2021屆安徽省安慶市高考數學模擬試卷（理科）（二模）（解析版）

2021年安徽省安慶市高考數學模擬試卷（理科）（二模）

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合/={*|24*<4},B=U|-a<x^a+3},若則a取值范圍是（

A.(-2,+8)B.-1]C.[1,+8)D.(2,+8)

2.設復數z=l+￡Q,是虛數單位），貝11|/+2|=（）

Z

A.1B.&C.73D.2

3.從4位男生，2位女生中選3人組隊參加學習強國答題比賽，且至少有1位女生入選，則不同的

選法種數共有（)

A.8B.12C.16D.20

4.設函數f（x）=2'-2一'+9,則使得不等式f（2x-1）+/（3）<0成立的實數X的取值范圍是（)

A.(-8,-1)B.(-8,2)C.(-1,+8)D.(2,+8)

5.已知實數X,y滿足,x-y+l>0,貝！]z=x-2y的最大值為()

x-3y-340

A._5B.1C.2D.3

6.已知V^sin(0.=sinatan-^--1,貝(Itana=()

A.-2B.2C.二D.

2~2

7.設｛4｝是等比數列,前〃頊和為s若J?_]則=()

024524

,1n1cl1

A.—B.4c.4D.

5432

8.已知函數尸COS（3戶。）的圖象如圖所示，其中3為正整數，1。<2,則（）

A.3=1,4>=n-2B.3=1,6=2-nC.3=2,6=n-4D.3=2,4>=4-Jt

9.設拋物線/=2px（p>0）的焦點為凡過點尸作傾斜角為60。的直線交拋物線于點45（點4

S1

位于x軸上方），0是坐標原點，記△ZW和△比戶的面積分別為S,S,則()

S2

A.9B.4C.3D.2

10.《九章算術》卷五《商功》中，把正四棱臺形狀的建筑物稱為“方亭”.沿“方亭”上底面的

一組對邊作垂直于底面的兩截面，去掉截面之間的幾何體，將“方亭”的兩個邊角塊合在一起組

V1

成的幾何體稱為“芻薨”.現記截面之間幾何體體積為九“芻蔓”的體積為%,若薩2=?，臺

V13

體的體公式為（介底"+S'）,其中S、S'分別為臺體的上、下底面的面積.則“方

亭”的上、下底面邊長之比為（）

A.近二1B.近二C.近匚D.近匚

2424

11.已知|口=|司=2,且之，4的夾角為60。，若向量13-1這1，則工￡的取值范圍是（）

A.[-4,4]B.[-2愿，入何C.[0,2?]D.[0,4]

12.對任意e2],使得不等式（lox-A）成立的最大整數才為（）

e

A.-2B.-1C.0D.1

二、填空題（共4小題）.

sinx

13.已知函數f（x）=—―,則曲線尸/'（x）在（0,0）處的切線方程為.

e

14.某市倡導高中學生暑假期間參加社會公益活動.據調查統(tǒng)計，全市高中學生參加該活動的累計

時長小時）近似服從正態(tài)分布，人均活動時間約40小時.若某高中學校1000學生中參加該

活動時間在30至50小時之間的同學約有300人.據此，可推測全市〃名學生中，累計時長超過

50小時的人數大約為.

22

15.已知R,K分別為雙曲線G（a>0,6>0）的左、右焦點，過點K作C的一條漸

近線的垂線，垂足為G.連接RG,設直線EG,KG的斜率分別為A,k2,若A也=A，則雙曲線

。的離心率為_______.

16.鈍角△血的面積是冤運，AC=2,BC=3,角4的平分線交比于點〃則生=_____.

4

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.

17.已知數列｛4｝滿足囪=a,n4)anan-i+(加1)區(qū)-〃a-i=0,〃22,〃￡N.

(I)求證：數列｛而七一｝為等差數列；

(H)設數列｛(2加1)a/｝的前A項和S.證明：gwSVl.

4

18.如圖，三棱柱板-45G中，底面△胸是正三角形，Q是其中心，側面BCCB是正方形,Q

是其中心.

(I)判斷直線Qa與直線的位置關系，并說明理由；

<n)若四面體431是正四面體，求平面比aa與平面板所成銳二面角的余弦值.

