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文檔簡介
專題16相交線與平行線【專題目錄】技巧1:識(shí)別相交線中的幾種角技巧2:相交線與平行線中的思想方法技巧3:幾何計(jì)數(shù)的四種常用方法【題型】一、利用對(duì)頂角相等進(jìn)行相關(guān)計(jì)算【題型】二、利用鄰補(bǔ)角相等求角的度數(shù)【題型】三、平行線的性質(zhì)與判定【題型】四、利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算【題型】五、平行線性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【題型】六、求平行線間的距離【考綱要求】1、掌握相交線與平行線的定義,熟練運(yùn)用垂線的性質(zhì),平行線的性質(zhì)和判定.【考點(diǎn)總結(jié)】一、相交線相交線直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi),不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種:相交或平行。垂線的概念當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中,有一個(gè)角是直角,就說這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,交點(diǎn)叫做垂足。垂線的性質(zhì)在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。垂線段最短定理連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短。垂線段公理直線外一點(diǎn)與已知線段連接的所有線段中,垂線段最短.
線段垂直平分線鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角的知識(shí)點(diǎn)兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角,它們的概念及性質(zhì)如下表:圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角443∠3與∠4有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共,另一邊互為反向延長線.∠3+∠4=180°同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角的知識(shí)點(diǎn)同位角:在兩條直線的上方,又在直線EF的同側(cè),具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫同位角。(同旁同側(cè))如:∠1和∠5。內(nèi)錯(cuò)角:在在兩條直線之間,又在直線EF的兩側(cè),具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫內(nèi)錯(cuò)角。(內(nèi)部異側(cè))如:∠3和∠5。同旁內(nèi)角:在在兩條直線之間,又在直線EF的同側(cè),具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫同旁內(nèi)角。(同旁內(nèi)側(cè))如:∠3和∠6。三線八角指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個(gè)角,其中同位角4對(duì),內(nèi)錯(cuò)角有2對(duì),同旁內(nèi)角有2對(duì),同旁內(nèi)角有2對(duì)?!究键c(diǎn)總結(jié)】二、平行線平行線平行線的概念在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線,平行用符號(hào)“∥”表示,如:直線與直線互相平行,記作∥,讀作a平行于b。平行線的畫法:一落、二靠、三移、四畫。判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí),可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定:①有且只有一個(gè)公共點(diǎn),兩直線相交;②無公共點(diǎn),則兩直線平行;③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn),則兩直線重合平行公理(唯一性):經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行。平行線的判定判定方法1:兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行簡稱:同位角相等,兩直線平行判定方法2:兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯(cuò)角相等,那么這兩條直線平行簡稱:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行判定方法3:兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行簡稱:同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行平行線的性質(zhì)性質(zhì)1:兩直線平行,同位角相等;性質(zhì)2:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;性質(zhì)3:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)?!