2021屆高三數(shù)學沖刺模擬考試押題卷三

2021新高考數(shù)學押題卷(3)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.若集合A={x|f-4<0},8={x|/gx<0},則Ap|B=()

A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)

2.已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=—的實部和虛部分別是()

A.-7,3B.7,-3/C.7,-3D.-7,3/

3.設(shè)a=log25,h=52A,c=0.25,貝IJQ,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

4.中長跑是一項對學生身體鍛煉價值較高的運動項目，在某校的一次中長跑比賽中，全體

參賽學生的成績近似地服從正態(tài)分布N(80,100),已知成績在90分以上(含90分)的學生

有32名.則參賽的學生總數(shù)約為()

(參考數(shù)據(jù)：一bv￡〃+b)右0.683,P(ju-2<T<配〃+2a)?0.954，

P(〃-3。<以〃+3b)?0.997)

A.208B.206C.204D.202

5.有歌唱道：“江西是個好地方，山清水秀好風光.”現(xiàn)有甲乙兩位游客慕名來到江西旅游,

分別準備從廬山、三清山、龍虎山和明月山4個著名旅游景點中隨機選擇其中一個景點游玩,

記事件A：甲和乙至少一人選擇廬山，事件8：甲和乙選擇的景點不同，則條件概率

P(B|A)=()

A.—B.-C.-D.-

16877

6.將函數(shù)f(x)=cos(2x-C)的圖象向左平移工個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則關(guān)于

48

函數(shù)g(x)的正確結(jié)論是()

A.奇函數(shù)，在(0,工)上單調(diào)遞減

4

B.最大值為1,圖象關(guān)于直線x=出對稱

2

C.最小正周期為萬，圖象關(guān)于點(半,0)對稱

D.偶函數(shù)，在(—芳,()上單調(diào)遞增

22

7.已知雙曲線E:=-《=l（a>0力>0）的左、右焦點分別為月，F(xiàn)2,過工作以匕為圓心、

ab

I|為半徑的圓的切線切點為T.延長工7交E的左支于P點，若M為線段P鳥的中點,

)

C.73D.石

8.在三棱柱ABC-ABC中，側(cè)棱垂直于底面，AB±BC,AB=BC,AC=2應(yīng),AAt=y/2,

點E為AG的中點，點F在8C的延長線上且方=則異面直線BE與所成的角

為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分。在每小題給出的四個選項中。有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得。分。

9.一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為2,3,3,X,7,10,若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的9倍,

4

則下列說法正確的是（）

A.x=4B.眾數(shù)為3C.中位數(shù)為4D.方差為竺

3

10.已知0〈log〕avlog]Z?<1,則下列說法正確的是（）

A.\>(^>tr>-B.2>—>->l

4ab

Cabn1f一。1

C.----->------D.—(=>e>e>-

b-\a-\\jee

11.已知數(shù)列｛《｝的前4項成等比數(shù)列，其前〃項和為S〃，且見=加53，a,>1,則()

A.a｝<a3B.a2<a4C.%>%D.a2>a4

22

12.已知點A(—1,-3)、8(2,0)和尸(x,y)(-l<x<2,y<0)在橢圓C:土+匕=l(m>0,”>0)

mn

上，貝")

A.C的焦點為(±2&,0)B.C的離心率為Y6

3

C.直線叢的斜率小于1D.AfAfi的面積最大值為3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量々=(1,1),ft=(1,-1),則|計25|=.

14.二項式(/+3)6展開式中含/項的系數(shù)為.

X

15.AAfiC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a+2c=2hcosA,若AABC的周長

為15,且三邊的長成等差數(shù)列，則A4BC的面積為一.

16.已知四棱錐尸-ABCD的底面ABCD為正方形，頂點P在底面的投影為底面中心，若該

四棱錐外接球的半徑為3,則該四棱錐體積的最大值是—.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在①2acosC+c=2/?,?Z?sin2A=asinB.@(sinB+sinC)2=sin3A+3sinBsinC,這

三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.在A4BC中，角A,B,C所對

的邊分別為a,b,c,若A48C的面積為且，a=2且—.求AA8C的周長.

