200b1b20d10d200d1d2a1a2b1b2(a1c2a2c1)(b1d2b2d1)．c1c2d1d2111x13．計(jì)算四階隊(duì)列式D411x11．1x111x1111x11x1111x1D4x1x1111x11解xx111xx1111x1111111100xx10x043x(1)2xxxx4．1x0010004．計(jì)算n階隊(duì)列式rnrn1rn1rn2LLLr2r1解Dn

123212Dn321LLLnn1n2123Ln1111L1111L1MMMM111L1

LnLn1Ln2．LL1n134Lnn11100L001cj120L00Mc1MM2jnMMM1122L20100L120L1n(n1)(1)122LMMM122L

000(1)1n(n1)2n2．M2n12aa200012aa2005．計(jì)算五階隊(duì)列式D5012aa20．0012aa200012a解方法一：一般地，對(duì)于此類n階隊(duì)列式，將其按第一行睜開，得Dn2Dn12Dn2，則DnDn1(Dn1Dn2)2(Dn2Dn3)Ln2(D2D1)n2[(2)222]n，有DnDn1n(Dn2n1)n2Dn22nLn1D1(n1)nn12(n1)n(n1)n，所以D56a5．方法二：由習(xí)題二（A）的第5題，適當(dāng)時(shí)，有n1n1n(n1)n，Dnlim(n1)lim所以D56a5．x00L0a01x0L0a16．計(jì)算n階隊(duì)列式Dn01xL0a2．MMMMM000Lxan2000L1xan1解將隊(duì)列式按第一行睜開，得DnxDn1a0，則Dnx(xDn2a1)a0x2Dn2a1xa0Lxn1D1an2xn2La1xa0xn1(xan1)an2xn2La1xa0xnan1xn1La1xa0．13267．已知1326、2743、5005、38742743都能被13整除，不計(jì)算隊(duì)列式的值，證明00553874能被13整除．13262743證00553874

