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文檔簡介
平面向量本課程將帶領(lǐng)大家探索數(shù)學(xué)中的向量,包括向量的定義、運(yùn)算、幾何意義及其在平面幾何中的應(yīng)用。什么是平面向量向量張量、標(biāo)量、向量的區(qū)別是什么?矢量區(qū)別于向量,矢量除了有大小和方向外還有作用點(diǎn)。平面向量由兩個(gè)值按一定規(guī)律有序排列組成的有向量,可以理解成從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的有向線段。向量的定義及表示1向量的定義表示大小和方向的一種量,常用小寫字母加箭頭表示。2向量的坐標(biāo)表示向量從原點(diǎn)出發(fā)的末端點(diǎn)的坐標(biāo)。3向量的分解一向量可以被分解為兩個(gè)不同的向量的和。常見的分解方式有平行四邊形法和三角形法。向量的加法和減法向量加法定義向量加法是指容易理解的向量相加。向量減法定義向量減法是指把向量變成負(fù)向量后相加。向量加減法的運(yùn)算法則運(yùn)用平行四邊形法或三角形法得到新向量。向量的數(shù)量積和向量積數(shù)量積也稱點(diǎn)積,是向量運(yùn)算中非常重要的一種積。向量積表示兩個(gè)向量所在平面上有向平行四邊形的面積(忽略符號)。向量的模長和方向角1向量的模長向量表示的有向線段的長度,用兩點(diǎn)之間的距離來表示。2向量的方向角與x軸正半軸之間的夾角,可以用tan值計(jì)算。3向量的方向余弦用cos和sin函數(shù)來表示的向量方向的余弦和正弦。單位向量的概念1什么是單位向量長度為1的向量,可以用來表示向量的方向。2如何計(jì)算單位向量將向量除以它的模長即可得到。向量的投影和正交分解向量的投影投影長度,是對于兩個(gè)向量A和B,A在方向上的投影長度就是A在B方向上投影的線段長。向量的正交分解將向量分解為與某個(gè)向量正交的兩個(gè)向量之和。正交的兩個(gè)向量相互垂直,所以又被稱為垂直分解。向量共線和垂直的判定方法1共線向量的特點(diǎn)加工程中經(jīng)常用到的概念是工具矢量和功力矢量,共線的情況也很常見。2共線向量的判定兩個(gè)向量共線的充要條件是它們的夾角為0或180度。3垂直向量判定兩向量垂直,當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)向量繞另一個(gè)向量旋轉(zhuǎn)90度。平面向量的平移和旋轉(zhuǎn)1平移向量的定義如果平面上將一個(gè)向量在其終點(diǎn)處沿著定向線段平移一段距離得到一新的向量。2旋轉(zhuǎn)向量的定義將向量以某個(gè)定向線段為軸旋轉(zhuǎn)一定角度得到的新向量。向量的夾角和余弦定理1向量夾角余弦兩個(gè)向量a、b之間的cos值是這兩個(gè)向量的數(shù)量積a·b除以這兩個(gè)向量的模長之積。2向量夾角余弦定理一個(gè)向量可以表示為幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)向量的線性組合,從而推導(dǎo)出夾角余弦定理。3向量夾角求解公式cosθ=a·b/(|a|×|b|)向量的垂直平分線及其性質(zhì)向量的垂直平分線連接兩個(gè)向量中點(diǎn),且垂直于這兩個(gè)向量的直線。垂直平分線的性質(zhì)平分線上的所有向量既與第一個(gè)向量正交,又與第二個(gè)向量正交。垂直平分線長度的計(jì)算將兩向量相加然后求模長即是所求。平面向量在直角坐標(biāo)系中的表示平面直角坐標(biāo)系闡述了平面向量在移動、平移、旋轉(zhuǎn)、共線、垂直和夾角方面的表示方法。平面向量坐標(biāo)的表示x軸和y軸分別表示兩個(gè)值,橫坐標(biāo)在左邊,縱坐標(biāo)在右側(cè)。平面向量與三角函數(shù)的關(guān)系1向量與三角函數(shù)的關(guān)系解析和幾何上將平面向量與三角函數(shù)為橋梁聯(lián)系起來。2幾何解析例題計(jì)算向量A、B的夾角(并求得方向余弦),已知A[1,2],B[3,4]。向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)1線性相關(guān)性向量組中存在一些向量,可以被其他向量線性組合得到。2線性無關(guān)性向量組中的任意向量都不能被其他向量線性組合得到。3線性無關(guān)的判斷方法對于nxn的矩陣A,當(dāng)且僅當(dāng)|A|≠0時(shí),n個(gè)分量的齊次向量組是線性無關(guān)的。平面向量與平面幾何的應(yīng)用向量表示上的應(yīng)用包括平移、旋轉(zhuǎn)、垂直平分線、距離等應(yīng)用。平面幾何求解如用向量表示角平分線問題等。
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