中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題31 平移與旋轉(zhuǎn)（解析版）

專題31平移與旋轉(zhuǎn)【考查題型】【知識要點(diǎn)】平移的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動叫做平移變換。平移的性質(zhì)：1）平移前后的兩個(gè)圖形形狀和大小完全相同，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，平移前后兩個(gè)圖形的周長和面積相等。2）對應(yīng)線段（或?qū)?yīng)邊）平行(或在同一直線上)且相等。3）任意兩組對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等。旋轉(zhuǎn)的概念：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動一個(gè)角度，叫作圖形的旋轉(zhuǎn)?！狙a(bǔ)充說明】如圖所示，是繞定點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，其中點(diǎn)A與點(diǎn)A’叫作對應(yīng)點(diǎn)，線段OB與線段叫作對應(yīng)線段，與叫作對應(yīng)角，點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心，（或）的度數(shù)叫作旋轉(zhuǎn)的角度。【注意】1)圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)的角度所決定.2)旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形內(nèi)，也可以是圖形外?！緢D形旋轉(zhuǎn)的三要素】旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)的特征：1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（例：OA與OA’）；2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角(∠AOA’=∠BOB’=45°)；3）旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等（△ABO≌△A’B’O）。旋轉(zhuǎn)作圖的步驟方法：1)確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；2）找出圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)；3）連接圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖的順序連接這些對應(yīng)點(diǎn)，即得旋轉(zhuǎn)后的圖形。平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱之間的關(guān)系：聯(lián)系變化后不改變圖形的大小和形狀，對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。區(qū)別變化方式

不同平移：將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動一定距離。

旋轉(zhuǎn)：將一個(gè)圖形繞一個(gè)頂點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)一定角度。

軸對稱：將一個(gè)圖形沿一條直線對折。對應(yīng)線段、對應(yīng)角之間的關(guān)系不同平移：變化前后對應(yīng)線段平行（或在一條直線上），對應(yīng)點(diǎn)連線平行（或在一條直線上），對應(yīng)角的兩邊平行（或在一條直線上）、方向一致。

旋轉(zhuǎn)：變化前后任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所稱的角都是旋轉(zhuǎn)角。

軸對稱：對應(yīng)線段或延長線如果相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上。確定條件

不同平移：距離與方向

旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)的三要素。

軸對稱：對稱軸考查題型一圖形的平移典例1．（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）2022北京冬殘奧會的會徽是以漢字“飛”為靈感來設(shè)計(jì)的，展現(xiàn)了運(yùn)動員不斷飛躍，超越自我，奮力拼搏，激勵(lì)世界的冬殘奧精神下列的四個(gè)圖中，能由如圖所示的會徽經(jīng)過平移得到的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平移的特點(diǎn)分析判斷即可．【詳解】根據(jù)題意，得不能由平移得到，故A不符合題意；不能由平移得到，故B不符合題意；不能由平移得到，故C不符合題意；能由平移得到，故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的特點(diǎn)，熟練掌握平移的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．變式1-1．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC沿BC方向平移后的得到△DEF，已知BC=5，EC=2，則平移的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意判斷BE的長就是平移的距離，利用已知條件求出BE即可．【詳解】因?yàn)檠谺C方向平移，點(diǎn)E是點(diǎn)B移動后的對應(yīng)點(diǎn)，所以BE的長等于平移的距離，由圖可知，點(diǎn)B、E、C在同一直線上，BC=5，EC=2，所以BE=BC-ED=5-2=3,故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平移，正確找出平移對應(yīng)點(diǎn)是求平移距離的關(guān)鍵．變式1-2．（2021·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國結(jié)”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如圖2，用2個(gè)相同的菱形放置，得到3個(gè)菱形．下面說法正確的是（