C,

19.某學校舉行詩詞知識選拔賽，通過微信小程序自行注冊并登錄進行作答，選拔賽一共設置了由

易到難的4B、C、。四道題，答題規(guī)則如下：每次作答一題，按問題4、B、C、。順序作答；每

位同學初始得分均為10分，答對問題4、B、C、。分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減

2分；每作答完一題，小程序自動累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束；當累計分數大

于或等于14分時，答題結束，通過比賽；當作答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束；

假設小強同學對問題4B、C、，回答正確的概率依次為卷、得、4■、3且各題回答正確與否相

互之間沒有影響.

(I)求小強同學前三道題都答對的概率；

(n)用力表示小強同學答題結束時的得分，求才的分布列；

(in)求小強同學能通過比賽的概率.

22

20.設E,K分別為橢圓G%+4=1(a>/>>0)的左、右焦點，尸是橢圓C的短軸的一個端點，

a"

已知△陽區(qū)的面積為&,cosNA依=-《.

O

(I)求橢圓C的標準方程；

(II)是否存在與咫平行的直線1,滿足直線］與橢圓。交于兩點MM且以線段惻為直徑的

圓經過坐標原點？若存在，求直線/的方程；若不存在，請說明理由.

21.已知函數/'(x)=x+x~In(.ax+b),aGR,aWO.

(I)當a=l,b=0時，求證：f(x)>-7-；

4

(II)若f(x)2f恒成立，求aA的最大值.

(二)選考題：共10分.請考生從第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的笫一題目

計分.［選修4-4：坐標系與參數方程］

［x=rcns6

22.在直角坐標系x勿中，曲線G：.(。為參數，常數r>0).以坐標原點為極點，x

ly=rsiny

軸非負半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位.曲線G的極坐標方程為P

2-8psin9+15=0.

(I)若曲線G與G有公共點，求r的取值范圍；

(II)若r=l,過曲線G上任意一點P作曲線G的切線，切點為0,求|/訝的最小值.

［選修4-5：不等式選講］(本小題滿分0分)

23.已知函數f(x)=|3A+1|+|X-2|.

(I)解不等式：/(X)>5；

(II)若關于x的不等式f(x)卬在［0,3］上恒成立，求實數〃的取值范圍.

參考答案

一、選擇題(共12小題).

1.已知集合4={32遼3<4},B=U|-a<A<a+3},若則a取值范圍是()

A.(-2,+8)B.(-8,-1]C.[1,+8)D.(2,+8)

解：由知ZUH,

-a<2

解得a》l.

a+3》4

故選：C.

2.設復數z=l+1Q.是虛數單位)，則|42|=()

Z

A.1B.&C.FD.2

解：因為z2金=(l+i)2-^2i+l-i=l+i，

Z1+1

所以Iz?3|=V2?

z

故選：B.

3.從4位男生，2位女生中選3人組隊參加學習強國答題比賽，且至少有1位女生入選，則不同的

選法種數共有()

A.8B.12C.16D.20

解：由題設知不同的選法可分兩種情況：

第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有C；C：=12種；

第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有Cgc：=4種，

根據分類加法計數原理知，至少有1位女生人選的不同的選法有16種，

故選：C.

4.設函數f(x)=2'-2-'+f,則使得不等式F(2x-l)+f(3)<0成立的實數x的取值范圍是()

A.(-°°,-1)B.(-8,2)C.(-1,+8)D.(2,+8)

解：由函數解析式知函數f(x)是定義在R上的奇函數和單調遞增函數，

原不等式可化為/1(2X-1)</-(-3),

.*.2x-l<-3,解得Z-l,

.?.X的取值范圍是(-8,-1).

故選：A.

x43

5.已知實數必y滿足＜x-y+l）O,則z=x-2y的最大值為（）

x-3y-340

A.-5B.1C.2D.3

解：畫出線性約束區(qū)域，

,T//

■A

所以當直線yn/x-/z經過6（3.0）點時，目標函數z=,l2y有最大值，最大值為3.

故選：D.

6.已知&sin（Q=sinatan-^--1,則tana=（）

A.-2B.2C.」D4

2

解：因為后sin（a+^丁）=sinCL

“9Q

所以sina+cosa=2sin

9a

因為cosa=l-2sin

所以sina+cosa=-cosa,即sina=-2cosa,

所以tana=-2,

故選：A.

