2021屆北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊 第 3 章《圓》經(jīng)典題型單元測試題【含答案】

2020-2021年北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊第3章《圓》

經(jīng)典題型單元測試題

一.選擇題（每小題3分，共10小題）

1.下列結(jié)論中正確的是（）

A.長度相等的兩條弧相等B.相等的弦所對的弧相等

C.半圓是弧D.平分弦的直徑垂直于弦

C

【分析】

利用等弧的定義、確定圓的條件、圓周角定理及垂徑定理的知識分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解A,等弧是同圓或等圓中，能互相重合的兩段弧，它們不僅長度相等，而且度數(shù)相等，故A錯

誤；

B,在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧對應(yīng)相等，故B錯誤；

C,半圓是弧，故C正確；

力,平分弦（不是直徑）直徑垂直于弦，要強調(diào)被平分的弦不是直徑.故。錯誤；

故選C.

本題主要考查垂徑定理，圓的認(rèn)識，熟悉掌握是關(guān)鍵.

2.00的半徑為6,一條弦長6百，以3為半徑的同心圓與這條弦的關(guān)系是（）

A.相切B.相交C.相離D.相切或相交

A

【分析】

此題首先根據(jù)垂徑定理和勾股定理求得圓心到弦的距離，再進一步根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的

聯(lián)系進行判斷.若d<r,則直線與圓相交；若（1文，則直線于圓相切；若d>r,則直線與圓相離.

O

【詳解】

'B

如圖，0A=0C=0B=6,0C1,AB,交48于點D.

6百,由垂徑定理知，點。是48的中點,A￡>=3石，

???OD=S解-AD?=3,

二以3為半徑的同心圓與AB弦的關(guān)系為相切.

故選A.

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，垂徑定理，解決此題的關(guān)鍵是綜合運用垂徑定理和勾股定理

計算弦的弦心距.

3.如圖，AB是。。的直徑，AB=10,P是半徑0A上的一動點，PCLAB交。0于點C,在半徑0B上取點

Q,使得0Q=CP,DQ_LAB交（DO于點D,點C,D位于AB兩側(cè)，連結(jié)CD交AB于點E,點P從點A出

發(fā)沿A0向終點0運動，在整個運動過程中，ACEP與ADEQ的面積和的變化情況是（）

A.一直減小B.一直不變

C.先變大后變小D.先變小后變大

B

【分析】

連接OC,OD,PD,CQ.設(shè)PC=x,OP=y.延長CP與圓交于點F,證/FOD為直角，得至Ij/PCE=45。，可得

△CEP與ADEQ的面積和為S=（x2+y2）+2=0D2+2=12.5,即可判斷，

【詳解】解：連接OC,OD,PD,CQ.設(shè)PC=x,OP=y.

延長CP與圓交于點F,

VPC±AB,QD1AB,

ZCPO=ZOQD=90°,

VPC=OQ,OC=OD,

二RtAOPC^RtADQO,

.".RtAOPC^RtADQO,

???ZFOD=90°,

???ZPCE=45°,

.\OP=DQ=y,

.二△CEP與^DEQ的面積和為S=(x2+y2);2=0D2-2=12.5.

故選B.

本題考查勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,

構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

4.已如aABC的面積18cm2,其周長為24cm,則AABC內(nèi)切圓半徑為（）

33

A.1cmB.—cmC.2cmD.—cm

24

B

【分析】

利用圓的內(nèi)切圓的性質(zhì)，以及三角形的面積公式:三角形的面積=Lx三角形的周長X內(nèi)切圓的半徑即可求解.

2

【詳解】解：設(shè)內(nèi)切圓的半徑是r,

則1x24r=18,

2

解得:r=1.5.

故選B.

本題考查了三角形的面積公式以及三角形的內(nèi)切圓，理解三角形的面積,X三角形的周長X內(nèi)切圓的半徑是

2

關(guān)鍵.