）A．用3個(gè)相同的菱形放置，最多能得到6個(gè)菱形B．用4個(gè)相同的菱形放置，最多能得到16個(gè)菱形C．用5個(gè)相同的菱形放置，最多能得到27個(gè)菱形D．用6個(gè)相同的菱形放置，最多能得到41個(gè)菱形【答案】B【分析】根據(jù)平移和大菱形的位置得出菱形的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定即可【詳解】如圖所示，用2個(gè)相同的菱形放置，最多能得到3個(gè)菱形；用3個(gè)相同的菱形放置，最多能得到8個(gè)菱形，用4個(gè)相同的菱形放置，最多能得到16個(gè)菱形，用5個(gè)相同的菱形放置，最多能得到29個(gè)菱形，用6個(gè)相同的菱形放置，最多能得到47個(gè)菱形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，菱形的判定，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．變式1-4．（2019·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）下列四個(gè)圖形中，可以由圖通過平移得到的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移不改變圖形的形狀和大小.根據(jù)原圖形可知平移后的圖形飛機(jī)頭向上，即可解題.【詳解】考查圖像的平移，平移前后的圖像的大小、形狀、方向是不變的，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的平移，牢固掌握平移的性質(zhì)即可解題.考查題型二利用平移的性質(zhì)求解典例2．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿對角線BD方向平移1cm得到正方形，形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)D，之間的距離為（

）A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm【答案】D【分析】先求出BD，再根據(jù)平移性質(zhì)求得=1cm，然后由求解即可．【詳解】解：由題意，BD=cm，由平移性質(zhì)得=1cm，∴點(diǎn)D，之間的距離為==（）cm，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平移性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，熟練掌握平移性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．變式2-1．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點(diǎn)A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點(diǎn)對應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（

