新高考適用2023版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第2篇經(jīng)典專題突破核心素養(yǎng)提升專題3立體幾何第2講空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系_第1頁
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文檔簡介

第二篇專題三第2講一、選擇題1.如圖所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,則平面ABC與平面β的交線是(C)A.直線AC B.直線ABC.直線CD D.直線BC【解析】由題意知,D∈l,l?β,∴D∈β.又D∈AB,∴D∈平面ABC,∴點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上.又C∈平面ABC,C∈β,∴點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上,∴平面ABC∩平面β=直線CD.2.已知α,β,γ表示不同的平面,m,n是不同的兩條直線,則下列命題中正確的是(D)A.α⊥β,m?α,n?β?m⊥nB.α⊥β,β⊥γ?α∥γC.α∥β,m?α,n?β?m∥nD.α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m?m⊥γ【解析】若α⊥β,m?α,n?β,則m與n平行或相交或異面,故A錯(cuò)誤;若α⊥β,β⊥γ,則a與γ平行或相交,故B錯(cuò)誤;若α∥β,m?α,n?β.則m與n平行或異面,故C錯(cuò)誤;若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,則m⊥γ(垂直于同一平面的兩個(gè)平面的交線垂直于這個(gè)平面),故D正確,故選D.3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是線段CD1上的動(dòng)點(diǎn),則(D)A.AP⊥平面A1BD B.AP⊥平面BB1D1C.AP∥平面BC1D D.AP∥平面A1BC1【解析】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,由AA1與CC1平行且相等得平行四邊形ACC1A1,得A1C1∥AC,AC?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,得AC∥平面A1BC1,同理AD1∥平面A1BC1,而AD1,AC是平面AD1C內(nèi)兩條相交直線,因此有平面AD1C∥平面A1BC1,AP?平面AD1C,所以AP∥平面A1BC1,故選D.4.點(diǎn)E,F(xiàn)分別是三棱錐P-ABC的棱AP,BC的中點(diǎn),AB=6,PC=8,EF=5,則異面直線AB與PC所成的角為(A)A.90° B.45°C.30° D.60°【解析】如圖,取PB的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,則EG=eq\f(1,2)AB,GF=eq\f(1,2)PC,EG∥AB,GF∥PC,則∠EGF(或其補(bǔ)角)即為AB與PC所成的角,在△EFG中,EG=eq\f(1,2)AB=3,F(xiàn)G=eq\f(1,2)PC=4,EF=5,EG2+FG2=EF2,所以∠EGF=90°.5.(2021·江西吉安一模)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1D1,A1B1的中點(diǎn),過直線BD的平面α∥平面AMN,則平面α截該正方體所得截面的面積為(B)A.eq\r(2) B.eq\f(9,8)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(6),2)【解析】如圖,分別取C1D1,B1C1的中點(diǎn)P,Q,連接PQ,B1D1,DP,BQ,NP,易知MN∥B1D1∥BD,AD∥NP,AD=NP,所以四邊形ANPD為平行四邊形,所以AN∥DP.又BD和DP為平面DBQP內(nèi)的兩條相交直線,AN,MN為平面AMN內(nèi)的兩條相交直線,所以平面DBQP∥平面AMN,四邊形DBQP的面積即所求.因?yàn)镻Q∥DB,所以四邊形DBQP為梯形,PQ=eq\f(1,2)BD=eq\f(\r(2),2),梯形的高h(yuǎn)=eq\r(12+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))\s\up12(2))=eq\f(3\r(2),4),所以四邊形DBQP的面積為eq\f(1,2)(PQ+BD)h=eq\f(9,8).6.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為16eq\r(2),點(diǎn)P在正方形A1B1C1D1上且A1,C到P的距離分別為2,2eq\r(3),則直線CP與平面BDD1B1所成角的正切值為(A)A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)【解析】易知AB=2eq\r(2),連接C1P,在Rt△CC1P中,可計(jì)算C1P=eq\r(CP2-CCeq\o\al(2,1))=2,又A1P=2,A1C1=4,所以P是A1C1的中點(diǎn),連接AC與BD交于點(diǎn)O,易證AC⊥平面BDD1B1,直線CP在平面BDD1B1內(nèi)的射影是OP,所以∠CPO就是直線CP與平面BDD1B1所成的角,在Rt△CPO中,tan∠CPO=eq\f(CO,PO)=eq\f(\r(2),2).7.(2022·濟(jì)南模擬)如圖,棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(C)①平面D1A1P⊥平面A1AP;②∠APD1的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)));③三棱錐B1-D1PC的體積為定值;④DC1⊥D1P.A.1 B.2C.3 D.4【解析】對(duì)于①,∵D1A1⊥平面AA1P,D1A1?