3

18.已知等差數(shù)列｛”“｝滿足=8,且4-1是q和4+1的等比中項，數(shù)列｛"｝的前”項

和為5.,且滿足么=3,2S?=b?+1-3.

(1)求數(shù)列｛??)和｛b,,｝的通項公式；

(2)將數(shù)列｛”“｝和也,｝中的公共項按從小到大的順序依次排成一個新的數(shù)列｛ck｝,kwN*,

令dk=log,ck,求數(shù)列|—!—\的前k項和Tk.

[44+iJ

19.如圖，A是以瓦)為直徑的半圓。上一點，平面平面ABD,BCYBD.

(1)求證：4)_L平面ABC;

(2)若BD=2BC=2,AD=2AB,求二面角A—CD—8的余弦值.

20.2020年遵義市高中生詩詞大賽如期舉行，甲、乙兩校進入最后決賽的第一環(huán)節(jié).現(xiàn)從

全市高中老師中聘請專家設(shè)計了第一環(huán)節(jié)的比賽方案：甲、乙兩校從6道不同的題目中隨機

抽取3道分別作答，已知這6個問題中，甲校選手只能正確作答其中的4道，乙校選手正確

作答每道題目的概率均為2,甲、乙兩校對每道題的作答都是相互獨立，互不影響的.

3

(1)求甲、乙兩?？偣舱_作答2道題目的概率；

(2)請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩校哪所學校獲得第一環(huán)節(jié)勝利的可能性更大？

21.已知雙曲線C:二-馬=1(“>0,〃>0)的一條漸近線y=右準線方程為x=L,過

ab~2

點P(0,-1)的直線/分別交雙曲線C的左、右兩支于點A,B,交雙曲線C的兩條漸近線于

點。，E(。在y軸左側(cè)).

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)記AODE和八。$的面積分別為匯工，若色二也，求直線/的方程.

S22

22.已知函數(shù)/(幻二阮?耳。^+(〃一l)x,awR.

(I)討論/*)的單調(diào)性；

(II)若/&),,2-362_工恒成立，求整數(shù)〃的最大值.

2021新高考數(shù)學押題卷(3)答案

1.解:*/A={jr|x2-4<0}={x|-2<x<2},

IIgx<0}={x10<x<1}，

巾3=(01).

故選：C.

g械3+7i(3+7z)(—Z)

2.vz=----=--------------=7-3z,

z-i

，復(fù)數(shù)z=的實部和虛部分別是7,-3.

i

故選：C.

3.解：,.12=log,4<log25<log28=3,2<a<3,

?.?52J>52=25,:.b>25,

?,?0<0.25<0.2°=1,.-.0<c<l,

：.b>a>c,

故選：B.

4.設(shè)參賽學生的成績?yōu)閄,?.?X~N(80,100),.?."=80,b=10,

則P(X國0)=P(X70)=|[l-P(70<X<90)]

=g口-P(〃-cr<X<〃+a)]=gx(1一0.683)=0.1585,

32+0.15857202(A).

故選：D.

5.解：甲和乙至少一人選擇廬山對應(yīng)的基本事件有：4x4-3x3=7個,

因為甲和乙選擇的景點不同對應(yīng)的基本事件有：C；xC；=6個，

所以「(4A)=g.

7

故選：D.

6.解：將函數(shù)/(x)=cos(2x-^)的圖象向左平移r個單位長度后得到函數(shù)

g(x)=cos(2x+--—)=cos2x的圖象，

則關(guān)于函數(shù)g(x),顯然它是偶函數(shù)，故排除A；

顯然，g(x)的最大值為1,當?時，g(x)=cos;r=-l,為最小值，

故g(x)的圖象關(guān)于直線》='對稱，故8正確；

g(x)的最小正周期為券=%，當》=系時，g(x)=cos?=-等，故C錯誤;

當xe(-,,0，2xe(-y,7),g(x)沒有單調(diào)性，故O錯誤，

故選：B.