）A．96 B． C．192 D．【答案】B【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°，根據(jù)四邊形的面積為，即可求解．【詳解】解：依題意為平行四邊形，∵，，AB＝8，．∴平行四邊形的面積=故選B【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2-2．（2021·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿邊向右平移得到，交于點(diǎn)G．若．．則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性質(zhì)及已知條件即可求得△CEG的面積．【詳解】由平移的性質(zhì)可得：AD=BE，且AD∥BE∴△CEG∽△ADG∴即∵∴∴∵∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．變式2-3．（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿其對角線AC平移，使A的對應(yīng)點(diǎn)A′滿足AA′＝AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是_____．【答案】4【分析】由正方形邊長為3，可求AC＝3，則AA′＝AC＝，由平移可得重疊部分是正方形，根據(jù)正方形的面積公式可求重疊部分面積．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為3，∴AC＝3，∴AA′＝AC＝，∴A′C＝2，由題意可得重疊部分是正方形，∴重疊部分的正方形的邊長為，∴S重疊部分＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．變式2-4．（2022·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿著方向平移得到，只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形是菱形，這個(gè)條件可以是____________．（寫出一個(gè)即可）【答案】AB=BE（答案不唯一）【分析】由題目提供的條件可以得到四邊形是平行四邊形，再添加一個(gè)條件使其成為菱形即可．【詳解】解：添加AB=BE，∵將沿著方向平移得到，∴AB=DE，AB∥DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∵AB=BE，∴四邊形是菱形，故答案為：AB=BE（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、平移的性質(zhì)，證明四邊形ABED是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．變式2-5．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)處，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，則陰影部分的面積為______．【答案】【分析】設(shè)與扇形交于點(diǎn)，連接，解，求得，根據(jù)陰影部分的面積為，即可求解．【詳解】如圖，設(shè)與扇形交于點(diǎn)，連接，如圖是OB的中點(diǎn),OA＝2，＝90°，將扇形AOB沿OB方向平移，陰影部分的面積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，求扇形面積，平移的性質(zhì)，求得是解題的關(guān)鍵．變式2-6．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC的邊BC長為4cm．將△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，則陰影部分的面積為______．【答案】8【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由平移的性質(zhì)S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′，∴四邊形B′C′CB為平行四邊形，∵BB′⊥BC，∴四邊形B′C′CB為矩形，∵陰影部分的面積=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC=S矩形B′C′CB=4×2=8(cm2)．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和平移的性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．變式2-7．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．把沿方向平移，得到，連結(jié)，則四邊形的周長為_____．【答案】【分析】通過勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函數(shù)，分別計(jì)算出四邊形的四條邊長，再計(jì)算出周長即可．【詳解】解：∵，∴AB=2BC=4，∴AC=，∵把沿方向平移，得到，∴，，，∴四邊形的周長為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函數(shù)，能夠熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．考查題型三平移（作圖）典例3．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．將平移后得到，且點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是．(1)點(diǎn)A、之間的距離是__________；(2)請?jiān)趫D中畫出．【答案】(1)4(2)見解析【分析】（1）由得，A、之間的距離是2-（-2）=4；（2）根據(jù)題意找出平移規(guī)律，求出，進(jìn)而畫圖即可．【詳解】（1）解：由得，A、之間的距離是2-（-2）=4．故答案為：4．（2）解：由題意，得，如圖，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離求解以及平移求點(diǎn)坐標(biāo)畫圖，題目相對較簡單，掌握平移規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．變式3-1．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的方格紙中，已知格點(diǎn)P，請按要求畫格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．(1)在圖1中畫一個(gè)銳角三角形，使P為其中一邊的中點(diǎn)，再畫出該三角形向右平移2個(gè)單位后的圖形．(2)在圖2中畫一個(gè)以P為一個(gè)頂點(diǎn)的鈍角三角形，使三邊長都不相等，再畫出該三角形繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意畫出合適的圖形即可，注意本題答案不唯一，主要作出的圖形符合題意即可；（2）根據(jù)題意畫出合適的圖形即可，注意本題答案不唯一，主要作出的圖形符合題意即可．【詳解】（1）畫法不唯一，如圖1或圖2等．（2）畫法不唯一，如圖3或圖4等．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換、作圖—平移變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，注意不要忘記畫出平移后或旋轉(zhuǎn)后的圖形．考查題型四平移的坐標(biāo)變化規(guī)律典例4．（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)向右平移兩個(gè)單位后，得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平移時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律“左減右加”進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，從點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是，故點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化和平移之間的聯(lián)系，平移時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律是“上加下減，左減右加”．變式4-1．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，將線段向右平移4個(gè)單位長度，得到線段，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是_______．【答案】【分析】由將線段向右平移4個(gè)單位長度，可得點(diǎn)A向右邊平移了4個(gè)單位與C對應(yīng)，再利用“右移加”即可得到答案．【詳解】解：∵將線段向右平移4個(gè)單位長度，∴點(diǎn)A向右邊平移了4個(gè)單位與C對應(yīng)，∴即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的坐標(biāo)變化規(guī)律，熟記“右移加，左移減，上移加，下移減”是解本題的關(guān)鍵．變式4-2．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點(diǎn)A（﹣3，4）的對應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），則點(diǎn)B（﹣4，2）的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是________．【答案】（1，3）【分析】根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)的坐標(biāo)可得出平移規(guī)律，從而進(jìn)一步可得出結(jié)論．【詳解】解：∵頂點(diǎn)A（﹣3，4）的對應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），又∴平移至的規(guī)律為：將向右平移5個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位即可得到∵B（﹣4，2）∴的坐標(biāo)是（-4+5，2+1），即（1，3）故答案為：（1，3）【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，正確找出平移規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．變式4-3．（2021·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，則的坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】先由點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的方法得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再根據(jù)點(diǎn)的平移可進(jìn)行求解．【詳解】解：由點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為可得：，∴將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，則的坐標(biāo)為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)平移及對稱，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)平移及對稱是解題的關(guān)鍵．變式4-4．（2021·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，水平向左平移1個(gè)單位長度，再豎直向下平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)；接著水平向右平移2個(gè)單位長度，再豎直向上平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)；接著水平向左平移3個(gè)單位長度，再豎直向下平移3個(gè)單位長度得到點(diǎn)；接著水平向右平移4個(gè)單位長度，再豎直向上平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．【答案】【分析】先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的平移變換規(guī)律求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再歸納類推出一般規(guī)律即可得．【詳解】解：由題意得：，即，，即，，即，，即，觀察可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，歸納類推得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為正整數(shù)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的平移變換規(guī)律、點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．考查題型五利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解典例5．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)恰好落在邊上，則點(diǎn)A到直線的距離等于（