平面D1A1P,∴平面D1A1P⊥平面A1AP,故①正確;對(duì)于②,若P是A1B上靠近A1的一個(gè)四等分點(diǎn),D1P2=1+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up12(2)=eq\f(9,8),此時(shí)AP2=AAeq\o\al(2,1)+A1P2-2AA1×A1P×cos45°=eq\f(5,8),D1P2+AP2<ADeq\o\al(2,1),此時(shí)∠D1PA是鈍角,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,∵BP∥CD1,∴BP∥平面B1D1C,∴P-B1D1C的底面是確定的,高也是定值,∴三棱錐B1-D1PC的體積為定值,故③正確;對(duì)于④,∵D1C⊥DC1,DC1∥A1B,∴DC1⊥A1B,又DC1⊥A1D1,A1B∩A1D1=A1,∴DC1⊥平面A1PD1,D1C⊥平面A1PD1,D1P?平面A1PD1,∴DC1⊥D1P,故④正確.故選C.8.如圖,矩形ABCD中,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中,下列命題不正確的是(C)A.MB是定值B.點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)C.一定存在某個(gè)位置,使DE⊥A1CD.一定存在某個(gè)位置,使MB∥平面A1DE【解析】取DC的中點(diǎn)N,連接MN,NB,則MN∥A1D,NB∥DE,∵M(jìn)N∩NB=N,A1D∩DE=D,∴平面MNB∥平面A1DE,∵M(jìn)B?平面MNB,∴MB∥平面A1DE,D正確;∠A1DE=∠MNB,MN=eq\f(1,2)A1D=定值,NB=DE=定值,根據(jù)余弦定理得,MB2=MN2+NB2-2MN·NB·cos∠MNB,∴MB是定值,A正確;∵B是定點(diǎn),∴M在以B為圓心,MB為半徑的圓上,B正確;當(dāng)矩形ABCD滿足AC⊥DE時(shí)存在,其他情況不存在,C不正確.∴A、B、D正確.故選C.二、填空題9.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C與平面A1DC1的位置關(guān)系是__平行__.【解析】易證A1C1,A1D都與平面AB1C平行,且A1D∩A1C1=A1,所以平面AB1C∥平面A1DC1.10.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn),若平面BC1D∥平面AB1D1,則eq\f(AD,DC)=__1__.【解析】如圖所示,連接A1B,與AB1交于點(diǎn)O,連接OD1,∵平面BC1D∥平面AB1D1,平面BC1D∩平面A1BC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,∴BC1∥D1O,∴eq\f(A1D1,D1C1)=eq\f(A1O,OB),同理AD1∥DC1,∴eq\f(A1D1,D1C1)=eq\f(DC,AD),∴eq\f(A1O,OB)=eq\f(DC,AD),又∵eq\f(A1O,OB)=1,∴eq\f(DC,AD)=1,即eq\f(AD,DC)=1.11.(2020·全國Ⅱ改編)設(shè)有下列四個(gè)命題:①兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi);②過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面;③若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行;④若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥l.則上述命題中所有真命題的序號(hào)是__①④__.【解析】①是真命題,兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必定有三個(gè)交點(diǎn),且這三個(gè)交點(diǎn)不在同一條直線上,由平面的基本性質(zhì)“經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面”,可知①為真命題;②是假命題,因?yàn)榭臻g三點(diǎn)在一條直線上時(shí),有無數(shù)個(gè)平面過這三個(gè)點(diǎn);③是假命題,因?yàn)榭臻g兩條直線不相交時(shí),它們可能平行,也可能異面;④是真命題,因?yàn)橐粭l直線垂直于一個(gè)平面,那么它垂直于平面內(nèi)的所有直線.從而①④為真命題.12.如圖,已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),M分別是線段AB,AD,AA1的中點(diǎn),又P,Q分別在線段A1B1,A1D1上,且A1P=A1Q=x(0<x<1).設(shè)平面MEF∩平面MPQ=l,現(xiàn)有下列結(jié)論:①l∥平面ABCD;②l⊥AC;③直線l與平面BCC1B1不垂直;④當(dāng)x變化時(shí),l不是定直線.其中成立的結(jié)論是__①②③__.(寫出所有成立結(jié)論的序號(hào))【解析】連接BD,B1D1,∵A1P=A1Q=x,∴PQ∥B1D1∥BD∥EF,易證PQ∥平面MEF,又平面MEF∩平面MPQ=l,∴PQ∥l,l∥EF,∴l(xiāng)∥平面ABCD,故①成立;又EF⊥AC,∴l(xiāng)⊥AC,故②成立;∵l∥EF∥BD,∴易知直線l與平面BCC1B1不垂直,故③成立;當(dāng)x變化時(shí),l是過點(diǎn)M且與直線EF平行的定直線,故④不成立.三、解答題13.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,且PA⊥底面ABCD.(1)求證:平面PAC⊥平面PBD;(2)若E為棱BC的中點(diǎn),在棱PA上求一點(diǎn)F,使BF∥平面PDE.【解析】(1)證明:因?yàn)镻A⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD;又底面ABCD為正方形

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