S1

7.設｛a｝是等比數列，前A項和為S,若.2\=S，則一-^=（）

'2+b45a2+a4

A."p-B.-yC.D

5434

解：設等比數列｛4｝的公比為q,

,S2i

由cc二u可得：￡=4S,整理得：為+為=3（國+為），即（ai+a2）q2=3（ai+a2），解得:

s2+s45

/=3,

a2al11

a2+a4ajq+ajq31+q24

故選：B.

8.已知函數尸cos（3戶。）的圖象如圖所示，其中3為正整數，則（）

A.3=1,<t>=n-2B.3=1,<t>=2-nC.3=2,6=n-4D.3=2,6=4-n

解：由圖象知92.吟V2〈瑞,

:3為正整數，/.<0=2,/.y=cos（2班。）,

把點（2,-1）代入尸cos（2A+4>）得，cos（4+6）=-1,

貝!]4+6=24冗+兀，所以4）=2kn+n-4,kWZ,

V|4）|<2,A4）=n-4.

故選：C.

9.設拋物線y=26（夕>0）的焦點為凡過點尸作傾斜角為60。的直線交拋物線于點兒8（點4

Si

位于x軸上方），0是坐標原點，記卯和△戚的面積分別為S,￡,則不工=（）

b2

A.9B.4C.3D.2

解：由題意可知，直線四的方程為丫飛反收4），代入/=26,

整理得x2-ypx-f^-p"：=0.

設點/、6的坐標分別為（為，/1）,（生，％）,

因為點4位于X軸上方，所以乂1=|^1

所以歐;詬r河rk

故選：C.

10.《九章算術》卷五《商功》中，把正四棱臺形狀的建筑物稱為“方亭”.沿“方亭”上底面的

一組對邊作垂直于底面的兩截面，去掉截面之間的幾何體，將“方亭”的兩個邊角塊合在一起組

成的幾何體稱為“芻薨”.現記截面之間幾何體體積為匕，“芻薨”的體積為K,若皆=視，臺

體的體公式為K=^-h（*屈7一+S'）,其中S、S'分別為臺體的上、下底面的面積.則“方

亭”的上、下底面邊長之比為（）

A.旦B.近1C.近出D.近生

2424

解：設“方亭”的上底面邊長為為下底面邊長為6,離為h,

貝Uv[h(a，ab+b2),

11,9

Vj=yha(a+b)=^-h(a+ab),

22222

V?=V-Vi=~-h(a+ab+b)-^-h(a+ab)=4-h(-a-ab+2b)，

乙,JNb

[2

22

.V2yh(2b-a-ab)12-管)弋歸1

,.=---------------=—X----------——=——-----

233

羯1h(a+ab)管「哈b2

故選：A.

11.已知|』=0=2,且之，4的夾角為60。，若向量13二區(qū)1,則3兀的取值范圍是（）

A.[-4,4]B.[-2內，2731C.[0,2731D.[0,4]

解：解法1：^QA=a,QB=b,灰=3,則點。在以4為圓心，半徑為1的圓面上（包括邊界），

設向量％,3的夾角為。，由圖

TTJT

可知，。取值范圍為[―,—

b2

bc=|b||c|cos0=2|c|cos0,由于|cIcos8為向量c在向量b上的投影,且

IcIcos8<2?

故EG的取值范圍是[0,4].

解法2：不妨設之二(2,0),b=(l,?)，c=(x,y).

因為|41，所以(x-2)2+/W1,設尸2+rcosa，y=rsina,OWr^l,a￡R,

所以rc=x+>/^y=2"h?cosa+>/3rsinCl=2+2rsin(CL

7T—??

由于-14rsin(a"-)<r<l，故bc￡[0,4].

6

故選：D.

12.對任意xW[工，e2],使得不等式Qnx-k)x>31;?才成立的最大整數A為()

e

A.-2B.-1C.0D.1

2

解：由題意知Qnx-4x>31nx9有k<,)lnx],,e],

xmine

令g(x)=Ct*"RZ,則g'(x)=31nX^X-3,令，(x)=31Mx-3,

XX

易知其單調遞增，因為。(2)=32/72-1>0,。得)=3Jn---^=37/r^j^<0,

所以存在x°E既"，2),使得。(劉)=31nxo+xo-3=0,

因此g(x)=(x-?lnx在[1,X。)單調遞減，在lx。，e2]單調遞增，

(x-3)lnx19.11、

g(x)mq=~~0--0=2萬6。工)￡(c一(萬，石)，

所以最大整數4為-1,

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

sinx

13.已知函數f(x)=—―,則曲線尸/'(x)在(0,0)處的切線方程為y=x.

e

解：Vf(x)=——,Afz(x)=---------------,

ee

cos0-sin0...