5.如圖NBAC=60。，半徑長1的。O與NBAC的兩邊相切，P為。0上一動點，以P為圓心，PA長為半徑

的。P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE,則線段DE長度的最大值為（）

3g

A.3B.6rD.3A/3

2

D

分析：連接AO并延長，與圓。交于P點，當(dāng)AF垂直于時，線段OE長最大，設(shè)圓。與A8相切于點

M,連接OM,PD,由對稱性得到4k為角平分線，得到/耐力為30度，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OM垂直于

AD,在直角三角形40M中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AO的長，由AO+OP求出AP

的長，即為圓尸的半徑，由三角形AE。為等邊三角形，得到。P為角平分線，在直角三角形PED中，利用

30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出PF的長，再利用勾股定理求出FD的長，由OE=2F￡>求出OE的長，

即為。E的最大值.

詳解：連接AO并延長，與ED交于F點,與圓。交于P點，此時線段最大，連接OM,PD,可

得下為ED的中點.

：NB4C=60。，AE=A￡>,為等邊三角形，...AF為角平分線，即/硼0=30。.在R2AOM

3

中，OM=1,ZOAM=30°,：.OA^2,：.PD=PA^AO+OP=3.在Rt/kPD/中，ZFDP=30°,PD=3,：.PF=-,

2

根據(jù)勾月殳定理得：FD=JPD2_PF?=浮，則OE=2FZ>3百.

故選D.

點睛：本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì),

熟練掌握切線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

6.如圖，aABC內(nèi)接于。0,若NA=a,則NOBC等于（)

A.90°-2aB.90°-aC.2aD.45°+a

B

【分析】

首先求出NBOC=2a,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】連接OC.

VZBOC=2ZBAC,NBAC=a,

,ZBOC=2a,

VOB=OC,

.*.ZOBC=-(180°-2a)=90°-a.

2

故選B.

本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

7.如圖,MN是。0的直徑，點A是半圓上的三等分點，點B是劣弧AN的中點，點P是直徑MN上一動點.若

MN=20,AB=1,貝/PAB周長的最小值是（）

A.272+1B.V2+1C.2D.3

D

【分析】

作點A關(guān)于MN的對稱點A-連接AB,交MN于點P,連接OA、OA,OB,PA,AA\所以點A與A，

關(guān)于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，所以NAQN=/AON=60。，PA=PA\OA=OA，=0,因為

點B是弧AN的中點，所以NBON=30。，NA，OB=NA，ON+NBON=90。，再由勾股定理求出A，B=2,最后即

可求解.

作點A關(guān)于MN對稱點A，，連接AB,交MN于點P,連接OA，，OA,OB,PA,AA\

?.?點A與A，關(guān)于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，

7.ZA,ON=ZAON=60°,PA=PA',

?點B是弧AN的中點，

:.NBON=30。，

，ZA,OB=ZA,ON+ZBON=90°,

又?.?OA=OA，=0,

.*.A,B=2.

PA+PB=PA'+PB=A'B=2.

AAPAB周長的最小值=PA+PB+AB=2+1=3

故選D.

本題主要考查對軸對稱，勾股定理，圓心角，圓周角，弧和弦等知識點，熟悉掌握是關(guān)鍵.

8.如圖，AB是。D的直徑，AD切。，D于點A,EC=CB.則下列結(jié)論：

?BA1DA；②OC〃AE；(§)ZC0E=2ZCAE；?OD1AC.一定正確的個數(shù)有()

D

A.4個B.3個C.2個D.1個

B

【分析】

①根據(jù)切線的性質(zhì)得出AD1AB；

②由弦相等可知所對的弧相等，則=所以/COB=/EAB,OC〃AE；

2

③在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角是圓周角的2倍；

④因為E不是弧AC的中點，所以0D與AC不垂直.

【詳解】解：①TAB是。的直徑，AO切。于點A,

J.ADLAB-,

故①正確；

②?：EC=CB,

：?EC=CB，

：.EB=-CB,

2

二NCOB=NEAB,

：.OC//AE；

故②正確；

③是圓心，

NC0E=2NCAE；

故③正確；

④?.?點E不一定是4c的中點，

.?.0E與AC不一定垂直，

故④不正確；

正確的有①②③，

故選B.

本題主要考查切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，靈活運用是關(guān)鍵.

9.已知正方形的邊長是10厘米，則陰影部分的面積為（）

A.257r-50B.50n-50C.25n-25D.50兀-25

A

【分析】

陰影面積=四分之一圓面積-兩個等腰三角形，即可求解.

