空間向量的運算(第二課時)導(dǎo)學(xué)案 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

高二數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案本學(xué)案共10頁，第頁高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科導(dǎo)學(xué)案命題班級學(xué)號姓名得分課題：空間向量的運算(第二課時)【學(xué)習(xí)目標】1．通過空間向量的數(shù)乘運算及其運算律的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算與直觀想象素養(yǎng)．2．通過共線向量基本定理及推論的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．3．通過空間向量夾角與數(shù)量積等概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．4．借助空間向量數(shù)量積的計算，提升數(shù)學(xué)運算與直觀想象素養(yǎng)．【重點難點】1．掌握空間向量的數(shù)乘運算及其數(shù)乘向量的幾何意義．(重點)；2．理解共線向量基本定理及推論．(重、難點)3．了解空間向量夾角的概念并會求兩空間向量夾角．(重點)4．掌握空間向量數(shù)量積的計算方法及運算律．(重點、難點)5．理解投影向量與投影數(shù)量的概念以及它們之間的關(guān)系．(難點)【學(xué)習(xí)流程】◎基礎(chǔ)感知◎探究未知一、知識點梳理1．向量的數(shù)乘運算定義與平面向量類似，實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘幾何定義λ＞0λa與向量a方向相同λa的長度是a的長度的|λ|倍λ＜0λa與向量a方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的運算律結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2．共線向量基本定理空間兩個向量a，b(b≠0)，共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb．問題1：若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c嗎？問題2：在空間向量中，與非零向量a共線的單位向量有幾個，分別是什么？3．空間向量的夾角定義已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則∠AOB叫作向量a與b的夾角記法〈a，b〉范圍0≤〈a，b〉≤π向量垂直當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b；a·b＝0規(guī)定：零向量與任意向量垂直問題3：〈a，b〉＝〈b，a〉嗎？〈a，b〉與〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么關(guān)系？4．空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個空間向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫作a與b的數(shù)量積，記作a·b．(2)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)數(shù)量積的性質(zhì)兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0若a與b同向，則a·b＝|a|·|b|；若反向，則a·b＝－|a|·|b|．特別地：a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)|a·b|≤|a|·|b|5．投影向量與投影數(shù)量①如圖，已知兩個非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，過A向直線OB作垂線，垂足為點A′，稱向量eq\o(OA′,\s\up8(→))為向量a在向量b方向上的投影向量，其長度等于||a|cos〈a，b〉|．②如圖，|a|cos〈a，b〉稱為向量a在向量b方向上的投影數(shù)量，可以表示為a·eq\f(b,|b|)．③數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上投影數(shù)量|b|cos〈a，b〉的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上投影數(shù)量|a|cos〈a，b〉的乘積．例1．已知λ∈R，則下列命題正確的是()A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0例2．若e1，e2不共線，則下列各組中的兩個向量a，b共線的是()A．a(chǎn)＝e1－e2，b＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2B．a(chǎn)＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2，b＝2e1－3e2C．a(chǎn)＝eq\f(1,3)e1－eq\f(1,2)e2，b＝2e1－3e2D．a(chǎn)＝e1＋e2，b＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,2)e2例3．已知i，j，k是兩兩垂直的單位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，則a·b＝()A．－2B．－1C．±1D．2二、空間向量的數(shù)乘運算例4.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點．(1)化簡：eq\o(A1O,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))；(2)設(shè)E是棱DD1上的點，且eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up8(→))，試用eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))表示eq\o(EO,\s\up8(→))．跟蹤訓(xùn)練：本例中試用eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OE,\s\up8(→))表示eq\o(AC1,\s\up8(→))．三、向量共線問題方法技巧：向量共線的判定方法判定向量a，b共線就是充分利用已知條件、結(jié)合圖形特點找到實數(shù)λ，使b＝aλ(a≠0)成立．例5.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1D1，AB的中點，E在AA1上且AE＝2EA1，F(xiàn)在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，判斷eq\o(ME,\s\up8(→))與eq\o(NF,\s\up8(→))是否共線．跟蹤訓(xùn)練：在本例中，若M、N分別為AD1，BD的中點，證明：eq\o(MN,\s\up8(→))與eq\o(D1C,\s\up8(→))共線．四、點共線問題方法技巧：證明空間三點共線的三種思路對于空間三點P，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線．(1)存在實數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up8(→))＝λeq\o(PB,\s\up8(→))成立；(2)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))(t∈R)；(3)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，其中x＋y＝1．例6.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，F(xiàn)在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→))．求證：E，F(xiàn)，B三點共線．跟蹤訓(xùn)練：如圖，已知OE是平行六面體OADB-CFEG的體對角線，點M是△ABC的重心，求證：點M在直線OE上．五、空間向量的數(shù)量積運算方法技巧：求空間向量的數(shù)量積可仿照平面向量的數(shù)量積的求法進行，注意觀察空間向量的方向，正確求出其夾角是求解的關(guān)鍵.例7.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AA1B1B的中心，F(xiàn)為A1D1的中點．求(1)eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(ED1,\s\up8(→))；(2)eq\o(BF,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→))．跟蹤訓(xùn)練：若本例的條件不變，計算eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(FC1,\s\up8(→))．六、利用數(shù)量積求夾角方法技巧：求兩個向量的夾角的兩種方法(1)結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍．(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求cos〈a，b〉，最后確定〈a，b〉．例8.已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點，(1)求向量eq\o(OE,\s\up8(→))與eq\o(BF,\s\up8(→))所成角的余弦值；(2)求直線OE與BF所成角的余弦值．跟蹤訓(xùn)練：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求向量eq\o(BC1,\s\up8(→))與eq\o(AC,\s\up8(→))的夾角的大小，并求異面直線BC1與AC所成的角．七、利用數(shù)量積求兩點間的距離方法技巧：求兩點間的距離或線段長度的方法(1)將此線段用向量表示．(2)利用|a|＝eq\r(a2)，計算出|a|，即得所求距離．例9.如圖，在三棱錐A-BCD中，底面邊長與側(cè)棱長均為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且MB＝2AM，CN＝eq\f(1,2)ND，求MN的長．跟蹤訓(xùn)練：．已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且這三條棱彼此之間的夾角都是60°，則AC1的長為()A．6B．eq\r(6)C．3D．eq\r(3)◎達標檢測1．已知空間四邊形ABCD中，G為CD的中點，則eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))等于()A．eq\o(AG,\s\up8(→))B．eq\o(CG,\s\up8(→))C．eq\o(BC,\s\up8(→))D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))2．設(shè)a，b是不共線的兩個向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，則()A．λ＝μ＝0 B．a(chǎn)＝b＝0C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝03．已知a＝e1＋2e2＋eq\f(1,2)e3，b＝3e1－2e2－eq\f(1,2)e3，則3a－b＝()A．4e2＋2e3 B．4e1＋e3C．3e1＋6e2＋e3 D．8e2＋2e34．已知|a|＝3，|b|＝5，若兩向量方向相同，則向量a與向量b的關(guān)系為b＝________a．5．化簡：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)．6．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，則a·b＝()A．1B．2C．3D．47．已知空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉的值為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．08．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))的值為()A．a(chǎn)2B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(1,4)a2D．eq\f(\r(3),4)a29．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則〈a，b〉＝________．【總結(jié)反思】1．空間向量的數(shù)乘運算和平面向量完全相同．2．證明(或判斷)三點A，B，C共線時，只需證明存在實數(shù)λ，使eq\