2021屆高考數(shù)學(xué)考前30天沖刺模擬卷四

考前30天沖刺高考模擬考試卷(4)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合人={-3,-2,-1,23},B={x|(x+3)(x-2)<0},WJ=(

)

A.(—3,—2，—1,2}B.{-2,-1,2)

C.{-2,-1}D.{—2,-1,2,3)

2.(5分)若復(fù)數(shù)z=(l-2i)2,則|l-z|=()

A.20B.2y/5C.32D.4>/2

3.(5分)“a,b,c成等比數(shù)列"是“力，b2,0?成等比數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.(5分)函數(shù)/(x)=x+色區(qū)的圖象大致為()

X

5.(5分)將函數(shù)/(x)=2sinxcosx-cos2x的圖象向左平移。個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的

圖象，則下列結(jié)論正確的是

()

A.函數(shù)g(x)的最小正周期為2萬(wàn)

B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=A對(duì)稱

C.函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（二,0）對(duì)稱

4

D.函數(shù)g（x）在區(qū)間［-（,（）］上單調(diào)遞增

6.（5分）趙州橋始建于隋代，是一座位于河北省石家莊市趙縣城南汶河之上的石拱橋，由

匠師李春設(shè)計(jì)建造，距今已有1400余年的歷史.趙州橋的橋拱的跨度為37.7米，拱矢（拱

頂至石拱兩腳連線的高度）為7.23米.設(shè)拱?。僭O(shè)橋拱的曲線是圓?。┑陌霃綖镽米，r

22

為A精確到整數(shù)部分的近似值.已知雙曲線C:二-工=1（〃>0）的焦距為r,則C的離心

a2192

率為（）（參考數(shù)據(jù)：7.232+18.852=407.6）

A.5B.6C.7D.8

7.（5分）己知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/（x）滿足r（x）+/（x）>0,令a="：r）（meR）,

b=f（1）,則有（）

A.a..bB.a>bC.《，bD.a<b

8.（5分）拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P（x,y）為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)

線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則咧的最大值是（）

|尸尸|

A.2B.6C.—D.—

32

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的對(duì)2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.（5分）關(guān)于圓C:d+y2-日+2y+142-%+i=o,下列說法正確的是（）

4

A.A的取值范圍是人>0

B.若左=4,過M（3,4）的直線與圓C相交所得弦長(zhǎng)為26，其方程為12x-5y-16=0

C.若4=4,圓C與Y+y2=i相交

12

D.若％=4,m>0,〃>0,直線，nr--1=0恒過圓C的圓心，則一十—..8恒成立

mn

10.已知P為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列正確的是（）

A.若胡+3而+2斤=0,則點(diǎn)「在乙48。的中位線上

B.若陽(yáng)+而+定=0,則P為A48C的重心

C.若麗?近>0,則A48C為銳角三角形

__?7

D.若麗=-而+—/，則入鉆。與443尸的面積比為3:2

33

11.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?.若三”>0使得Vxw/均有|/（x）|<M,且函數(shù)f（x+l）是偶函

數(shù)，則/（幻可以是（）

X,71

A.f(x)=\ln--|B.f\x)=sin(—x)+cos(2乃x)

2-x

OQRQ

C./(x)=———-D.f(x)=

2*+24l,xeQ

12.（5分）將邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。沿對(duì)角線如折成直二面角A-3￡）-C,點(diǎn)P為線

段4）上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.異面直線AC與5D所成的角為60。

B.AACQ是等邊三角形

C.ABCP面積的最小值為亞

3

D.四面體MC￡>的外接球的表面積為81

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）8名志愿者到2個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每個(gè)小區(qū)安排4名志愿者，則不

同的安排方法共有一種.

14.（5分）寫出一個(gè)關(guān)于“與人的等式，使之+=是一個(gè)變量，且它的最小值為16,則該

a2b2

等式為—.

22

15.（5分）已知橢圓￡:，+當(dāng)=l（a>b>0）的右頂點(diǎn)為P,右焦點(diǎn)F與拋物線G的焦點(diǎn)

a"b"

重合，G的頂點(diǎn)與a的中心O重合.若G與G相交于點(diǎn)A，B,且四邊形。4依為菱形,

則G的離心率為.