【詳解】

90萬?IO?

—2x39=25萬-50.

3602

故選A.

本題主要考查陰影面積的計算，尋找出陰影與空白之間的關(guān)鍵是關(guān)鍵.

10.如圖，AB是OO的直徑，AB=6,點M在。。上，NMBA=20。，N是上〃的中點，P是直徑AB上的一

動點，若AN=1,則△PMN周長的最小值為（）

A/

A.3B.4C.5D.6

B

【分析】

作N關(guān)于AB的對稱點N\由兩點之間線段最短可知MN，與AB的交點P，即為APMN周長的最小時的點,

根據(jù)N是弧MB的中點可知NA=NNOB=/MON=20。，故可得出/MON，=60。，故△MON，為等邊三角形,

由此可得出結(jié)論.

過N作NN」AB,交AB于G交O于N1連接MN，交AB于P；連接NN，,ON，,ON,MNPN,

.\NG=N,G,

，N、N，關(guān)于AB對稱，

.,.MN，與AB的交點「即為APMN周長的最小時的點，

：N是弧MB的中點，

ZA=ZNOB=ZMON=20°,

:.NMON'=60°,

.?.△MON，為等邊三角形，

AMN,=OM=-AB=3,

2

.?.△PMN周長的最小值為3+1=4.

故答案選：B.

本題考查了軸對稱-最短路線問題與圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握軸對

稱-最短路線問題與圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圓周角定理.

二.填空題(每小題3分，共6小題)

11.如圖，在。O中，直徑AB,弦CD于E,若EB=lcm,CD=4cm,則弦心距OE的長是cm.

試題分析：AB為。。的直徑，AB±CD,CE=DE=-CD=-x4=2(cm).

22

如圖，連接0C,設(shè)。。的半徑為xcm,則OC=xcm,OE=OB-BE=x-l(cm),

在RtAOCE中，OC2=OE2+CE2,x2=(x-1)2+22,解得：x=-

2

3

OE=y(cm).

考點：1.垂徑定理；2.勾股定理.

12.點A、B在。。上，若NAOB=40°,貝!|NOAB=

70°.

【分析】

如圖，連接AB,根據(jù)圓的半徑相等得^AOB為等腰三角形，又因為NAOB=40。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理

解題即可.

【詳解】解：如圖，連接AB,

1800-40°

,ZOAB=ZOBA=---------------=70°.

2

故答案為70。.

本題考查了三角形內(nèi)角和定理與圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形內(nèi)角和定理與圓的性質(zhì).

13.如圖所示，半圓0的直徑AB=4,以點B為圓心，2目為半徑作弧，交半圓0于點C,交直徑AB于點D,

則圖中陰影部分的面積是.

解:連接OC,CB,過。作OELBC^E,：.BE=-BC=-x2y[3=Jj-"."OB=-AB=2,：.OE=\,.'.ZB=30°,

222

NCOA-60°,S陰弟=S扇形A"—S°oc=S扇形AOC一（S扇形&BC-）

=如g小c?一L2A1）=與百）=2.故答案2.

3603602333

ADO

14.如圖，在。O中，AB為直徑，NACB的平分線交。0于D,AB=6,貝ijBD=

。B

3vL

【分析】

由角平分線的性質(zhì)得到圓周角/ACD=NBCD,則AO=80,所以AD=BD,故易證AABD是等腰直角三角

形，通過勾股定理來求BD的長度.

【詳解】解：：CD是NACB的平分線，

.-.ZACD=ZBCD,則AO=BO，

r.AD=BD,

?.?AB是。O的直徑，

，ZACB=90°,ZADB=90°.

VAB=6,

5

BD=-----AB=3y[2cm.

2

故答案為3g.

本題考查了圓周角定理與勾股定理的運算，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握圓周角定理與勾股定理的運算法則.

15.如圖，AABC中，若AC=4,BC=3,AB=5,則AABC的內(nèi)切圓半徑R=.

1.

【分析】

先根據(jù)已知條件得出AABC為直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式計算出AABC的面積，再連接

AO,BO,CO,SAABC=SAAOB+SABOC+SAAOC,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,再根據(jù)面積公式計算即可得出結(jié)論.