局饕浚?)對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的,對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角;(2)如果∠α與∠β是對(duì)頂角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角;(3)如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角,則一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角;(4)兩直線相交形成的四個(gè)角中,每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè),而對(duì)頂角只有一個(gè).【技巧歸納】技巧1:識(shí)別相交線中的幾種角【類型】一、識(shí)別對(duì)頂角1.下列選項(xiàng)中,∠1與∠2互為對(duì)頂角的是()2.下列語句正確的是()A.頂點(diǎn)相對(duì)的兩個(gè)角是對(duì)頂角B.有公共頂點(diǎn)并且相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角C.兩條直線相交,有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角D.兩條直線相交,有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊的兩個(gè)角是對(duì)頂角3.如圖,∠1的對(duì)頂角是()A.∠BOFB.∠BOCC.∠BODD.∠EOC4.如圖所示,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OE,OF是過點(diǎn)O的射線,其中構(gòu)成對(duì)頂角的是()A.∠AOF和∠DOEB.∠EOF和∠BOEC.∠BOC和∠AODD.∠COF和∠BOD【類型】二、識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角5.下列圖形中,∠1和∠2是同旁內(nèi)角的是()6.如圖,AB與BC被AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是__________;DE與AC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是__________;圖中∠4的內(nèi)錯(cuò)角是_______和________.7.如圖所示,如果∠2=100°,那么∠1的同位角等于________°,∠1的內(nèi)錯(cuò)角等于________°,∠1的同旁內(nèi)角等于________°。8.如圖,試判斷∠1與∠2,∠1與∠7,∠1與∠BAD,∠3與∠4,∠2與∠6,∠5與∠8各對(duì)角的位置關(guān)系.9.如圖,請(qǐng)結(jié)合圖形找出圖中所有的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.參考答案1.D2.D3.B4.C5.A6.∠1和∠3;∠2和∠4;∠5;∠27.80;80;1008.解:∠1與∠2是同旁內(nèi)角,∠1與∠7是同位角,∠1與∠BAD是同旁內(nèi)角,∠3與∠4是同旁內(nèi)角,∠2與∠6是內(nèi)錯(cuò)角,∠5與∠8是對(duì)頂角.9.解:當(dāng)直線AB,BE被AC所截時(shí),所得到的內(nèi)錯(cuò)角有:∠BAC與∠ACE,∠BCA與∠FAC;同旁內(nèi)角有:∠BAC與∠BCA,∠FAC與∠ACE.當(dāng)直線AD,BE被AC所截時(shí),內(nèi)錯(cuò)角有:∠ACB與∠CAD;同旁內(nèi)角有:∠DAC與∠ACE.當(dāng)直線AD,BE被BF所截時(shí),同位角有:∠FAD與∠B;同旁內(nèi)角有:∠DAB與∠B.當(dāng)直線AC,BE被AB所截時(shí),同位角有:∠B與∠FAC;同旁內(nèi)角有:∠B與∠BAC.當(dāng)直線AB,AC被BE所截時(shí),同位角有:∠B與∠ACE;同旁內(nèi)角有:∠B與∠ACB.技巧2:相交線與平行線中的思想方法【類型】一、基本圖形(添加輔助線)法1.已知AB∥CD,探討圖中∠APC與∠PAB、∠PCD的數(shù)量關(guān)系,并請(qǐng)你說明成立的理由.【類型】二、分離圖形法2.若平行直線EF,MN與相交直線AB,CD相交成如圖所示的圖形,則共得出同旁內(nèi)角多少對(duì)? 【類型】三、平移法3.