7.解：由題意，得IMOtglP/",|研1=\|尸乙1，

22

ITF21=J|耳用『一|耳=7(2C)-C=&,

\MT\=\TF2\-\MF2\=y/3c-^\PF2\,

\MO\+\MT\=^\PFt\+(百c-J|PF2|)=73C+|(|PFt\-\PF2\)=y/3c-a=2a,

解得e=&.

故選：C.

8.解：?.?在三棱柱ABC-A8c中，側(cè)棱垂直于底面,

ABIBC,AB=BC,AC=242,/L4,=&,

:,AB=BC=2,

?.?點E為AG的中點，點尸在8c的延長線上且C升=

BF=~,

2

.?.以3為原點，8c為x軸，84為y軸，B々為z軸，建立空間直角坐標系，

則A(0，2,血)，G(2,0,忘)，E(1,1,血)，8(0,0,0),F(1,0,0),

B￡=(l,1,夜)，CF=(-,0,-V2),

2

設(shè)異面直線班與GF所成的角為。，

3

I心的二萬

則cos0=

I麗H中「2?/2

.??。=60。，

???異面直線BE與C.F所成的角60°.

故選：B.

9.解：一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為2,3,3,x,7,10,

???這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的3倍，

4

、(2+3+3+x+7+10)=：x^|^,

解得x=5,故A錯誤；

眾數(shù)為3,故3正確；

中位數(shù)為==4,故C正確；

2

平均數(shù)為：-(2+34-3+5+7+10)=5,

173

方差為:一[(2—5尸+(3—5尸+(3—5尸+(5—5尸+(7—5)2+(10—5)2]=」,故。正確.

63

故選：BCD.

10.解：因為0<log|a<log1人<1,所以一

222

對于A,因為所以1>片>/；2>',故選項A正確；

24

對于3,不妨取匕=±。=9,則_i=g>j_=g,故選項3錯誤；

66h4a5

對于C,———也二(a-"S+J),因為人<“<1,所以(。一1)(。一1)>0,a-h>0,

b-\a-10-l)(a-l)2

a+h-\>0,故，....->0,所以—,故選項C正確；

b-\a-\b-\a-1

iI,J.

對于O,因為一v0<av1,所以一1<一〃<一〃<一，則1v<eve2,即

22

>e~h>ea>-,故選項D正確.

Jee

故選：ACD.

11.解：?.?數(shù)列｛%｝的前4項成等比數(shù)列，且§4=g,

/.S3+/=1ns3，

即〃4=/，電_53，

設(shè)y=live-x,%>0,

,1A1-X

.?.〉'=——1=------，

XX

令y>o,「.ovxvi,

函數(shù)y在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,80)上單調(diào)遞減，

,?—7,?.?4，，一1，

又???a4=*,/.qql,_1,

?.,q>1,/.qM,-1,q”一1且q2>1,

22

/.a3=%q>%,a2=aAq<0,a4=a2q<a2.

故選：AD.

19,

--1--=1

/n=4

12.解:有題意可知]〃

22n=12

—+0=1

22

+—=1,?=12-4=8,

124

所以橢圓的焦點在y軸上，e=￡=2，=邁,

“263

故選項A錯誤，選項3正確；

,/P(x,^)(-1<x<2,y<0),

原八=金，由題意可知點P只能在A,B兩點之間運動且不包括點A,B,

X+1

kpA<kAR=1,故C正確,

由題意知|AB|=7(-1-2)2+(-3)2=30,

又由原8=1,得直線AB方程為y=x-2,

?.?點P在橢圓上，r.PQcos，，2>/3sin6?),

點P到直線AB的距離為d=12cos"2夕in'-2|="一出〉),

近72

,.--1<x<2,y<0,

.1。=-工時，距離d最大為近，

3

面積最大值為」x3&x0=3.