16.（5分）某市為表彰在脫貧攻堅(jiān)工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位，制作了一批獎(jiǎng)杯，獎(jiǎng)

杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形。48的半徑為10,NPB4=NQAB=60。，AQ=QP=PB,

若按此方案設(shè)計(jì)，工藝制造廠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP最長(zhǎng)時(shí)，該獎(jiǎng)杯比較美觀，此時(shí).

()

op

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)在①3S“+1=S,,+1,②S"+a“=l；③q=l,。，向=2S“+1這三個(gè)條件

中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.

已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為5,,,且滿足一.

(1)求｛七｝的通項(xiàng)公式；

(2)求4%+%。5+%%+的值.

18.(12分)如圖，在AABC中，ABLAC,AB=AC=2,點(diǎn)￡,尸是線段5c(含端點(diǎn))

上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)石在點(diǎn)廠的右下方，在運(yùn)動(dòng)的過程中，始終保持/"尸=工不變，設(shè)

4

=6弧度.

(1)寫出e的取值范圍，并分別求線段小，A尸關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求AE4F面積S的最小值.

19.(12分)如圖，在底面為矩形的四棱錐P-ABCZ)中，A4_L底面ABCD,E,尸分別

為側(cè)棱尸￡),總的中點(diǎn)，S.PA^AD=2AB=4.

(1)證明：平面AEF_L平面PCD.

(2)若PC是平面a的一個(gè)法向量，求a與平面A砂所成銳二面角的余弦值.

■H

20.（12分）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，每場(chǎng)比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3

局即獲勝，比賽結(jié)束）.比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3:0或3:1取勝

的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；以3:2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分，已知甲、乙兩隊(duì)比賽,

中每局獲勝的概率為2.

3

（1）甲、乙兩隊(duì)比賽1場(chǎng)后，求甲隊(duì)的積分X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）甲、乙兩隊(duì)比賽2場(chǎng)后，求兩隊(duì)積分相等的概率.

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C:\+￡=l（a>b>0）的離心率為且，右焦

a'b'2

點(diǎn)為F2,上頂點(diǎn)為A,，點(diǎn)P（a,b）到直線F2\的距離等于1.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線/:y=fcr+加（機(jī)>0）與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，直線DE,DF分

別與圓卬:/+（>_3M2=加相切于點(diǎn)E,F,求NEWF的最小值.

22.（12分）已知函數(shù)f（x）=f—2（aeR）.

sinx

⑴若曲線尸/（X）在點(diǎn)吟，嗎））處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)“；

（2）當(dāng)a>0時(shí)，判斷函數(shù)/3）在工￡（0,萬(wàn)）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

考前30天沖刺高考模擬考試卷（4）答案

1.解：?.?集合A={-3,-2,-1,2,3},

B={x［（x+3）（x-2）<0}={x|-3<x<2},

AQB={-2,-1}.

故選：C.

2.解：由題設(shè)知：z=(l-2i)2=1-4-4/=-3-4/,

二1-z=4+47，11—z|=《4。+4?=4^/2,

故選：D.

3.解：若a,b,c成等比數(shù)列，則從=ac,

此時(shí)a2c2=(ac)2=",則/,/成等比數(shù)列，即充分性成立，

反之當(dāng)a=l,b=\,c=-l時(shí)滿足/,b2,02成等比數(shù)列，但a,b,c不成等比數(shù)列，

即必要性不成立，

即“a,b,c成等比數(shù)列”是廿,,?成等比數(shù)列”的充分不必要條件，

故選：A.