c41000c1c4100c2c410c3

13213262742743500．50053873874由已知，得后隊(duì)列式的第4列擁有公因子13，所以原隊(duì)列式能被13整除．1111abcd(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)．8．證明:b2c2d2a2a4b4c4d4證結(jié)構(gòu)5階隊(duì)列式11111abcdxD5a2b2c2d2x2，a3b3c3d3x3a4b4c4d4x4則D5(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)(xa)(xb)(xc)(xd)．（1）將D5按第5列睜開，得11111111D5abcd4(abcd3（2）a2b2c2d2xa2b2c2d2)xL．a(chǎn)3b3c3d3a4b4c4d4比較（1）與（2）右側(cè)x3的系數(shù)，知結(jié)論建立．x1x2x3ax40,9．證明：當(dāng)(a1)24b時(shí)，齊次線性方程組x12x2x3x40,有非零解．x1x23x3x40,x1x2ax3(ab)x40證方程組的系數(shù)隊(duì)列式111aD1211(a1)24b，113111aab當(dāng)D0，即(a1)24b時(shí)，方程組有非零解．10．應(yīng)用題：（1）1；（2）xy10．習(xí)題三A）1．以下矩陣中，哪些是對(duì)角矩陣、三角矩陣、數(shù)目矩陣、單位矩陣．11000100300200，C420，D030A，B01．030100530030解D是數(shù)目矩陣，也是對(duì)角矩陣；A、C是三角矩陣；B都不是．1121232．設(shè)矩陣A111,B122．211031（1）計(jì)算2AB；（2）若X知足3AX2B，求X．347解（1）2AB100；411110（2）X2B3A577．695a1c1d1b1c1d13．設(shè)有3階方陣Aa2c2d2，Bb2c2d2，且A1，B2，求A2B．a(chǎn)3c3d3b3c3d3a12b13c13d1解A2Ba22b23c23d2a32b33c33d3a1c1d1b1c1d19(a2c2d22b2c2d2)9(A2B)45．a(chǎn)3c3d3b3c3d34．計(jì)算以下矩陣的乘積：2396．（1）6614解原式09．0181311（2）0422．70118解原式6．61（3）3212．3解原式10．1（4）2321．3321解原式642．9632001002（5）010010．0030013解原式E3．a(chǎn)11a12a13x1（6）x1x2x3a12a22a23x2．a(chǎn)13a23a33x3解原式a11x12a22x22a33x322a12x1x22a13x1x32a23x2x3．1031005．已知矩陣A021，B021．求：001301（1）AB與BA；（2）(AB)(AB)與A2B2.1003103解（1）AB343，BA043；3013010906006（2）(AB)(AB)600，A2B2300．6096001a0)可互換的全部矩陣．6．求與矩陣A(a01解設(shè)與A可互換的矩陣Bx1x2．由ABBA，得x3x4x1ax3x1,x1x4,x2ax4ax1x2,x2x2,x3x3,x30,x4ax3x4,x4x4.令x2c,x4b，得Bbc，此中b,c為隨意常數(shù)．0b7．利用概括法，計(jì)算以下矩陣的k次冪，此中k為正整數(shù)：cossin．（1）cossin解令A(yù)cossin，有sincosA2cos2sin2,A3cos3sin3,Lsin2cos2sin3cos3則Akcosksink．sinkcosk12．（2）10解令A(yù)12，有A21416,A418010,A3010,L，則11Ak12k．011103）011．001110解令A(yù)011，有0011211331461510A2012,A3013,A4014,A5015,L0010010010011kCk2則Ak01k．0018．已知矩陣123，111，令A(yù)T，求An，此中n為正整數(shù)．23解AnT(T)n1(T)n1(T)3n1(T)11n1133n133n2223n121223n123n1．3n133n3n3n1312329．若A為n階對(duì)稱矩陣，P為n階矩陣，證明PTAP為對(duì)稱矩陣．由于(PTAP)TATA證PTAT(PT)TPTAP，所以PTAP為對(duì)稱矩陣．10．利用公式法求以下矩陣的逆矩陣：（1）A34．21141A*14解A50，又A*，所以A155．23A2355100（2）A210．3311001A*100解A10，又A*210，所以A1210．331A331122（3）A212．221解A270，又A*3A，所以A11A*1A．A91111（4）A1111111．11111解A160，又A*4A，所以A11A*1A．A411．解以下矩陣方程：（1）12X021．2321312102132021483X解232132121325．10101（2）設(shè)XAXB，此中A111，B1．1011解由XAXB，得(EA)XB．又110EA101，EA30，102則EA可逆，且XEA1B．經(jīng)計(jì)算，得()11021(EA)1E(EA)*321．A3011102111所以XEA1B．()33211001110100001321（3）001X010987．01010065410110000110100解001001,010010，則01001010010010012100112331X001987010456．01065410078912．設(shè)Adiag(1,2,1)，且矩陣B知足A*BA2BA8E，求矩陣B．解等式A*BA2BA8E兩邊左乘以A，得ABA2ABA8A．又A20，上式兩邊右乘以A1，得2B2AB8E，即(EA)B4E，所以B4(EA)14diag(1,1,1)2A．2213．設(shè)A,B,C都是n階矩陣，證明：ABC可逆的充分必需條件是A,B,C都可逆．證ABC可逆ABC0ABC0A0,B0,C0A,B,C都可逆．2A1．設(shè)n階方陣A知足A3AO，證明A2E可逆，并求2E．14證由A23AO，得(A2E)(AE)2E，即(A2E)AEE，2所以A2EA1AE．可逆，且2E215A為n階矩陣，且A3O，證明EA及EA都是可逆矩陣．．設(shè)證由A2O，得(EA)(EAA2)E及(EA)(EAA2)E，所以EA及EA都是可逆矩陣．16．已知A為三階方陣，且A2，求：（1）2A1；（2）A*；（3）A*1A1．2解（1）原式1A1(1)311．22A16（2）原式24．A（3）A*1A1AA11A15A1，有222原式5A1(5)31125．22A16123117．設(shè)A231，求A*．312解A18，則A*1AA．A1818．（1）設(shè)P1APB，證明BkP1AkP．100100（2）設(shè)APPB，且P210,B000，求A與A2011．211001證（1）Bk(P1AP)kP1A(PP1)A(PP1)L(PP1)APP1AkP．（2）由APPB，得APBP1，且A2011PB2011P1．又100100P1210,B2011000B，411001100所以A200,A2011PBP1A．61119．利用分塊矩陣計(jì)算以下矩陣的乘積：1210103001010121（1）021002．0300030003解將矩陣進(jìn)行以下分塊：12M1010M3001M01A1E01M21EB1LLLLL,LLLLL，OA2OB200M2100M2300M0300M03則原式A1EEB1A1A1B1B2．又OA2OB2OA2B2A1B1B2123023512123490121032,A2B203030，291251所以原式0122004．90009a0100c（2）0a01c010b0d．0010b0d解將矩陣進(jìn)行以下分塊：a0M100c0aM01aEEc0CLLLLL,LL，EbEdE10Mb0d001M0b0ddac則原式aEECaCdEacd．EbEdECbdEbdccbd20．利用分塊矩陣求以下矩陣的逆矩陣：130（1）120．005解將矩陣進(jìn)行以下分塊：13M012M0A1OA，LLLLOA200M51111231A1則AO355OA21．又A121115523055A1110551005