如圖,在水平地面上有幾級(jí)高度和寬度不均勻的臺(tái)階,它們的總寬度是3米,總高度是2米,圖中所成角度均為直角,現(xiàn)要在從A到B的臺(tái)階上鋪上地毯,求地毯的總長度.4.如圖,某住宅小區(qū)內(nèi)有一塊長方形地,想在長方形地內(nèi)修筑同樣寬的兩條小路,余下部分綠化,小路的寬為2m,則綠化的面積為多少?【類型】四、方程思想5.如圖,由點(diǎn)O引出六條射線OA,OB,OC,OD,OE,OF,且AO⊥OB,OF平分∠BOC,OE平分∠AOD,若∠EOF=170°,求∠COD的度數(shù).【類型】五、轉(zhuǎn)化思想6.如圖,AB∥CD,∠1=∠B,∠2=∠D,試說明BE⊥DE.【類型】六、數(shù)形結(jié)合思想7.如圖,直線AB,CD被EF所截,∠1=∠2,∠CNF+∠BMN=180°.試說明:AB∥CD,MP∥NQ.【類型】七、分類討論思想8.如圖,已知直線l1∥l2,直線l3交l1于C點(diǎn),交l2于D點(diǎn),P是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),請(qǐng)你探究∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系.參考答案1.思路導(dǎo)引:要探究三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系,可找出聯(lián)系這三個(gè)角的平行線,因此聯(lián)想到作平行線.解:∠APC=∠PAB+∠PCD.理由如下:如圖,過點(diǎn)P向左側(cè)作PE∥AB.∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD.∴∠PAB=∠APE,∠PCD=∠CPE.∵∠APC=∠APE+∠CPE,∴∠APC=∠PAB+∠PCD.2.解:如圖,將給出的圖形分離為8個(gè)“三線八角”的基本圖形,由每個(gè)基本圖形都有2對(duì)同旁內(nèi)角,知共有16對(duì)同旁內(nèi)角.3.解:由平移的性質(zhì)可知,地毯的總長度為3+2=5(米).方法規(guī)律:此題運(yùn)用了平移法,這些臺(tái)階不均勻,無法具體計(jì)算每級(jí)臺(tái)階的寬度和高度,但若把所有臺(tái)階的寬平移至BC上,發(fā)現(xiàn)總和恰好與BC相等,若把所有臺(tái)階的高平移到AC上,發(fā)現(xiàn)總和恰好與AC相等.4.解:如圖,把兩條小路平移到長方形地ABCD的最上邊和最左邊,則余下部分EFCG是長方形,即為綠化的面積.∵CF=32-2=30(m),CG=20-2=18(m),∴長方形EFCG的面積=30×18=540(m2).即綠化的面積為540m2.5.解:設(shè)∠COD=x.因?yàn)镺F平分∠BOC,OE平分∠AOD,所以∠COF=eq\f(1,2)∠BOC,∠EOD=eq\f(1,2)∠AOD.因?yàn)椤螮OF=x+∠COF+∠EOD=170°,所以∠COF+∠EOD=170°-x.又因?yàn)閤+2∠COF+2∠EOD+90°=360°,所以x+2(170°-x)+90°=360°,所以x=70°,即∠COD=70°.方法規(guī)律:有些復(fù)雜的求角度的問題用方程思想求解非常簡單,注意方程思想的應(yīng)用.6.解:如圖,過點(diǎn)E作EF∥AB.∵EF∥AB,AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠DEF=∠D.又∵∠D=∠2,∴∠DEF=∠2.同理:由EF∥AB,∠1=∠B,可得∠BEF=∠1.又∵∠1+∠2+∠BEF+∠DEF=180°,∴∠1+∠2=∠BEF+∠DEF=∠BED=90°.∴BE⊥DE.方法規(guī)律:解該類問題需轉(zhuǎn)化為比較簡單、熟悉的幾何問題,通過點(diǎn)E作平行線,把一個(gè)大角分成兩個(gè)小角,分別與已知角建立聯(lián)系,這種轉(zhuǎn)化思想在解題時(shí)經(jīng)常用到.7.解:由對(duì)頂角相等,得∠CNF=∠END.又∠CNF+∠BMN=180°,所以∠END+∠BMN=180°.所以AB∥CD.所以∠EMB=∠END.又因?yàn)椤?=∠2,所以∠EMB+∠1=∠END+∠2,即∠EMP=∠ENQ.所以MP∥NQ.點(diǎn)撥:平行線的判定是由角與角的數(shù)量關(guān)系到“形”的判定,而性質(zhì)則是由“形”到“數(shù)”的說理,研究兩條直線的垂直或平行的共同點(diǎn)是把研究它們的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為研究角和角之間的數(shù)量關(guān)系.8.解:當(dāng)點(diǎn)P在C,D之間時(shí),過P點(diǎn)作PE∥AC,則PE∥BD,如圖①.∵PE∥AC,∴∠APE=∠1.∵PE∥BD,∴∠BPE=∠3.∵∠2=∠APE+∠BPE,∴∠2=∠1+∠3.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),∠1=0°,如圖②.∵l1∥l2,∴∠2=∠3.∵∠1=0°,∴∠2=∠1+∠3.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),∠3=0°,如圖③.∵l1∥l2,∴∠2=∠1.∵∠3=0°,∴∠2=∠1+∠3.