大一高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

#/13所以在點(diǎn)處的切線方程為y=/5（x+i）而在（，）點(diǎn)處，k=yr（2）=0所以在點(diǎn)處的切線方程為又在（，）點(diǎn)處，左=y'（3）不存在，即切線與軸垂直所以點(diǎn)處的切線方程為11、在區(qū)間0,-上，曲線y=smx與直線x=，y=。所圍成的圖形分別繞軸和y軸所產(chǎn)生的放置體的體積。參考答案：繞X軸所產(chǎn)生的體積為hz- 、Jf^l-cos2x, 712V=兀J2（smx）2dx=兀J2 -ax=xo o2 4繞y軸所產(chǎn)生的體積為:V=兀J](三)2辦一兀Ji(arcsiny)2dyyo2 o'=71兀2 1 V—7140(arcsiny)2?y1—『y?2arcsiny- dy00 Jl—>2兀3——-714兀2Jagi咤亡不4713T-2kParcsinydJl-y2o=-2n-arcsinyJI-y21+2kJ1Jl-y2 dy0 °Q-產(chǎn)=2兀四、證明題（每小題分，共分）、設(shè)。0fM、設(shè)。0fM2,是滿足。aa a。+$+3?+…+/L的實(shí)數(shù)。內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)證明多項(xiàng)式/（%）=1 ”X2+…〃]〃在（，內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)0 1 2 na a ?-%n+ln+1令/(x)=a顯然（）在，上連續(xù)，（，）內(nèi)可導(dǎo),且()，F(xiàn)(l)=a+ai0 2由羅爾定理得，在(，)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，，使F'收)=0,即a+a&H Fa己n=001 n從而f(x)=a+ax+ax2+…ax〃在(，)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)01 2 n、證明方程 ，且 至少有一個(gè)正根，且不超過(guò)參考答案：(寫(xiě)出輔助函數(shù)1分，證明過(guò)程4分)令顯然 是一個(gè)初等函數(shù)，所以在，上連續(xù)又 在端點(diǎn)處的函數(shù)值有且若 則 為方程的根若 ，由零點(diǎn)存在定理可知，在(， )內(nèi)至少存在一點(diǎn)，，使得，此即說(shuō)明方程 至少有一個(gè)不超過(guò) 的正根3、證明方程x5+x-1=0有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.參考答案：先證存在性設(shè)f(x)=x5+x-1,則f(x)在［0,1］連續(xù)，且f(0)=-1,f(1)=1,由零點(diǎn)定理3xe(0,1),使f(x)=0,即為方程的小于1的正實(shí)根00再證唯一性彳假設(shè)另有xe(0,1),x中x,使f(x)=0.1 10 1因?yàn)閒(x)在x,x之間滿足羅爾定理的條件，01所以至少存在一個(gè)白(在x,x之間)，使得/化)=0.01但f(x)=5x4+1>0,(xe(0,1)),這與f代)=0矛盾，假設(shè)不成立綜上，方程x5-5x+1=0有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.4證明當(dāng)0<a<b時(shí),有不等式—~—<arctanb一arctana<—~—1Fb2 1Fa2參考答案：(寫(xiě)出輔助函數(shù)并說(shuō)明滿足拉格朗日定理?xiàng)l件2分,余下步驟3分)令f(x)=arctanxxe［a,b］顯然,f(x)滿足條件：(1)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f'(x)=(arctanx)'=于是由拉格朗日中值定理,可得arctanb-arctana=———?(b-a)(a<^<b)1+&2因?yàn)閎一a b一a b一