【詳解】解：；AB=5,AC=4,BC=3,32+42=52,

r.AB2=AC2+BC2,

.?.△ABC為直角三角形，

11

/.SABC=—xACxBC=—x4x3=6,

A22

設(shè)AABC的內(nèi)切圓圓心為O,連接AO,BO,CO,

SAABC=SAAOB+SABOC+SAAOC,

設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則-ABr+-BCr+-ACr=6,

222

111

--5-r+--3-r+—4r=6,

222

解得r=l.

故答案為1.

本題考查了三角形的內(nèi)切圓半徑，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握圓的知識點.

16.如圖，AB是。。的直徑，C,D是。0上的點，且OCIIBD,AD分別與BC,0C相交于點E,F,則下列結(jié)論:

①AD_LBD；（2）ZAOC=ZAEC；③CB平分NABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF空△BED,其中一定成

立的一（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）

①③④⑤

【分析】

根據(jù)圓周角定理、平行線的性質(zhì)、垂徑定理等判斷即可.

【詳解】①是。。的直徑，.?.N4OB=90。，故①正確；

②是（DO的圓心角，/AEC是。。的圓內(nèi)部的角，.?./40CWNAEC,故②不正確；

@-：OC//BD,ZOCB=ZDBC.

VOC=OB,.".ZOCB=ZOBC,：.NOBC=NDBC,.?.8C平分/ABO,故③正確；

④是O。的直徑，.,./ADB=90。，...AOLB。.

VOC//BD,：.ZAFO=90°.

???點。為圓心，??.AF=OF,故④正確；

⑤由④有，AF=DF.

?點。為A8中點，，。尸是△ABO的中位線，，8。=2。凡故⑤正確；

⑥???△（?￡：/和△8EZ）中，沒有相等的邊，...△CEF與△8EZ）不全等，故⑥不正確.

綜上可知：其中一定成立的有①③④⑤.

故答案為①③④⑤.

本題主要考查圓周角定理及圓的有關(guān)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握圓中有關(guān)的線段、角相等的定理是解題的

關(guān)鍵，特別注意垂徑定理的應(yīng)用.

三.解答題（共7小題）

17.如圖所示，C,D是半圓O上的兩點，AB是圓0的直徑，且OD〃BC,0D與AC交于點

D=5.

【分析】

根據(jù)題意可得AACB為直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出AC,再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出OE,DE,運用勾股

定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：：AB是直徑，

ZACB=90°,

在RSACB中，由勾股定理可得=

：OD〃BC,

，OD_LAC,

.?.AE=EC=4,

?.?。是AB的中點，

，0E是AABC的中位線，

17

，OE=-CB=—，

26

257

.*.DE=OD-0E=----------=3,

66

在RtAADE中，由勾股定理可得AD=5.

本題考查了中位線的性質(zhì)與勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握中位線的性質(zhì)與勾股定理.

18.如圖，弦AB和弦CD相交于。0內(nèi)一點E,AD=CB,求證：AB=CD.

【分析】

根據(jù)同弧所對的弦相等證明即可.

【詳解】證明：：AD=BC,

：?AD=BC，

■■CD=AB^

ACD=AB.

本題考查了弧的知識點，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握同弧所對的弦相等.

19.如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓0上的一點，CF切半圓0于點C,BDLCF于為點D,BD與半

圓0交于點E,

⑴求證：BC平分/ABD

(2)若DC=8,BE=4,求圓的直徑.

(1)證明見解析；(2)4V17；

【分析】

(1)連接0C,根據(jù)CD為切線可得OCLCD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)連接AE交0C于G,根據(jù)圓與平行線的性質(zhì)易得四邊形CDEG為矩形，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)

論.

【詳解】(1)證明：連結(jié)0C,如圖，

VCD為切線,

A0C1CD,

VBD1DF,

.?.OC〃BD,

VOB=OC,

r.zi=Z2,

，/2=N3,

.?.BC平分/ABD；

(2)解：連結(jié)AE交OC于G,如圖,

D

B

「AB為直徑,

，NAEB=90°,

VOC#BD,

AOCICD,

，AG=EG,

易得四邊形CDEG為矩形，

，GE=CD=8,

；.AE=2EG=16,

在RSABE中，AB=7i而不=4?，

即圓的直徑為4J萬.