2

故選：BCD.

13.解：?.?向量彳=(1,1),^=(1,-1),

&+25=(3,-1),

:\a+2b\^y]32+(-l)2=V10,

故答案為：x/io.

14.解：展開式的通項公式為4+1=C；(d)6T(3y

X

令12-3r=3,解得r=3,

則展開式中含V項的系數(shù)為C；1=20x27=540,

故答案為：540.

15.解：由余弦定理可得a+2c==———整理可得a2+c2—b2=—ac，

2bc

所以C+c

2ac

不失一般性，設(shè)夕=5-c=5,Z?=5+r(r>0),

代入/+c?—/=-ac,可得.=2,

所以〃=3,c=5，

可得AABC的面積S=—tzcsinB=—x3x5x—=1^1.

2224

故答案為：區(qū).

4

16.解：如圖，

由題意，四棱錐為正四棱錐，設(shè)底面邊長為a,高為力,

又該四棱錐外接球的半徑為3,g-3)2+(［。)2=32,

整理得6=12/?-2外.

則四棱錐的體積V=11a2/?=：1(12力-2外)./?=4h2-10/j3,

V'=Sh-2h2=2h(4-h),

當/?e(0,4)時，V'>0,函數(shù)V(/z)單調(diào)遞增，

當〃e(4"8)時,口<0,函數(shù)叭》單調(diào)遞減,

2x3

當〃=4時，V；jiat=V(4)=4x4-|4=—.

故答案為：—.

3

17解若選①由正弦定理得

2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2(sinAcosC+cos/4sinC),

即sinC(2cosA-l)=0.

因為?！?0,4)，

所以sinCw0,

所以cosA=—,

2

又Ae(0,7r),從而得A=&.

3

若選②，因為Asin2A=asin3,可得2/?sinAcosA=asinB,

所以由正弦定理可得2^cosA=a6,可得cosA='，

2

又Ae(0/),從而得A=工.

3

若選③，因為(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC,

所以sin?B+sin2C+2sinBsinC=sin2A+3sinBsinC，

即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,

所以從+c?-。2=,

-r/Hb2+c2-a21

可得cosAx=---------------=—.

2bc2

因為A￡((U),

所以可得A=巳.

3

n

因為AABC的面積為—，o=2,A=—j

33

由余弦定理a?=b2+c2-2Z?ccosA,得〃+c2-be=4,

由SA48c='besinA=—be?—=—,得be=3,

AA8c22233

所以〃+c=Jb2+c2+2hc=\[4+3bc=2近,

a+b+c=25/2+2.

18.解：⑴設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

由％—q=8，可得2d=8,即d=4,

由。2T是4和%+1的等比中項，可得(&-If=4(q+1)，

即有(4+3)2=4(4+9),

解得4=3,

則a“=3+4(〃-1)=-1；

由4=3,2s“=〃,+]—3,可得仇=2S1+3=2a+3=9,

〃..2時，2s“―，又2S“=%-3,可得2s“-2%=%-3-2+3=2。，

即為bn+｝=3bn,滿足〃=1,

所以他,｝是首項和公比均為3的等比數(shù)列，

則4=3"；

(2)由C]=3,c2=27,6=243,猜想c?=3””，

證明:因為&2=3"+2-3"=83'=4(23')是數(shù)列的公差d的正整數(shù)倍，

由，2力打，所以打，b4,4,....b2li,…不是｛”“｝中的項，

由于q=仇=4=3,所以4，b3,...,,…是｛a,J中的項，

所以c*=3"T,dk=log,ck=2k-\,

11111、

-----=-------------=—(z------------),

44+1(2D(2Z+1)22k-\2k+\

所以.=—(1——+---------)=—(1------)=---.