,A21511，所以5．21001300（2）03．030042解將矩陣進(jìn)行以下分塊：21M0013M00A1O，ALLLLL00M33OA200M423111A11O211331則A1155132，OA2．又A11312,A242211553231050512050所以A15．1010230210232000001200（3）01300．0002500021解將矩陣進(jìn)行以下分塊：2M00M0LLLLLL0M12M0A0M13M0LLLLLL0M00M20M00M2則A1diag(A11,A21,A31)．又111321112A122,A2131110000203200所以A10110000015．880001144110021．設(shè)矩陣A0100，利用分塊矩陣計(jì)算00120021

0L0A10=A2，LA35115251,A3188，211144A4．解將矩陣進(jìn)行以下分塊：11M0001M00ALLLLLdiag(A1,A2)，00M1200M21則A4diag(A4,A4)．又A4144140,A412101240411400A40100004140004041

，所以．2500130022．設(shè)矩陣A02，利用分塊矩陣計(jì)算A2012．0100122解將矩陣進(jìn)行以下分塊：25M0013M00ALLLLLdiag(A1,A2)，00M2100M122則AA1A21(8)8，所以A2012201282012．AOBC123．（1）設(shè)A．C，且m階矩陣B和n階矩陣C均可逆，試證明A1OOB1O0a10L000a2L0（2）設(shè)矩陣AMMMM，此中a,a,L,a1．12n為非零常數(shù)，求000Lan1an00L0證OBOC1BB1OEO（1）由于OB1OOCC1OE，所以A可逆，CE且A1OC1B1O．（2）將矩陣進(jìn)行以下分塊：0Ma10L00M0a2L00MMMMOBAM00Lan1C，0OLLLLLLanM00L0則A1OC1．又BB1OA