）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】如圖，過作于求解結(jié)合旋轉(zhuǎn)：證明∠B=∠A'B'C=60°,BC=B'【詳解】解：如圖，過作于由，結(jié)合旋轉(zhuǎn)：∴∠B=∴△B∴∠BC∴∠A∴AQ=AC∴A到的距離為3．故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．變式5-1．（2022·寧夏·中考真題）如圖，直線，的邊在直線上，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，邊交直線于點(diǎn)，則______．【答案】50【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再由平角的定義求出的度數(shù)，即可利用平行線的性質(zhì)得到答案．【詳解】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，∵∠AOB=55°，∴，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同位角相等和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式5-2．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)到的距離是______．【答案】2【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，是等邊三角形，，，，，，點(diǎn)到的距離是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式5-3．（2021·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖所示的圖案由三個(gè)葉片組成，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120°后可以和自身重合，若每個(gè)葉片的面積為4cm2，∠AOB=120°，則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】4cm2【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圖形的特點(diǎn)解答．【詳解】每個(gè)葉片的面積為4cm2，因而圖形的面積是12cm2．∵圖案繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120°后可以和自身重合，∠AOB為120°，∴圖形中陰影部分的面積是圖形的面積的，因而圖中陰影部分的面積之和為4cm2．故答案為4cm2．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與重合，理解旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義是解決本題的關(guān)鍵．注：旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．變式5-4．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；(2)延長ED交直線BC于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)①；②，理由見解析【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到，再由全等三角形的性質(zhì)求解；（2）①根據(jù)線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到得到是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來求解；②過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接AF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到，，進(jìn)而得到，進(jìn)而求出，結(jié)合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性質(zhì)求解．（1）解：．證明：∵是等邊三角形，∴，．∵線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，即．在和中，∴，∴；（2）解：①理由：∵線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴是等邊三角形，∴，由（1）得，∴；②過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接AF，如下圖．∵是等邊三角形，，∴，∴．∵是等邊三角形，點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，，∴，即是等腰直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵．變式5-5．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考中考真題）在中，，線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至（不與重合），旋轉(zhuǎn)角記為，的平分線與射線相交于點(diǎn)E，連接．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是_____________；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求證：；(3)當(dāng)時(shí)，請直接寫出的值．【答案】(1)(2)見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算的角度，再由，是的平分線可知，由三角形外角的性質(zhì)，通過即可得出答案；（2）延長到F，使，連接，先證明，可推導(dǎo)、、，再由已知條件及等腰三角形的性質(zhì)推導(dǎo)，然后證明，推導(dǎo)，在中，由三角函數(shù)可計(jì)算，即可證明；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，借助（2）可知，再求的值即可；②當(dāng)時(shí)，在線段BD上取點(diǎn)F，使得，結(jié)合（2）中，可知、，易證明，可推導(dǎo)、、，，在中，由三角函數(shù)可計(jì)算，即可推導(dǎo)，再求的值即可．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)可知，，當(dāng)時(shí)，可知，∵，是的平分線，∴，∴．故答案為：；（2）證明：延長到F，使，連接．∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∴，在中，，∵，∴，∵，∴；（3）①當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，，∴，當(dāng)時(shí)，可知，∴；②當(dāng)時(shí)，如下圖，在線段BD上取點(diǎn)F，使得，由（2）可知，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，可知，∴．綜上所述，當(dāng)時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)解直角三角形的知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并通過作輔助線構(gòu)建全等三角形．變式5-6．（2022·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫出線段AN的長．【答案】（1）四邊形AMDN為矩形；理由見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由三角形中位線定理得到，證明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可證明結(jié)論；（2）證明△NDC是等腰三角形，過點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，證明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長ND，使DH=DN，證明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，證明∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．【詳解】解：（1）四邊形AMDN為矩形．理由如下：∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四邊形AMDN為矩形；（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，∴∠B+∠C=90°，．∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°．∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．過點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，則∠CGN=90°．∴CG=CD=．∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴，即，∴；（3）延長ND至H，使DH=DN，連接MH，NM，BH，∵M(jìn)D⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=DC，又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C，∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，則BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴線段AN的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第（3）問的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．變式5-7．（2021·貴州黔西·中考真題）如圖1，D為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE，BD的延長線與AC交于點(diǎn)G，與CE交于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CE；（2）如圖2，連接FA，小穎對該圖形進(jìn)行探究，得出結(jié)論：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小穎的結(jié)論是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由．