綜上所述,當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系為∠2=∠1+∠3.技巧3:幾何計(jì)數(shù)的四種常用方法【類型】一、按順序計(jì)數(shù)問題1.(1)如圖①,直線l上有2個(gè)點(diǎn),則圖中有2條可用圖中字母表示的射線,有1條線段;(2)如圖②,直線l上有3個(gè)點(diǎn),則圖中有________條可用圖中字母表示的射線,有________條線段;(3)如圖③,直線上有n個(gè)點(diǎn),則圖中有_______條可用圖中字母表示的射線,有__________條線段;(4)應(yīng)用(3)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題:某校七年級(jí)共有6個(gè)班進(jìn)行足球比賽,準(zhǔn)備進(jìn)行循環(huán)賽(即每兩隊(duì)之間賽一場),預(yù)計(jì)全部賽完共需________場比賽.【類型】二、按畫圖計(jì)數(shù)問題2.請(qǐng)你畫圖說明同一平面內(nèi)的4條直線的位置關(guān)系,它們分別有幾個(gè)交點(diǎn)?3.平面內(nèi)有10條直線,無任何三線共點(diǎn),要使它們恰好有31個(gè)交點(diǎn),請(qǐng)你畫出示意圖.【類型】三、按基本圖形計(jì)數(shù)問題4.如圖,一組互相平行的直線有6條,它們和兩條平行線a,b都相交,構(gòu)成若干個(gè)“#”形,則此圖中共有多少個(gè)“#”形?【類型】四、按從特殊到一般的思想方法計(jì)數(shù)問題5.觀察如圖所示的圖形,尋找對(duì)頂角(不含平角).(1)兩條直線相交于一點(diǎn),如圖①,共有________對(duì)對(duì)頂角;(2)三條直線相交于一點(diǎn),如圖②,共有________對(duì)對(duì)頂角;(3)四條直線相交于一點(diǎn),如圖③,共有________對(duì)對(duì)頂角;….(4)根據(jù)以上結(jié)果探究:當(dāng)n條直線相交于一點(diǎn)時(shí),所構(gòu)成的對(duì)頂角有____________對(duì);(5)根據(jù)探究結(jié)果,求2018條直線相交于一點(diǎn)時(shí),所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù).6.平面內(nèi)n條直線最多將平面分成多少個(gè)部分?參考答案1.解:(2)4;3(3)2(n-1);eq\f(n,2)(n-1)(4)152.解:如圖所示,圖①有0個(gè)交點(diǎn),圖②有1個(gè)交點(diǎn),圖③、圖④有3個(gè)交點(diǎn),圖⑤、圖⑥有4個(gè)交點(diǎn),圖⑦有5個(gè)交點(diǎn),圖⑧有6個(gè)交點(diǎn).3.解:如圖所示.4.解:以一個(gè)“#”形為基本圖形的有5個(gè),以兩個(gè)“#”形為基本圖形的有4個(gè),以三個(gè)“#”形為基本圖形的有3個(gè),以四個(gè)“#”形為基本圖形的有2個(gè),以五個(gè)“#”形為基本圖形的有1個(gè),所以共有5+4+3+2+1=15(個(gè)).5.解:(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1)(5)當(dāng)2018條直線相交于一點(diǎn)時(shí),所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)為2018×(2018-1)=2018×2017=4070306.方法規(guī)律:本題運(yùn)用了從特殊到一般的思想,前三題可以直接數(shù)出對(duì)頂角的對(duì)數(shù).根據(jù)前三題中的結(jié)果,探究出一般規(guī)律,再運(yùn)用規(guī)律來解決最后一個(gè)問題.6.解:首先畫圖如下,列表如下:直線條數(shù)1234…平面最多被分成的部分個(gè)數(shù)24711…當(dāng)n=1時(shí),平面被分成2個(gè)部分;當(dāng)n=2時(shí),增加2個(gè),最多將平面分成2+2=4(個(gè))部分;當(dāng)n=3時(shí),增加3個(gè),最多將平面分成2+2+3=7(個(gè))部分;當(dāng)n=4時(shí),增加4個(gè),最多將平面分成2+2+3+4=11(個(gè))部分;…;所以當(dāng)有n條直線時(shí),最多將平面分成2+2+3+4+…+n=1+1+2+3+4+…+n=1+eq\f(n(n+1),2)=eq\f(n2+n+2,2)(個(gè))部分.【題型講解】【題型】一、利用對(duì)頂角相等進(jìn)行相關(guān)計(jì)算例1、如圖,直線,相交于點(diǎn),如果,那么是()A. B. C. D.【答案】A【提示】根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠1,再根據(jù)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于180°列式計(jì)算即可得解.【詳解】解:∵∠1+∠2=60°,∠1=∠2(對(duì)頂角相等),
∴∠1=30°,
∵∠1與∠3互為鄰補(bǔ)角,
∴∠3=180°?∠1=180°?30°=150°.