4.解：函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，所以8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又因?yàn)閒(1)=1>0,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又因?yàn)?(2)=2+㈣>0,所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

5.解：將函數(shù)/(x)=2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=JJsin(2x-5)的圖象向左平移？

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)=拒sin[2(x+§-個(gè)=點(diǎn)sin(2x+粉的圖象，

可得函數(shù)g(x)的最小正周期為7=1=不，故A錯(cuò)誤；

令x=3,求得g(3)=應(yīng)sin^|〈拒，故5錯(cuò)誤；

令工=工，求得g(代)=7^sin@*0,故C錯(cuò)誤；

4412

在上，2x+*(-；,*，可得g(x)=Ain(2x+粉的圖象單調(diào)遞增，故。正

確.

故選：D.

6.解:由題意知，R2=(?)2+(/?-7.23)2,

14.46/?=7.232+18.852?407.6,

28.19,

.-.r=28,

?.?a2+192=(-)2=142=196.

..47—2，

r

離心率e=2」=7

a2

故選：c.

7.解：設(shè)g(x)=e"(x),

-.?r(x)+/(x)>o,

g'(x)=e'(f\x)+f(x))>0

.??函數(shù)g(x)為R上的增函數(shù),

tn-m2=-(/m——L)+一1<1?，

24

g(/n-m2)<g(1),

即才-"(1),

./J”〉)

<f(1),即avb,

in'-tn+i

e

故選：D.

8.解：設(shè)直線E4的傾斜角為a,設(shè)PP垂直于準(zhǔn)線于P,

由拋物線的性質(zhì)可得IPPR尸產(chǎn)I，

所以則咧=也=,，

\PF\|PP|cos(9

當(dāng)cose最小時(shí)，則咧值最大,

\PF\

所以當(dāng)直線A4與拋物線相切時(shí)，6最大，即cos，最小,

由題意可得A(-1,O),

設(shè)切線PA的方程為：x=my,

x=my-1,整理可得>2_斬了+4=0,

y=4x

△=坨〃?？-16=0,可得加=±1,

將加=±1代入y?—4機(jī)>+4=0,可得y=±2,所以x=l,

即P的橫坐標(biāo)為1,即P的坐標(biāo)(1,±2),

所以1PAi=2五，|PP|=l-(-l)=2,

所以冊(cè)的最大值為：當(dāng)?shù)?

9.解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(X-勺2+(y+i)2=/,故A正確：

當(dāng)左=4時(shí)，圓C的圓心(2,-1),半徑為2,

對(duì)于選項(xiàng)8,當(dāng)直線為x=3時(shí)，該直線過點(diǎn)例，此時(shí)截得弦長(zhǎng)為2/，故選項(xiàng)8不正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,兩圓的圓心距為J(2-Op+(-1-0)2=石,

大于兩圓半徑之差的絕對(duì)值且小于兩圓半徑之和，故正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，易得2/%+/2-1=0,即26+九=1,m>0,n>0,

12z12s、.n.m

—i—=(—i—)(2租+〃)=4H-----F4—..8n,

mnmnmn

當(dāng)且僅當(dāng)e=4'，即"=2加=2時(shí)取等號(hào)，故正確.

mn2

故選：ACD.

10.解：設(shè)Afi中點(diǎn)。，BC中點(diǎn)E,

若西+3方+2無=0,則西+而+2(而+玩)=0,

所以2亦+4而=0,即所=-2而，

所以P為DE的三分點(diǎn)，A正確；

^PA+PB+PC=O,

貝IJ2所+定=0,

所以P在中線CO上且CP=2PZ),即P為三角形重心，B正確;

若麗.蔗＞0,則A為銳角，但不能確定3,C,故AABC不一定為銳角三角形，C錯(cuò)誤;

若衣=；荏+|/，則g(福_明+2(而一羽=6,

即麗+2元=6，

所以尸為BC上靠近C的三等分點(diǎn),

所以8P=2PC,

故2\/$。與4曲的面積比為3:2,。正確.

故選：ABD.