1diag(a11,a21,L,an11),C1(an1)，所以000an1a1100010a2100．00an11024．利用矩陣的初等行變換判斷以下矩陣能否可逆；如可逆，求其逆矩陣．130（1）312．433103M130130M100510101M31解AE312M010r010．433M00151010000M131221035由于011E，所以A不行逆．5000122（2）212．221100M122122M100999010M212，解AE212M010r221M001999001M221999122999所以A可逆，且A1212．9992219993201（3）0221．123201213201M1000解AE0221M01001232M00100121M00011000M1124r0100M0101，0010M11360001M216101124所以A可逆，且A10101．11362161011111111（4）A．111111111111M10001111M0100解AE111M001011111M00011000M101022r0100M011022，0011M1100220000M0011所以A不行逆．25．利用矩陣的初等行變換解以下矩陣方程：123130（1）324X1027．2101078123M130100M645解324M1027r010M212EX，210M1078001M333645所以X212．333531830（2）X132590．5212150515852解將方程兩邊轉(zhuǎn)置，得332XT3915．由121000515M100100M147332M010r010M258EXT，121M001001M369123得X456．78926．求以下矩陣的秩：1562（1）2132．143015621562解A2132r0992，所以R(A)2．1430000021324（2）42517．211822132421324解A42517r00151R(A)2．211820000013122123（3）21．31143513121312解A2123r0747R(A)2．321100001435000031325（4）53234．13507751413132513507解A53234r049113135070000R(A)3．1751410000012127．設(shè)矩陣A251，且R(A)3，求的值．1161012111610解A251r01510．116100033(3)由R(A)3，得3．123k28．設(shè)矩陣A12k3，問k取何值時(shí)，使得k23（1）R(A)1；（2）R(A)2；（3）R(A)3．123k123k解A12k3r02(k1)3(k1)，有k23003(k1)(k2)當(dāng)k1且k2時(shí)，R(A)3；當(dāng)k1時(shí)，R(A)1；當(dāng)k2時(shí)，R(A)2．10129．設(shè)A是43矩陣，且A的秩為2，而B111，求R(AB)．123解B20，則R(AB)R(A)2．30．設(shè)A為n階矩陣，知足A25A6EO，證明：R(A2E)R(A3E)n．證由A25A6EO，得(A2E)(A3E)O，所以R(A2E)R(A3E)n.又R(A2E)R(A3E)R(A2E)R(A3E)R(E)n，所以R(A2E)R(A3E)n.11031．設(shè)三階矩陣A212，試求R(A)與R(A*)．122110110解A212r012R(A)2．122000由于R(A)231R(A*)1．32．求解以下線性方程組：x1x24x30,（1）2x19x26x30,3x15x22x30.解方程組的系數(shù)矩陣114114A296r012．352001由于R(A)3，所以方程組只有零解．x12x2x31,（2）2x1x2x33,x12x23x37.解方程組的增廣矩陣121M1100M1BA211M3r010M1，123M7001M2所以方程組的解為x1,x21,x32．12x13x2x37x40,3x1x22x37x40,（3）4x1x23x36x40,x12x25x35x40.解方程組的系數(shù)矩陣10012317273127r010A2，41360015125520000得方程組的解為x11x4,2x27x4,2x35x4.2令x42c，得方程組的通解Xc(1,7,5,2)T，此中c為隨意常數(shù)．x1x2x3x40,（4）2x13x2x3x42,3x12x2x3x45,3x16x2x3x44.解方程組的增廣矩陣1111M01111M0BA2311M2r0133M23211M5．0055M73611M40000M5由于R(A)3R(B)4，所以方程組無解．2x1x25x315,（5）x13x2x34,x14x26x311,3x12x24x319.解方程組的增廣矩陣215M15102M7BA131M4r011M1146M11000M，0324M19000M0得方程組的解為x12x37,x2x31.令x3c，得方程組的通解Xc(2,1,1)T(7,1,0)T，此中c為隨意常數(shù)．x1x23x32x41,（6）x1x22x3x42,2x12x27x37x41,2x12x28x310x40.解方程組的增廣矩陣1132M11107M4BA1121M2r0013M12277M10000M，022810M00000M0得方程組的解為x1x27x44,x33x41.令x2c1,x4c2，得方程組的通解為Xc1(1,1,0,0)Tc2(7,0,3,1)T(4,0,1,0)T，此中c1,c2為隨意常數(shù)．33．試問取何值時(shí)，以下非齊次線性方程組無解、有獨(dú)一解、有無量多解．(1)x1x2x31,（1）x1(1)x2x3,x1x2(1)x31.解方程組的系數(shù)隊(duì)列式111A111(3)2．111當(dāng)A0，即0且3時(shí)，方程組有獨(dú)一解．當(dāng)0時(shí)，111M1111M1BA111M0r000M1．111M1000M0由于R(A)1R(B)2，所以方程組無解．當(dāng)3時(shí)，211M1112M2BA121M3r033M5．112M2000M0由于R(A)R(B)23，所以方程組有無量多解．(2)x12x22x31,（2）2x1(5)x24x32,2x14x2(5)x31.解方程組的系數(shù)隊(duì)列式222222r3r2)(1)2．A254254(10245011當(dāng)A0，即1且10時(shí)，方程組有獨(dú)一解．當(dāng)10時(shí)，822M1254M2BA254M2r011M1．245M11000M1由于R(A)2R(B)3，所以方程組無解．當(dāng)1時(shí)，122M1122M1BA244M2r000M0．244M2000M0由于R(A)R(B)13，所以方程組有無量多解．x1x3,34．試問取何值時(shí)，非齊次線性方程組4x1x22x32,有解，并求解．6x1x24x323解方程組的增廣矩陣101M101MBA412M2r012M23．614M23000M1當(dāng)1時(shí)，BA