【答案】（1）見解析；（3）正確，見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AE，∠DAE＝60°，結(jié)合已知條件可得∠BAC＝∠DAE，進(jìn)而證明△ABD≌△ACE，即可證明BD＝CE；（2）過A作BD，CF的垂線段分別交于點(diǎn)M，N，△ABD≌△ACE，BD＝CE，由面積相等可得AM＝AN，證明Rt△AFM≌Rt△AFN，進(jìn)而證明∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°【詳解】解：證明：（1）如圖1，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，（2）由（1）可知△ABD≌△ACE則∠ABD＝∠ACE，又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝120°，過A作BD，CF的垂線段分別交于點(diǎn)M，N，又∵△ABD≌△ACE，BD＝CE，∴由面積相等可得AM＝AN，在Rt△AFM和Rt△AFN中，，∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），∴∠AFM＝∠AFN，∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的添加輔助線找到全等三角形并證明是解題的關(guān)鍵．變式5-8．（2021·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）將一物體（視為邊長為米的正方形）從地面上挪到貨車車廂內(nèi)．如圖所示，剛開始點(diǎn)與斜面上的點(diǎn)重合，先將該物體繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至正方形的位置，再將其沿方向平移至正方形的位置（此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合），最后將物體移到車廂平臺面上．已知，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，米，米．（1）求線段的長度；（2）求在此過程中點(diǎn)運(yùn)動至點(diǎn)所經(jīng)過的路程．【答案】（1）米；（2）4米．【分析】（1）利用直角三角形FGH即可求解；（2）連接A1A2，則必過點(diǎn)D1，分別求出A1A2和的長，即可求出點(diǎn)A經(jīng)過的路程．【詳解】解：（1）∵M(jìn)G∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在中，（米）．（2）連接A1A2，則必過點(diǎn)D1，且四邊形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．∵四邊形ABCD和四邊形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴（米）．∴在整個(gè)運(yùn)動過程中，點(diǎn)A運(yùn)動至A2的路程為：（米）．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)、平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟知旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型六旋轉(zhuǎn)（作圖）典例6．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的方格紙格長為一個(gè)單位長度）中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)將沿軸向左平移5個(gè)單位，畫出平移后的△（不寫作法，但要標(biāo)出頂點(diǎn)字母）；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的△（不寫作法，但要標(biāo)出頂點(diǎn)字母）；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點(diǎn)，，即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點(diǎn)，，即可；（3）利用弧長公式求解即可．（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，(即△A2OB2）即為所求；（3）解：在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，勾股定理、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．變式6-1．（2020·遼寧阜新·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）畫出與關(guān)于y軸對稱的；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，弧是點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為___________．（3）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和性質(zhì)的性質(zhì)，作AA2和CC2的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為點(diǎn)；（3）結(jié)合圖形的特征，利用勾股定理求出旋轉(zhuǎn)半徑，利用扇形面積和三角形面積求出陰影部分的面積．【詳解】（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（2）如圖所示，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（3）如圖：設(shè)旋轉(zhuǎn)半徑為r，則，∴陰影部分的圖形面積為：【點(diǎn)晴】本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，以及陰影部分面積的計(jì)算．熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)、勾股定理、圖形變換的性質(zhì)及圖形面積公式是解題的關(guān)鍵．變式6-2．（2020·湖北武漢·中考真題）在的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，并回答問題：（1）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出對應(yīng)線段；（2）在線段上畫點(diǎn)，使（保留畫圖過程的痕跡）；（3）連接，畫點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，并簡要說明畫法．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)題意，將線段是將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)即可；（2）連接BD，并連接（4,2），（5,5）點(diǎn)，兩線段的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)E.（3）連接（5,0）和（0,5）點(diǎn)，與AC的交點(diǎn)為F,且F為所求.【詳解】解：（1）如圖示，線段是將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的；（2）∠BCE為所求的角，點(diǎn)E為所求的點(diǎn).（3）連接（5,0）和（0,5）點(diǎn)，與AC的交點(diǎn)為F,且F為所求.【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型七旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律典例7．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，將先向右平移3個(gè)單位，再繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先畫出平移后的圖形，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形即可求解．【詳解】解：先畫出△ABC平移后的△DEF，再利用旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C'，由圖像可知A'（-1，-3），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，解題關(guān)鍵是掌握繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的圖形的坐標(biāo)特點(diǎn)，即對應(yīng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．變式7-1．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，線段繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°作出，過A作軸，垂足為B，過作軸，垂足為，證明，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)為，寫出，，則，，即可寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°作出，過A作軸，垂足為B，過作軸，垂足為，∴，，∵，，∴，∴，∴，，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，∴，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明是解答本題的關(guān)鍵．變式7-2．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，軸，交y軸于點(diǎn)P．將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)4次一個(gè)循環(huán)，推出經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A的坐標(biāo)即可．【詳解】解：正六邊形ABCDEF邊長為2，中心與原點(diǎn)O重合，軸，∴AP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，∴OP＝＝，∴A（1，），第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，-1）；第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，）；第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1）；第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）；∵將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，∴4次一個(gè)循環(huán)，∵2022÷4＝505……2，∴經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，），故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．變式7-3．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C、E在y軸上，Rt△ABC經(jīng)過變換得到Rt△ODE，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，AC=2，則這種變換可以是（