*23352k-\2k+\22k+\2Z+1

19.(1)證明：?.?平面88_L平面且平面88C平面至￡>=%>,

8Cu平面8cZ),BCYBD,

平面4犯，而4)u平面4犯，

:.BCA.AD,又AD_LAB,且ABpIBCuB,

.?.AO_L平面ABC;

⑵解：vAD=2AB,:.ZAOB=f^P,

則A4O8為等邊三角形，取OB中點E,連接4E,則

又平面BCD_L平面ABD,且平面8CQC平面=皮)，

A￡u平面43。，AEA.BD,則AEJ?平面38,

在平面BCD中，過E作EF_LC￡>,垂足為尸，連接AF,

由三垂線定理可得，CDYAF,

則447方為二面角A-CD-B的平面角.

.BD=2BC=2,AE=—,ED=~,CD=>/5,

22

2廠

由RtADBCsRgDFE,得空=烏，即EF=虻段=，lx=述

EFBCCDV510

在RtAAEF中，WAF=-JAE2+EF2=,-+—=—,

V4205

20.解：（1）由題意可知，甲、乙兩校共答對兩道題的可能有：甲校I道乙校1道；甲校2

道乙校0道,

所求概率P=+著一|)34______________（5分）

（2）設(shè)甲校正確作答的題數(shù)為X,則X的取值分別為1,2,3.

ClC21r2C'3C3C°1

P(x=l)=」^=-,P(x=2)=」^=一，P(X=3)=-^-=-.............(7

Cl5d5C；5

分）

則X的分布列為:

X123

PJ_3J_

555

131

??.E(X)=lx-+2x-+3x-=2,

￡>(X)=(1-2)2X1+(2-2)2X|+(3-2)2X1=|.

設(shè)乙校正確作答的題數(shù)為y,則y取值分別為0,1,2,3.

i2j?214

P(y=o)=萬，p(r=i)=c>-x(-)2=-,P(r=2)=c；x(-)2x-=-

9Q

p(y=3)=($3$

327

則y的分布列為：

Y0123

P1248

2799T7

.■.￡(y)=0x^4-lx|+2x^+3x^=2.(或?.,y~8((3,g),.-.￡,(7)=3x|=2),

i24Q221

D(F)=(0-2)2X—+(l-2)2x-+(2-2)2x-+(3-2)2x—=-(或。(F)=3x彳x)

279927333

由E(x)=E(y),ax)<o(y)可得，甲校獲得第一環(huán)節(jié)勝利可能性更大......__________

(12分)

解：⑴由題意可得/5￡4又

解得a=l,b=>/3fc=2,

2

則雙曲線的方程為V-二=1;

3

(2)設(shè)直線/的方程為y=與雙曲線的方程3/一丁=3聯(lián)立,

可得(3-r)/+2"-4=0,

設(shè)A,3的橫坐標分別是王，x2(x(<0,x2>0),

2k4

可得%+%2=-------fXiXy=T

3-k23-k2

4公11_2有14一公

則x-Xj=J(X]+w)2-4%w=

2(3-/)2+342—-3-a

由y=區(qū)一1與y=-6工，聯(lián)立，可得/=1

由y=履-1與y=Gx,聯(lián)立，可得無=1

則…一餐="

￡D也-33-標

所以,=I力回_4%D=]=—，解得k=±V2，

S?|ABI尤2-%4-k22

所以直線/的方程為y=±缶-1.

22.解：(I)/(幻的定義域為(0,+oo),

1-ax14-(a-l)x+1(-ax-l)(x-l)

j(x)=——cvc+a-i=-----------------------=-------------------,

xxx

(1)當a.O時，一分一IvO,由r(x)>0,得％>1,由r(x)<0,得Ovxvl,

/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),單調(diào)增區(qū)間為(1,+oo)；

(2)當一Ivav0時，一,由f\x)>0，得Ovxvl或%由f\x)<0,W1<x<--?

a-aa

；J(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1,_3,單調(diào)增區(qū)間為(0,1)和(-1，+00)：

aa

(