101M1r012M1，000M0有R(A)R(B)23，則方程組有無量多解，且解為x1x31,x22x31.令x3c，得方程組的通解為Xc(1,2,1)T(1,1,0)T，此中c為隨意常數(shù)．35．求平面上三點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)共線的充分必需條件．解設(shè)直線方程為axbyc0．則x1ay2bc0,平面上三點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)共線xaybc0,有非零解22x3ay3bc0x1y11111x2y210，即x1x2x30．x3y31y1y2y3（B）1．選擇題：（1）設(shè)A,B為n階矩陣，以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）．(A)若A、B是對(duì)稱矩陣，則AB也是對(duì)稱矩陣．(B)ABABA2B2．(C)若ABO，且A可逆，則BO．(D)若A與B等價(jià)，則A與B相等．解選（C）．2nn矩陣，則必有（）．（）設(shè)A和B均為(A)AB=A+B．(B)ABBA．(C)AB=BA．(D)AB1A1B1．解選（C）．（3）設(shè)A為n(n2)階矩陣，A*是A的陪伴矩陣，k為常數(shù)，則(kA)*（）．(A)A*．(B)kA*．(C)kn1A*．(D)knA*．解由陪伴矩陣的定義，知選（C）．（4）設(shè)A和B均為n階非零矩陣，且ABO，則A和B的秩（）．(A)必有一個(gè)等于零．(B)一個(gè)等于n，一個(gè)小于n．(C)都等于n．(D)都小于n．解由ABO，得R(A)R(B)n．又AO,BO，知R(A)1,R(B)1．所以R(A)n,R(B)n，應(yīng)選（D）．（5）對(duì)于非齊次線性方程組AmnXn1m1，若R(A)r，則（）．(A)當(dāng)rm時(shí)，AmnXn1m1有解．(B)當(dāng)rn時(shí)，AmnXn1m1有獨(dú)一解．(C)當(dāng)mn時(shí)，AmnXn1m1有獨(dú)一解．(D)當(dāng)rn時(shí)，AmnXn1m1有無量多解．解當(dāng)rm時(shí)，mR(B)R(A)rmR(A)R(B)r，應(yīng)選（A）．213421262．設(shè)矩陣A02130334，試求(EA1B)TAT002,B0045．100020005解(EA1B)TAT(A(EA1B))T(AB)T，則(EA1B)TAT(AB)TAB0．1013．設(shè)矩陣A020，且A2BABE，試求B．301解由A2BABE，得(AE)(AE)BAE．又AE30，有(AE)BE，兩邊取隊(duì)列式，得AEB1，所以11B．AE31004．設(shè)矩陣A230，且B(EA)1(EA)，試求(EB)1．045解EB(EA)1(EA)(EA)1(EA)2(EA)1，則100(EB)11(EA)120．22300105．設(shè)矩陣A100,BP1AP，試求B2012A2．001解A2diag(1,1,1)A4E，所以200B2012A2(B4)503A2EA2020．0001116．設(shè)矩陣A111，矩陣X知足A*XA12X，試求矩陣X．111解由A*XA12X，得AXE2AX．又11022經(jīng)計(jì)算可得(2EA)1011，所以X2210122

A4，有X1(2EA)1．2110440114．41014411002，且矩陣X知足AX2X，試求矩陣X．7．設(shè)矩陣A210,011012解由AX2X，得(A2E)X．（注意A2E0）又110M0101M12r2A2E210M0012M1，112M1000M02c112得方程組的解為x1x32,令x3c，得X2c1,c為隨意常數(shù)．x22x31.c1aLa8．設(shè)n(n3)階矩陣Aa1La，試求A的秩R(A)．MMMaaL1解A[1(n1)a](1a)n1．當(dāng)a1且an1時(shí)，A為非奇怪矩陣，所以R(A)n；111L111L1當(dāng)a1時(shí)，A11L1r00L0，則R(A)1；MMMMMM11L100L0當(dāng)a1時(shí)，A的n1階子式n11aLaDn1a1La[1(n2)a](1a)n20MMMaaL1n1而A0，所以R(A)n1．x1x22x33x40,9．試求p,q取何值時(shí)，齊次線性方程組2x1x26x34x40,3x12x2px3qx4有非零解，并求通解．0,2x1x2x40解方程組的系數(shù)矩陣112311232164r0122A2pq002．312101000p2q6當(dāng)p2q6時(shí)，R(A)34，方程組有非零解，且10010103r1A01，020000得方程組的解為x1x4,x23x4,x31x4.2令x42c，得方程組的通解為Xc(2,6,1,2)T，此中c為隨意常數(shù)．2x1ax2x31,10．試求a取何值時(shí)，非齊次線性方程組ax1x2x32,無解、有獨(dú)一解或無量多解，4x15x25x31并在有無量多解時(shí)求方程組的通解．解方程組的系數(shù)隊(duì)列式2a1Aa11(a1)(5a4)．455當(dāng)a1且a4時(shí)，方程組有獨(dú)一解．5當(dāng)a1時(shí)，211M2100M1BA111M1r011M1．455M0000M0由于R(A)R(B)23，所以方程組有無量多解，且通解為Xc(0,1,1)T(1,1,0)T，此中c為隨意常數(shù)．當(dāng)a4時(shí)，方程組無解．512211．設(shè)矩陣A4t3，B為三階非零矩陣．試求常數(shù)t，使得ABO．311解ABO,BOAX0有非零解A0．又A7(t3)，所以t3．12．證明：（1）設(shè)A,B為矩陣，則ABBA存心義的充分必需條件是A,B為同階矩陣．（2）對(duì)隨意n階矩陣A,B，都有ABBAE，此中E為單位矩陣．證（1）設(shè)A為mn矩陣，B為st矩陣，則ns,tm,ABBA存心義mnst，ms,t

n.即A,B

為同階矩陣．（2）設(shè)