則f(0)=--------Q------=1,，曲線尸F(x)在(0,0)處的切線方程為尸工

e

故答案為：y=x.

14.某市倡導高中學生暑假期間參加社會公益活動.據調查統(tǒng)計，全市高中學生參加該活動的累計

時長乃(小時)近似服從正態(tài)分布，人均活動時間約40小時.若某高中學校1000學生中參加該

活動時間在30至50小時之間的同學約有300人.據此，可推測全市〃名學生中，累計時長超過

50小時的人數大約為0.35A.

解：由題意，11=40,則h〃（40,o2）,

1_no

由尸（304啟50）=0.3,可得尸（尤>50）=節(jié)3=0.35,

故累計時長超過50小時的人數大約有0.35。人.

故答案為：0.35A.

22

15.已知E,K分別為雙曲線C：三三=1（a>0,6>0）的左、右焦點，過點K作C的一條漸

J

近線的垂線，垂足為￡連接AG,設直線AG,KG的斜率分別為左，ku若則雙曲線

。的離心率為_｛匯.

解：已知焦點E,K的坐標分別為（-c,0）,（c,0）,其中cHa2+b2?

根據對稱性，不妨設點G在漸近線y』x上，

a

則直線EG的方程為y=—，與yJ^x聯立，

ba

得GM，也），所以ki=~^=2^2,由k[k2=4,

ccaa+cS

得2：蓼一（?）=《，化簡得c2=2a?,故e=V^.

故答案為：&.

16.鈍角△腕的面積是當醫(yī)，AC=2,BC=3,角4的平分線交比1于點。，則仍=_伉_.

解：SAABC^7-AC-BCsinC^—得sinC=^^,

八244

若角C為銳角，貝！lcosC=］，此時初=初+"-2熱BCcosC=-lQ,即研=萬，

由于血>8047,則△胸為銳角三角形，不符合題意.

故。為鈍角，此時cosC=-』，A^=Ad+Bd-2AC-BCbosC=16,

4

AD_________CD

故四=4.在中，由正弦定理得

sin/ACDsin/CAD

二

同理，在△板中,ADBD

sin/ABDsin/BAD

AC二AB

而在△中,

WsinZABD=sinZACD

由于故坐車=4，

BDAB2

由于6。=39

故31,

所以CDcosC=6,

所以知=巫.

故答案為：加.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據要求作答.(一)必考題：共60分.

17.已知數列｛a.｝滿足&=￡,n(加1)ana?-1+(z?+l)a?-na?-i=O,A'2,〃WN.

(I)求證：數列｛(n+；)a｝為等差數列;

(II)設數列｛(2加1)a/｝的前A項和S.證明：

4

na—1

【解答】證明：(I)V(n+1)an=-4,71+1)J=l,

nnan-l+lIOai

?]產一+11t

..(n+l)ajna^i一皿5，

____1_______1

>*(n+1)anna^i'

二數列*n+；)a')是首項為1'公差為1的等差數列；

(II)由(I)知：百片』_1

an-n(n+l)

(2n+l)N碧父2-胃嶺一」

n2(n+l)2n2(n+l)2n2(n+1)2

、、、-

,Scn=,11/11+…+/(=11---1-2")=1-----1-TV-

l2222232n2(n+1)2(n+1)2

所以...........

18.如圖，三棱柱被7-45G中，底面△胸是正三角形，Q是其中心，側面腔15是正方形，a

是其中心.

(I)判斷直線Qa與直線的位置關系，并說明理由；

(H)若四面體加郎是正四面體，求平面況乙?與平面上所成銳二面角的余弦值.

【解答】（I）證明：如圖1,取犯的中點。，旦G的中點4,連接M44,陽，根據棱柱的

性質可得，DD』_BB[,AAjjB，所以AA上DD[,

所以四邊形94是平行四邊形，

所以QQu平面ADDiA.

因為aa與皿相交,

所以aa與川1相交...........

01配

（U）解：因為四面體4腕是正四面體，a是△胸的中心，所以4”，平面四GAa±BC.

所以以a為坐標原點，OiA,O[A[方向分別為x軸，z軸正方向，|四|為單位長度,

建立空間直角坐標系a-xyz.