故選:A.【題型】二、利用鄰補(bǔ)角相等求角的度數(shù)例2、如圖,直線,相交于點(diǎn),,垂足為點(diǎn).若,則的度數(shù)為()A. B. C. D.【答案】B【提示】已知,,根據(jù)鄰補(bǔ)角定義即可求出的度數(shù).【詳解】∵∴∵∴故選:B【題型】三、平行線的性質(zhì)與判定例3、如圖,平行線,被直線所截.若,則的度數(shù)為()A. B. C. D.【答案】A【分析】直接利用平行線的性質(zhì)得出答案.【詳解】解:∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°∵,∴∠2=75°,故選:A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì),正確掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【題型】四、利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算例4、如圖,直線于點(diǎn),若,則的度數(shù)是()A.120° B.100° C.150° D.160°【答案】C【提示】延長AE,與DC的延長線交于點(diǎn)F,根據(jù)平行線的性質(zhì),求出∠AFC的度數(shù),再利用外角的性質(zhì)求出∠ECF,從而求出∠ECD.【詳解】解:延長AE,與DC的延長線交于點(diǎn)F,∵AB∥CD,∴∠A+∠AFC=180°,∵,∴∠AFC=60°,∵AE⊥CE,∴∠AEC=90°,而∠AEC=∠AFC+∠ECF,∴∠ECF=∠AEC-∠F=30°,∴∠ECD=180°-30°=150°,故選:C.【題型】五、平行線性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用例5、如圖,直線分別與直線,交于點(diǎn),.平分,平分,且∥.求證:∥.【答案】證明見解析.【提示】先根據(jù)角平分線的定義可得,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,從而可得,然后根據(jù)平行線的判定即可得證.【詳解】平分,平分,即.【題型】六、求平行線間的距離例6、如圖,直線∥,△ABC的面積為10,則△DBC的面積()A.大于10 B.小于10 C.等于10 D.不確定【答案】C【提示】根據(jù)等底同高的三角形面積相等即可解題.【詳解】∵平行線之間的距離是相等的,,∴以BC為底邊的三角形△ABC和△DBC等底同高,∴△DBC的面積等于△ABC的面積等于10,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積,屬于簡單題,明確等底同高的三角形面積相等是解題關(guān)鍵.相交線與平行線(達(dá)標(biāo)訓(xùn)練)一、單選題1.如圖,直線,,,則∠3的度數(shù)等于(
)A.40° B.60° C.80° D.100【答案】D【分析】由兩直線平行,同位角相等得到∠4=50°,再根據(jù)平角的定義即可得解.【詳解】解:如圖,∵直線,,∴∠4=∠1=50°,∵∠2=30°,∴∠3=180°-∠2-∠4=180°-30°-50°=100°,故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì),熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.2.如圖,能判定的條件是()A. B. C. D.【答案】D【分析】直接根據(jù)平行線的判定定理對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析即可.【詳解】解:A、∵和不是同位角,∴不能判定任何直線平行,故此選項(xiàng)不符合題意;B、∵和不是內(nèi)錯(cuò)角,∴不能判定任何直線平行,故此選項(xiàng)不符合題意;C、∵和不是同位角,∴不能判定任何直線平行,故此選項(xiàng)不符合題意;D、∵和是內(nèi)錯(cuò)角,∴當(dāng)時(shí)能判定,故此選項(xiàng)符合題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定.正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵,只有同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)才能判斷兩直線平行.3.如圖,若,,則∠1的度數(shù)為(
)A.110° B.100° C.80° D.70°【答案】D【分析】先證明再利用鄰補(bǔ)角的含義可得答案.【詳解】解:如圖,,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì),鄰補(bǔ)角的定義,掌握“平行線的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵.4.三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手.將一對(duì)直角三角板如圖放置,點(diǎn)C在FD的延長線上,點(diǎn)B在ED上,,,,,則的度數(shù)是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180o求出∠ABC和∠EDF的度數(shù),再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABD=∠EDF,利用角的和差即可求出∠CBD的度數(shù).【詳解】∵△ABC中,∠ACB=90o,∠A=60o,∴∠ABC=180o-90o-60o=30o.