平面向量的坐標(biāo)表示(使用)

在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的每一點(diǎn)都可以用一對有序?qū)崝?shù)來表示，這對實(shí)數(shù)就是點(diǎn)在平面內(nèi)的坐標(biāo)；反之，每一對有序?qū)崝?shù)都能確定一個點(diǎn)。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量是否也能用一對有序?qū)崝?shù)來表示呢？思考第一頁第二頁，共26頁。導(dǎo)彈在升空的某一時刻，速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個分速度。如果分別在水平方向和豎直方向取兩個單位向量e1、e2，導(dǎo)彈的飛行速度用向量表示，若以點(diǎn)O為起點(diǎn)，作向量，過點(diǎn)P(x,y)分別向水平方向、豎直方向作垂線，垂足分別為M和N。（1）分別用單位向量e1、e2表示向量，（2）用向量，表示向量；（3）用單位向量e1、e2表示向量。探究第二頁第三頁，共26頁。在平面上，建立一個直角坐標(biāo)系xOy，若設(shè)x軸正方向上的單位向量為，y軸正方向上的單位向量為，則x軸上的向量總可以表示成的形式，y軸上的向量總可以表示成的形式，其中x，y分別是它們的終點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)。第三頁第四頁，共26頁。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)O的向量又如何處理呢?探索:

oyx?第四頁第五頁，共26頁?？赏ㄟ^向量的平移，將向量的起點(diǎn)移到坐標(biāo)的原點(diǎn)O處.

oyx解決方案:我們將這樣的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的向量稱為位置向量，平面上任意向量都有與它相等的位置向量，所以研究向量的性質(zhì)可以通過研究其相應(yīng)的位置向量來實(shí)現(xiàn)。第五頁第六頁，共26頁。對于直角坐標(biāo)系平面內(nèi)任意向量，將它的起點(diǎn)移至原點(diǎn)O，其的終點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y)。以O(shè)P為對角線，作矩形OMPN，則，分別表示成與。由向量加法的平行四邊形法則可知，

即：

事實(shí)上，平面直角坐標(biāo)系中任一向量都可以唯一地表示成的形式。第六頁第七頁，共26頁。我們把叫做向量的坐標(biāo)形式，把叫做向量在x軸上的分向量，把叫做向量在y軸上的分向量。把有序數(shù)對(x,y)叫做向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中x叫做向量的橫坐標(biāo)，y叫做向量的縱坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。第七頁第八頁，共26頁。OP=3+2注意觀察，發(fā)現(xiàn)一個位置向量,只要它的終點(diǎn)確定了,那這個位置向量也就確定了.位置向量的關(guān)鍵點(diǎn)第八頁第九頁，共26頁。向量的坐標(biāo)表示

點(diǎn)P（x,y）

一一對應(yīng)

OP=x+y

=(x,y)向量OP

有序?qū)崝?shù)對（x，y）(x,y)xy一一對應(yīng)

第九頁第十頁，共26頁。點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示一個點(diǎn)在坐標(biāo)平面的位置，向量的坐標(biāo)能否也表示向量在坐標(biāo)平面的位置呢？理解：向量的坐標(biāo)意義是向量正交分解時對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對，表面是坐標(biāo)形式，它只是一種記法，實(shí)際上是分解出來的基底的系數(shù)。向量的坐標(biāo)不表示向量的位置，同一向量可以任意平移，而它的坐標(biāo)只有一個。、第十頁第十一頁，共26頁。向量的坐標(biāo)表示是一種向量與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義.將向量的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則平移后向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo).第十一頁第十二頁，共26頁。例題：寫出下列向量的坐標(biāo)表示：（1）（2）（3）

第十二頁第十三頁，共26頁。怎樣通過坐標(biāo)確定兩個向量相等呢？思考交流:

第十三頁第十四頁，共26頁。平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算第十四頁第十五頁，共26頁。平面向量可以用坐標(biāo)表示，向量的運(yùn)算可以用坐標(biāo)來運(yùn)算嗎？探究：

（1）已知a=(x1,y1),

b=(m

,n)，求a+

b,a–

b.（2）已知a=(x1,y1)和實(shí)數(shù)，求a的坐標(biāo).如何計算？

第十五頁第十六頁，共26頁。設(shè)，，則那么平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算借助向量的坐標(biāo)表示，可以把向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的代數(shù)運(yùn)算。兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差第十六頁第十七頁，共26頁。例：已知．求xyO解：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．第十七頁第十八頁，共26頁。設(shè)，為一實(shí)數(shù)，則那么平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

實(shí)數(shù)與向量乘積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)的坐標(biāo)．第十八頁第十九頁，共26頁。例題：已知，，求，，。解：第十九頁第二十頁，共26頁。第二十頁第二十一頁，共26頁。設(shè)兩個非零向量，，當(dāng)時，x1,y1,x2,y2之間滿足什么關(guān)系？反之，當(dāng)這個關(guān)系成立時，能否得出？思考交流：第二十一頁第二十二頁，共26頁。向量，，當(dāng)x是何值時，（1）；（2）與方向相同？解：（1）（2）當(dāng)x=2時，與方向相同。第二十二頁第二十三頁，共26頁。寫出以為起點(diǎn),為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo).Oxy11兩點(diǎn)間距離公式求出的模。問