11.解：當(dāng)了—>0時(shí)，-...>0,則^^--->-oo,f(x)->-h?,/(x)無界，A錯(cuò)誤;

2—x2—x

/(x+l)=sin(—x+—)+cos(2^x+2兀)=cosyx+cos2兀x為偶函數(shù)，且|/(x+1)|2,B

正確;

因?yàn)?，>0,2+2*>2,

1

所以一V->

42+2、4

所以"(x)l＜；，存在符合題意的

1____

因?yàn)閥(x+i)=

2r+'+2-4

2X

f(—x+1)=-----------=

2-川+242+2v+14

2X11+2，1八

所以/(-x+l)+f(x+l)=c、/+cc-----=----------=(J

2,+l+242+2r142+22

故/(x+1)為奇函數(shù)，不符合題意;

fM=

因?yàn)?x+l與x+1要么都是有理數(shù)，要么都是無理數(shù)，

所以/(x+l)=/(_x+l),

故/(X+D為偶函數(shù)，符合題意.

故選：BD.

12.解：對(duì)于A,因?yàn)?O_LOA,BDVOC,OA^\OC=0,

所以3￡>_L平面AOC,ACu平面AOC,

所以3￡>_LAC,異面直線AC與89所成的角為90。，不是60。，所以A錯(cuò);

對(duì)于8,因?yàn)镺A=OC=(AC=J^,所以AC="(&)?+(曰=2,同理QC=2,

所的AACD是等邊三角形，所以8對(duì)；

對(duì)于C,因?yàn)?C=2,所以要求ABCP面積的最小值，

只須求邊上高的最小值，此最小值恰為異面直線相>與BC的距離，設(shè)為人，

因?yàn)锳D//3C,BCu平面BCC,AO0平面3CC,所以A。//平面3CC,

又因?yàn)?Cu平面BCC,所以直線4)到平面8CC距離即為/?,

即點(diǎn)。到平面BCC距離為/z,

因?yàn)椋?89=匕-4。，所以g，-22-sin60°/=gg"?應(yīng),解得"=半,

所以ABCP面積的最小值.也=亞，所以C對(duì)；

2233

對(duì)于。，四面體AfiCD的外接球的球心為O,半徑為R=應(yīng)，

所以表面積為4萬(wàn)7?2=阮，所以。對(duì).

故選：BCD.

13.解：由題意可得不同的安排方法共有C；屐=70,

故答案為：70.

14.解：該等式為〃+從=1,下面證明該等式符合條件.

4+卷=(-1+臺(tái)(。2+6)=1+9+(+!..10+2住。^=16,

a~ba~b~b~a~Vb~a~

當(dāng)且僅當(dāng)k=34時(shí)取等號(hào),

所吟+:

是一個(gè)變量,且它的最小值為16.

故答案為：a2-\-b'=\.

5解：由題意設(shè)拋物線的方程為八2叫焦點(diǎn)F坐標(biāo)修。),

由題意可得”=c,

2

由四邊形OAPB為菱形可得AB與OP互相垂直平分，設(shè)A在x軸上方,

所以可得嗎，J2P￡),即味辰),

Ic1)nr

代入橢圓的方程為：3+與=1,而后=4—。2,

a2b-

整理可得：3/+8e-3=0,解得e=,，

3

16.解：作OMLQP交QP于V,交他于C,且OCJ.AS,設(shè)NAOC=6,

則A8=20sin6,OC=10cos6?,

i&AQ=QP=BP=x,作QE_LA8交4?于E,PFLAB交AB于F,

ZPBA=ZQAB=60°,AE=BF=^x,CM=PF=^-x,

EF=QP=x,:.AB=2x,則他=20sin6=2x,即x=10sin9,

(9M=OC+CM=10cos6?+^x=10cos6?+5x/3sin6>,

.-.OP2=<?M2+MP2=(10cos6?+5^sin6?)2+(5sin61)2

=1OOcos20+75sin20+100/sin6?cos0+25sin20

=100+5073sin2(9.

?.?sin20e[-l,Ij,.?.當(dāng)sin2，=l,即，=；時(shí)，。尸最大,

也就是OP最長(zhǎng)時(shí)，ZAOB=-.