A

(aij)nn,B

(bij)nn，則AB

BA的主對(duì)角線上元素之和為n

n

n

n

nn

n

naikbki

bstats

aikbki

atsbst

0，i1k1

s1t1

i1

k1

t1

s1而E的主對(duì)角線上元素之和為

n，所以

AB

BA

E．13．證明：隨意n階矩陣都可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣的和．證設(shè)A為隨意n階矩陣，則AATAATA，22此中為AAT對(duì)稱矩陣，AAT為反對(duì)稱矩陣．（你能否能聯(lián)系到函數(shù)能夠表示為奇函數(shù)22與偶函數(shù)之和）14n階矩陣A,B知足ABAB，試證AE可逆，并求(AE)．．已知1證由ABAB，得(AE)(BE)E，所以AE可逆，且(AE)1BE．15．設(shè)A為元素全為1的n(n1)階方陣，證明：EA1E1A．n1證EA(En1A)EnA1A2．又A2nA，故1n1n1EA(E1A)E，11n所以EA1EA．n116．設(shè)n階矩陣A與B等價(jià)，且A0，證明B0．證A與B等價(jià)，則存在n階可逆矩陣P與Q，使得BPAQ，有BPAQPAQ0．注：此結(jié)論告訴我們初等變換不改變矩陣的可逆性．17．設(shè)A為n階方陣，且A2A，證明RARAEn．證由于A(AE)A2AO，所以RARAEn．又RARAERARAER(E)n，所以RARAEn．18．設(shè)A是nm矩陣，B是mn矩陣，此中nm．若ABE，此中E為n階單位矩陣．證明方程組BXO只有零解．證由ABE，得R(AB)n．又nR(B)R(AB)n，得R(B)n，所以方程組BXO只有零解．習(xí)題四A）1．設(shè)v1(1,1,0)T,v2(0,1,1)T,v3(3,4,0)T，求v1v2和3v12v2v3．解v1v2(1,0,1)T，3v12v2v3(0,1,2)T．2．求解以下向量方程：（1）3X，此中(1,0,1)T,(1,1,1)T．解X1()1(0,1,2)T．33（2）2X33X，此中(2,0,1)T,(3,1,1)T．解X3(3,1,4)T．3．試問向量能否由向量組1,2,3,4線性表示若能，求出由1,2,3,4線性表示的表達(dá)式．1112;111（1）,2,3111111解設(shè)x11x22x33x44．由

111,41．11111000M51111M140100M11111M2(1,2,3,4|)r4，1111M110010M1111M140001M14得R(1,2,3,4)R(1,2,3,4|)4，所以可由向量組1,2,3,4線性表示，且x151,x3111(54)．,x24,x44，得表達(dá)式12344401111（2）2;11,21,31,40．0110011000解設(shè)x11x22x33x44．由1111M01000M1(1,2,3,4|)1110M2r0100M11100M00010M，21000M10001M2得R(1,2,3,4)R(1,2,3,4|)4，所以可由向量組1,2,3,4線性表示，且x11,x21,x32,x42，得表達(dá)式122324．4．議論以下向量組的線性有關(guān)性：32132（1）12,21,33,41,53．45571解向量組所含向量個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)，所以該向量組線性有關(guān)．a(chǎn)xayaz（2）1bx,2by,3bz，此中a,b,c,x,y,z全不為零．cxcycz解1,2對(duì)應(yīng)的重量成比率，則1,2線性有關(guān)，所以該向量組線性有關(guān)．11（3）011，22，3124112解1,2,3013r121240

23．101213．001000由于R1,2,33，所以該向量組線性沒關(guān)．11122,32（4）1,2,3010301110解(1,2,32220,4)01130301

004．111110r0301001．00000由于R(1,2,3,4)34，所以該向量組線性有關(guān)．5．（1）設(shè)Rn，證明：線性有關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)0．（2）設(shè)1,2Rn，證明：1,2線性有關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)的重量成比率．證（１）線性有關(guān)k0,k00．（2）1,2線性有關(guān)k11k220，此中k,k2不全為零．不