易得A（e^,o,0），B（-寺，0）,C,---,0）/Ai（0,0,

5（李常）,&（考1,卷紛〃哼,。,昌

所以A[O；=（奪,0.

,BC=（0,-1,0）,BBj=0,

所以A[。？?前=0,=0,故A]O；是平面aC與的法向量.

又A[C>i是平面胸的法向量，10廣（0，0,

設平面批旦與平面肺所成的銳二面角為9,

A,09-Ai0<

貝ijcos8=17”------

IA】。？IIA］。1|

19.某學校舉行詩詞知識選拔賽，通過微信小程序自行注冊并登錄進行作答，選拔賽一共設置了由

易到難的4B、C、〃四道題，答題規(guī)則如下：每次作答一題，按問題4B、C、〃順序作答；每

位同學初始得分均為10分，答對問題4、B、C、，分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減

2分；每作答完一題，小程序自動累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束；當累計分數大

于或等于14分時，答題結束，通過比賽；當作答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束；

假設小強同學對問題4B、C、?；卮鹫_的概率依次為?1、!、《、士，且各題回答正確與否相

3234

互之間沒有影響.

(I)求小強同學前三道題都答對的概率；

(n)用乃表示小強同學答題結束時的得分，求才的分布列；

(ni)求小強同學能通過比賽的概率.

解：(I)小強同學前三道題都答對的概率

3239

(II)不可能取6,7,9,10,11,14,16,17,18,19.

答題得分情況如下:

初ABCD累計能否

始得分通

分過比

賽

對錯得分(1分)對錯得分對錯得分對錯得分

10V11V13V1616能

10V11V13X11V1717能

10V11V13X11X99否

10V11X9V12V1818能

10V11X9V12X1010否

10V11X9X77否

10X8V10V13V1919能

10X8V10V13X1111否

10X8V10X8V1414能

10X8V10X8X66否

10X8X66否

...隨機變量X的分布列為:

67910111416171819

P1211111111

4961224369183672

(皿)小強同學能通過比賽的概率為:

xgx—exgxgx*1乂2乂1上

x4-x^-x4-2X3X4=72

23234234234

22

20.設月，K分別為橢圓C：/工了=1(a>6>0)的左、右焦點，尸是橢圓。的短軸的一個端點,

azbZ

已知△冏用的面積為料，cosNRPB=-

0

(I)求橢圓C的標準方程；

(D)是否存在與陽平行的直線1,滿足直線】與橢圓。交于兩點弘N,且以線段腑為直徑的

圓經過坐標原點？若存在，求直線/的方程；若不存在，請說明理由.

解：（I）設川=2c,則△掰K的面積等于/恒/21|OP|=cb，所以cb=&.①

191

由COS2NC!/^=COSNF]PF2==，即2cosNOPF2-1="'

OO

得cos/OPF2當.

46

2222

因為在直角△糜中，|陽=6,|曲|=c,|PF2I=A/|OPI+|0F2I=Vb+c=a,

所以COS/OPF?所以」②

“aa3

由①0及得a=V3，b=l,c=\歷，

26

所以橢圓。的標準方程為三—+y2=]..........

3y

(H)因為直線期的斜率為平，所以可設直線]的方程為等/1p代入?+y2=],

整理得-亞mx+m2-1=0?

b

由△=(V^m)2-4xt(m'l)>。，得△<〈.

bN

設M(X]，xt+m)?N(X2>'^X2+m)，

則*_6V2m6(m2-l)

則X1+X2—-—，X[X2=-g-------

若以線段仞V為直徑的圓經過坐標原點。則方而=0，

+

Xjx2+(-^-xj+m)(--^-X2m)=0?

is3&rs2n

x2-j+x2J+m=Q，

所以3丫6(m2-l)V2v6>/2m2n得

勿以RX-----------------+m=0?付m--

N5N3Qo

因為所以m=土乎.

oZ4

所以存在滿足條件的直線1,方程為y=qX邛好qX邛.………

21.已知函數F(x)=^+x-In(a^+A),a￡R,aW0.

(I)當a=l,b=0時，求證：f(x)>-y；

4

(BD若f(x)，/恒成立，求ab的最大值.

解：(I)證明：當a=l,6=0時，f(x)=x+x-Inx,

所以f，(x)=2x+l—='；2X"1：'(X+1)?x>。，

XX

所以當時,f(x)>0；當0Vx