2

71

故答案為:

2

17.解：若選①:

(1)3s〃+]=S“+1,當(dāng)〃=1時(shí)，3S0=S[+1,即3q+3a2=q+1,

因?yàn)榈?",所以q=；,

當(dāng)”..2時(shí)，3S?=S?_,+1,所以3a“”=a"，即％1=1，

43

又皈=1,所以-=1,〃eN*,

43an3

所以數(shù)列｛q｝是以g為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，

所以％=(3’.

⑵**=?*",

c

所以4%+03a5+a5h+…+%〃一?！?1=(2)」+(：)'+—+(2)'"

（孑口一小力「34

若選②：

（1）因?yàn)镾“+a“=l,當(dāng)〃=1時(shí)，可得4=」，

當(dāng)〃..2時(shí)，Si+a,i=l,可得2a“=a,—,即=

%2

所以數(shù)列數(shù)列｛《,｝是以g為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列,

所以/=（；）"-

若選③:

(1)4=1,a?+1=25?+1,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2S1+1=3,

當(dāng)〃..2時(shí)，4=2S,i+1,

兩式相減得4田=3%,即也=3,

%

又0_=3,所以也=3,MN*,

所以數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

所以

(2)=34n,所以4a3+a3a5+4%+??,+=3?+3‘+...+34/,

32M

1-3*4

18.解：（1）由ABJLAC,點(diǎn)石，尸是線段8c（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn),

且點(diǎn)石在點(diǎn)尸的右下方，/￡4尸=工不變，可知?！?。勺.

44

AF

在4院中，由正弦定理可得」巴A8

.71?/34八、

sin-sm(--6)

4

.-.AE=―[—

sin(子-0)

4F

在AAB/中，由正弦定理可得幺AB

sin-sin(--0)

42

z.AF=^~,

cos。

（2）由（1）可得,

SMKF=gIAE||AF|sin?=乎x—3—x名

244si哼一6)co，，

22jr

,0e[O,-],

l+cos26+sin281+72sin(20+^)4

/.sin(26+?)￡[^』],

三角形AAEF的面積的最小值為2(a-1),此時(shí)6=工.

8

19.解：(1)證明：底面ABCD,.?.P4_LCZ),

在矩形ABC￡＞中，CDLAD,

■：AD[\PA=A,.?.8_L平面/W),則C￡)_LAE,

-.PA=AD,E為PD的中點(diǎn)，:.AEYPD,

又C￡＞nPO=。，.,-A￡'"L平面PCD，

?rAEu平面AEF,平面97,平面PC￡＞；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,4)所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系.

A(0,0,0),P(4,0,0),E(2,0,2),F(2,1,0),(0,2,4),

荏=(2,0,2),通=(2,1,0),PC=(-4,2,4),

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

il?AE=2x+2z=0

在??。?1得―T),

rl-AF=2x+y=0

—?-12J6

cos<PC,n>=----尸=----.

6x>/63

故a與平面AEF所成銳二面角的余弦值為好.

3

20.解：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

P(x=o)=(f+G.|.(yU，

p(x=D=c1ew*

P(X=2)=C：.(|)2.(吳|吟，

P(X=3)=C；.($2

所以X的分布列為

X0123

p81616

98?8?27

所以數(shù)學(xué)期望E(X)=0*2+lx*+2x竺+3x^=吧.

981812781

(2)記“甲、乙比賽兩場(chǎng)后，兩隊(duì)積分相等”為事件A,

設(shè)第i場(chǎng)甲、乙兩隊(duì)積分分別為X,,工，則X,=3-Y，i=l,2,

因兩隊(duì)積分相等，所以X1+Xz=X+X，即X1+X?=(3-XJ+G-X?),則X1+X?=3,

所以P(A)

=尸(凡=0)尸氏=3)+尸(凡=1)P(X2=2)+P(X1=2)P(X,=1)+P(X,=3)P(X2=0)

1168161681611120

——V______I______y_______I______V_______I______V——_________

92781818181279~6561

21.解：(1)直線6A)的方程為二+)=l=>fer+勺一Z?c=0.

cb

ah+be-beah

P(a,b)到直線F\的距離為=b=l.

2Jb2+c2a

而￡=2^,a2=h2+c2,

a2

.a=2,