函數(shù)的單調(diào)性和極值

3.4.1、函數(shù)單調(diào)性的判定法如圖所示單調(diào)遞增曲線上各點(diǎn)處的切線的斜率是非負(fù)的單調(diào)遞減曲線上各點(diǎn)處的切線的斜率是非正的第一頁第二頁，共26頁。若設(shè)函數(shù)(遞減).證:

不妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故定理3.4.1.第二頁第三頁，共26頁。例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為返回第三頁第四頁，共26頁。說明:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也有可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),則函數(shù)的單調(diào)性不改變.例如,第四頁第五頁，共26頁。討論函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟進(jìn)行:(1)確定連續(xù)函數(shù)的定義域;(2)求出(3)判斷在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào),就可以確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.將定義域劃分成若干子區(qū)間；第五頁第六頁，共26頁。例2.證明時(shí),成立不等式證:

令則第六頁第七頁，共26頁。3.4.2、函數(shù)的極值及其求法定義3.4.1:在其中當(dāng)時(shí),(1)

稱為函數(shù)的極大值;(2)

稱為函數(shù)的極小值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。第七頁第八頁，共26頁。注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如(例1)極大值點(diǎn),

是極大值

是極小值

極小值點(diǎn),第八頁第九頁，共26頁。定理3.4.2(第一充分條件)

且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù)．(1)如果處取得極大值。(2)如果處取得極小值。第九頁第十頁，共26頁。(3)如果處沒有極值。第十頁第十一頁，共26頁。求極值的步驟:第十一頁第十二頁，共26頁。例3.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得3)列表判別是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為第十二頁第十三頁，共26頁。定理3.4.3(第二充分條件)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一充分條件知(2)類似可證.返回第十三頁第十四頁，共26頁。第十四頁第十五頁，共26頁。例4.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;因故需用第一充分條件判別.第十五頁第十六頁，共26頁。試問為何值時(shí),在時(shí)取得極值,還是極小值。解:

由題意應(yīng)有又所以為極大值例5.求出該極值,并指出它是極大第十六頁第十七頁，共26頁。3.4.3、最大值與最小值問題則其最值只能在端點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)或駐點(diǎn)處取得.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的最值可疑點(diǎn)(各駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn))(2)最大值最小值情形1:第十七頁第十八頁，共26頁。例6.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.第十八頁第十九頁，共26頁。

當(dāng)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)時(shí),若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)(小)情形2:情形3:在應(yīng)用問題中,往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以判斷可導(dǎo)函數(shù) 確有最大值或最小值,而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得,

這時(shí)如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)就可以判定是最大值或最小值.第十九頁第二十頁，共26頁。例7.

把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,問矩形截面的高

h

和寬

b

應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?

解:由力學(xué)知識(shí)知矩形梁的抗彎截面模量為令得此時(shí)即由實(shí)際意義可知,所求最值存在且在區(qū)間內(nèi)部取得,而在區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn),故時(shí)最大。第二十頁第二十一頁，共26頁。內(nèi)容小結(jié)2.函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值在

I

上單調(diào)遞增在

I

上單調(diào)遞減1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性的判別第二十一頁第二十二頁，共26頁。(3)第二充分條件為極大值為極小值最值點(diǎn)應(yīng)在端點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)和駐點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別.3.連續(xù)函數(shù)的最值第二十二頁第二十三頁，共26頁。思考與練習(xí)1.

設(shè)則在點(diǎn)

a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號(hào)性.第二十三頁第二十四頁，共26頁。2.

設(shè)