∵△DEF中,∠F=90o,∠E=45o,∴∠EDF=180o-90o-45o=45o.∵AB∥CF,∴∠ABD=∠EDF=45o.∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=45o-30o=15o.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì),掌握三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.5.如圖,,,若,則的度數(shù)為()A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可.【詳解】解:如圖:,,∵,,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì),熟知兩直線平行,同位角相等;三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解本題的關(guān)鍵.二、填空題6.如圖,直線a與b相交,,______.【答案】60°##60度【分析】先根據(jù)∠1=∠2,∠1+∠2=240°,求出∠1的度數(shù),再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求解即可.【詳解】解:∵∠·1+∠2=240°,∠1=∠2,∴∠1=∠2=120°,∴∠3=180°-∠1=60°,故答案為:60°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角相等,鄰補(bǔ)角互補(bǔ),正確求出∠1的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.7.如圖,已知射線平分,點(diǎn)是上一點(diǎn),且交于點(diǎn),若,則的度數(shù)為______.【答案】56°##56度【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì),可得,,再根據(jù)角平分線的定義,即可得到,即可得出.【詳解】解:,,,,又平分,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的定義,解決問題的關(guān)鍵是掌握:兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.三、解答題8.如圖,在△ABC中,,D,E分別是邊BC,CA上的點(diǎn),.(1)求∠BDE的大小;(2)交AB于點(diǎn)F,若DF平分∠BDE,求∠A的大?。敬鸢浮?1);(2)【分析】(1)先證明,利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解;(2)先求出,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.(1)∵,∴,∴,∵,∴;(2)∵DF平分∠BDE∴,又∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)與判定,解題的關(guān)鍵是熟知同位角相等,兩直線平行.相交線與平行線(提升測評(píng))一、單選題1.如圖,已知ABCD,EB交CD于F,∠DFE=135°,則∠ABE的度數(shù)為(
)A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】B【分析】先根據(jù)兩角互補(bǔ)的性質(zhì)得出∠CFE的度數(shù),再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】解:∵∠DFE=135°,∴∠CFE=180°-135°=45°,∵ABCD,∴∠ABE=∠CFE=45°.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì),掌握兩直線平行,同位角相等是解題關(guān)鍵.2.如圖,直線ab,將一個(gè)含30°角的三角尺按如圖所示的位置放置,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為(
)A.150° B.140° C.130° D.120°【答案】B【分析】由題意得∠CAD=90°,∠C=30°,從而求得∠CAE=70°,由平行線的性質(zhì)得∠CBF=∠CAE=70°,利用三角形的外角性質(zhì)求得∠CHB=40°,從而可求∠2的度數(shù).【詳解】解:如圖,由題意得:∠CAD=90°,∠C=30°,∵∠1=20°,∴∠CAE=180°-∠CAD-∠1=70°,∵ab,∴∠CBF=∠CAE=70°,∵∠CBF是△CBH的外角,∴∠CHB=∠CBF-∠C=40°,∴∠2=180°-∠CHB=140°.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì),解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì):兩直線平行,同位角相等.3.如圖,直線a、b被直線c所截,若,,則∠2的度數(shù)是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)求得,然后再根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等即可解答.【詳解】解:如圖:∵,,∴,∵,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了鄰
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