本題考查了勾股定理、切線與平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握勾股定理、切線與平行線的性質(zhì).

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,4）、B（4,4）、C（6,2）.

（1）在圖中畫出經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的位置；

（2）點M的坐標(biāo)為；

試題分析：（1）由網(wǎng)格容易得出A8的垂直平分線和BC的垂直平分線，它們的交點即為點M；

（2）根據(jù)圖形即可得出點M的坐標(biāo)：

（3）用兩點間距離公式求出圓的半徑和線段。M的長，當(dāng)DM小于圓的半徑時點。在圓內(nèi).

試題解析：解：（1）如圖1，點M就是要找的圓心；

（2）圓心M的坐標(biāo)為（2,0）.故答案為（2,0）；

（3）圓的半徑也？+4?=2下.

線段MD=J（5-2）2+22=后＜2所以點。在。M內(nèi).

點睛：本題考查是點與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及垂徑定理，利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)得到圓心M的坐標(biāo)

是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在aABC中，AB=AC,NA=30。，以AB為直徑的。O交BC于點D,交AC于點E,連結(jié)DE,

過點B作BP平行于DE,交（DO于點P,連結(jié)EP、CP、OP.

（1）BD=DC嗎？說明理由；

（2）求/BOP的度數(shù)；

（3）求證：CP是。O的切線.

（1）BD=DC；理由見解析；（2）90°；（3）證明見解析;

【分析】

⑴連接AD,由圓周角定理可知NADB=90。，再由AB=AC可知ZiABC是等腰三角形，故BD=DC；

（2）由于AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，所以NBAD=NCAD,故BD=￡）E，進而可得出BD=DE,

故BD=DE=DC,所以NDEC=/DCE,AABC中由等腰三角形的性質(zhì)可得出NABC=75。，故/DEC=75。由

三角形內(nèi)角和定理得出NEDC的度數(shù)，再根據(jù)BP〃DE可知NPBC=/EDC=30。，進而得出NABP的度數(shù)，

再由OB=OP,可知NOBP=NOPB,由三角形內(nèi)角和定理即可得出NBOP=90。：

0G]

(3)設(shè)OP交AC于點G,由NBOP=90。可知NAOG=90。在Rt^AOG中，由NOAG=30。，可知——=-

AG2

0Pop1OPOGOGGP

由于---=----=—，所以----=----?----=----,再根據(jù)NAGO=NCGP可得出△AOGsaCPG,由相

ACAB2ACAGAGGC

似三角形形的性質(zhì)可知NGPC=NAOG=90。，故可得出CP是。。的切線.

【詳解】解：（1）BD=DC.理由如下：連接AD,

：.ZADB=90°,

AAD1BC,

VAB=AC,

ABD=DC；

(2)TAD是等腰4ABC底邊上的中線,

AZBAD=ZCAD,

：?BD;DE，

???BD=DE.

???BD=DE=DC,

???ZDEC=ZDCE,

△ABC中，AB=AC,ZA=30°,

???ZDCE=ZABC=-(180°-30°)=75°,

2

???ZDEC=75°,

???ZEDC=180°-75°-75°=30°,

VBP/7DE,

AZPBC=ZEDC=30°,

...ZABP=ZABC-ZPBC=75°-30°=45°,

VOB=OP,

AZOBP=ZOPB=45°,

ZBOP=90°；

(3)設(shè)OP交AC于點G,如圖，則NAOG=/BOP=90。,

在RSAOG中，/OAG=30°,

?OG1

,AG2

OP_OP_J_

?ALAB-2

.OPOG

??-----------,

ACAG

.OGGP

"AG-GC

XVZAGO=ZCGP,

/.△AOG^ACPG,

ZGPC=ZAOG=90°,

AOP±PC,

.?.CP是(DO的切線；

本題考查了圓周角定理與切線的判定以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握圓周角定理與切線

的判定以及等腰三角形的性質(zhì).

22.如圖，AB為。。的直徑，C是OO上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D,AELDC,垂足為E,F

是AE與。O的交點，AC平分NBAE,連接OC.

(1)求證：DE是OO的切線；

(2)若。0半徑為4,ND=30。，求圖中陰影部分