）A．△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3B．△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1C．△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1D．△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3【答案】A【詳解】根據(jù)圖形可以看出，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個(gè)單位可以得到△ODE．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與圖形變化-平移．掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式7-4．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為2的正六邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)，得到正六邊形，當(dāng)時(shí)，正六邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由于正六邊形每次轉(zhuǎn)45°，根據(jù)，則的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，求得的坐標(biāo)即可求解．【詳解】解：將邊長為2的正六邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)，當(dāng)時(shí)，則的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，則如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)軸于點(diǎn)，，，，，正六邊形的一個(gè)外角，，，，，，，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正六邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，內(nèi)角和，求得的位置是解題的關(guān)鍵．變式7-5．（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，將△AOB繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（

）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）【答案】C【分析】先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換中，坐標(biāo)的變換特征求解；或根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)．【詳解】過點(diǎn)A作于點(diǎn)C．在Rt△AOC中，．在Rt△ABC中，．∴．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，∴．∴．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是．根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，如圖，∴將△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為；將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′′的坐標(biāo)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)的坐標(biāo)變換特征及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（a，b）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（b，-a），繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（－b，a）．變式7-6．（2021·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊如圖放置，點(diǎn)的坐標(biāo)為，每一次將繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，…，依次類推，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，點(diǎn)A每6次繞原點(diǎn)循環(huán)一周，利用每邊擴(kuò)大為原來的2倍即可解決問題．【詳解】解：由題意，點(diǎn)A每6次繞原點(diǎn)循環(huán)一周，，點(diǎn)在第四象限，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．變式7-7．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，將頂點(diǎn)D（1，0）繞點(diǎn)A（0，1）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D1，再將D1繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D2，再將D2繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D3，再將D3繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D4，再將D4繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D5……依此類推，則點(diǎn)D2022的坐標(biāo)是________．【答案】（-2023，2022）【分析】由題意觀察發(fā)現(xiàn)：每四個(gè)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，，由，推出．【詳解】解：將頂點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，，，，，，觀察發(fā)現(xiàn)：每四個(gè)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形性質(zhì)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，找到規(guī)律再利用規(guī)律求解．考查題型八旋轉(zhuǎn)綜合題（與線段有關(guān)）典例8．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為_____．【答案】【分析】如圖，由EG＝2，確定在以G為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動，連接AE，再證明（SAS），可得可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，則最短，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，由EG＝2，可得在以G為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動，連接AE，∵正方形ABCD，∴AD=CD,∴∠∴∠ADE=∵DE=DF，∴（SAS），∴∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，則最短，∵位BC中點(diǎn)，∴此時(shí)此時(shí)所以CF的最小值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡，熟練的利用圓的基本性質(zhì)求解線段的最小值是解本題的關(guān)鍵．變式8-1．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，P為EF中點(diǎn)，連接AF，G為AF中點(diǎn)，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，DG與PG的關(guān)系為；(2)如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)①求證：△AGD≌△FGM；②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【答案】(1)且(2)①見解析；②成立，理由見解析【分析】（1）先判斷出，得出，，再用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理、三角形外角和定理，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；②由①知，，得，得出，根據(jù)題（1），得出，得，得．又根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，等量代換得．根據(jù)得，且，推出，又根據(jù)，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得，即．（1）解：∵四邊形ABCD是正方形∴，∵為等腰直角三角形∴∴CE＝CF，∴∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)∴∴∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)∴是的中位線∴，∴，又∵在中∴且∴∵∴∴∴∴故且．故答案是：DG=PG且DG⊥GP；（2）①證明：∵四邊形是正方形，∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)∴∴在和中∴解：②（1）中的結(jié)論且成立證明：由①知，∴，∴∴∵∴又∵，∴∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)∴又∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)∴是的中位線∴，∴又∵∴∴∴又∵∴∴∴故且．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是全等三角形性質(zhì)，三角形中位線定理，等量代換的轉(zhuǎn)換運(yùn)用．變式8-2．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求的長；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，試探究的最小值．【答案】(1)見詳解(2)或(3)【分析】（1）證明即可得證．（2）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，借助，在中求解；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AC于點(diǎn)H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分別討論當(dāng)點(diǎn)E在BC和CD上時(shí)，點(diǎn)F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比較取最小即可．（1）如圖所示，由題意可知，，，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AF，在和中，，，．（2）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，在中，，，則，在中，，，則，由（1）可得，，在中，，，則，當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AC于點(diǎn)H，同（1）可得，，由勾股定理得；故CF的長為或．（3）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，由（1）知，，故點(diǎn)F在射線MF上運(yùn)動，且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，DH的值最?。谂c中，，，，即，，，，在與中，，，，即，，故的最小值；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，得到線段AR，連接FR，過點(diǎn)D作，，由題意可知，，在與中，，，，故點(diǎn)F在RF上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)K重合時(shí)，DF的值最?。挥捎?，，，故四邊形DQRK是矩形；，，，，故此時(shí)DF的最小值為；由于，故DF的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是各性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用．考查題型九旋轉(zhuǎn)綜合題（與面積有關(guān)）典例9．（2022·寧夏·中考真題）綜合與實(shí)踐知識再現(xiàn)如圖，中，，分別以、、為邊向外作的正方形的面積為、、．當(dāng)，時(shí)，______．問題探究如圖，中，．（1）如圖，分別以、、為邊向外作的等腰直角三角形的面積為、、，則、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖，分別以、、為邊向外作的等邊三角形的面積為、、，試猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．實(shí)踐應(yīng)用（1）如圖，將圖中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至，、相交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖，分別以圖中的邊、、為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，、、為直徑的半圓柱的體積分別為、、．若，柱體的高，直接寫出的值．【答案】知識再現(xiàn)；問題探究：（1）；（2）；理由見解析；實(shí)踐應(yīng)用：（1）見解析；（2）．【分析】知識再現(xiàn)：利用勾股定理和正方形的面積公式可求解；問題探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面積公式可求解；(2)過點(diǎn)D作DG⊥BC交于G，分別求出，，，由勾股定理可得，即可求S4+S5=S6；實(shí)踐應(yīng)用：(1)設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，則HN=a+b-c，F(xiàn)G=c-a，MF=c-b，可證明△HNP是等邊三角形，四邊形MFGP是平行四邊形，則，，再由，可證明．(2)設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，以AB為直徑的圓的面積為S3、以BC為直徑的圓的面積為S1、以AC為直徑的圓的面積為S2，可得S1+S2=S3，又由，即可求．【詳解】知識再現(xiàn)：解：中，，，，，，，故答案為：；問題探究：解：中，，，，，故答案為：；解：中，，，過點(diǎn)作交于，在等邊三角形中，，，，，同理可得，，，；實(shí)踐應(yīng)用：證明：設(shè)，，，，，，是等邊三角形，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，，，是直角三角形，，，；解：設(shè)，，，以為直徑的圓的面積為、以為直徑的圓的面積為、以為直徑的圓的面積為，是直角三角形，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，圓柱的體積，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式9-1．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）問