新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章排列組合與二項式定理本章總結(jié)提升課件新人教B版選擇性必修第二冊

第三章本章總結(jié)提升知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一兩個計數(shù)原理的應(yīng)用1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ),在進行計數(shù)過程中,常因分類不明導(dǎo)致增(漏)解,因此在解題中既要保證類與類的互斥性,又要關(guān)注總數(shù)的完備性.2.掌握兩個計數(shù)原理,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).【例1】

某電視臺連續(xù)播放6個廣告,其中有3個不同的商業(yè)廣告、2個不同的宣傳廣告、1個公益廣告,要求最后播放的不能是商業(yè)廣告,且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放,兩個宣傳廣告也不能連續(xù)播放,則有多少種不同的播放方式?解

用1,2,3,4,5,6表示廣告的播放順序,則完成這件事有三類辦法.第一類:宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2,4,6.分6步完成這件事,共有3×3×2×2×1×1=36種不同的播放方式;第二類:宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,4,6,分6步完成這件事,共有3×3×2×2×1×1=36種不同的播放方式;第三類:宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,3,6,同樣分6步完成這件事,共有3×3×2×2×1×1=36種不同的播放方式.由分類加法計數(shù)原理得,6個廣告不同的播放方式有36+36+36=108種.規(guī)律方法

1.使用兩個計數(shù)原理解決問題的思路(1)選擇使用兩個計數(shù)原理解決問題時,要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式,確定是分類還是分步,要抓住兩個原理的本質(zhì).(2)分類加法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”,分類時,首先要根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類;其次分類時要注意,完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法.(3)分步乘法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”,分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分步的標(biāo)準(zhǔn);其次,分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這幾個步驟后,這件事才算完成,只有滿足了上述條件,才能用分步乘法計數(shù)原理.2.使用兩個原理解決問題時應(yīng)注意的問題對于一些比較復(fù)雜的既要運用分類加法計數(shù)原理,又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題,我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題更加直觀、清晰.變式訓(xùn)練1有6名同學(xué)報名參加3個智力競賽項目,在下列情況下各有多少種不同的報名方法?(6名同學(xué)不一定都能參加)(1)每人恰好參加一項,每項人數(shù)不限;(2)每項報一人,且每人至多參加一項;(3)每項限報一人,但每人參加的項目不限.解

(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項,各有3種不同選法,由分步乘法計數(shù)原理,知共有選法36=729種.(2)每項報一人,且每人至多參加一項,因此可由項目選人,第一個項目有6種選法,第二個項目有5種選法,第三個項目只有4種選法,由分步乘法計數(shù)原理,得共有報名方法6×5×4=120種.(3)由于每人參加的項目不限,因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽,由分步乘法計數(shù)原理,得共有不同的報名方法63=216種.專題二排列、組合的應(yīng)用1.排列、組合是兩類特殊的計數(shù)求解方式,在計數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用,解決排列與組合的綜合問題要樹立先選后排,特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則.2.明確排列和組合的運算,重點提升數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).【例2】

在高三(1)班元旦晚會上,有6個演唱節(jié)目,4個舞蹈節(jié)目.(1)當(dāng)4個舞蹈節(jié)目要排在一起時,有多少種不同的節(jié)目安排順序?(2)當(dāng)要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時,有多少種不同的節(jié)目安排順序?(3)若已定好節(jié)目單,后來情況有變,需加上詩朗誦和快板2個欄目,但不能改變原來節(jié)目的相對順序,有多少種不同的節(jié)目演出順序?解

(1)第一步,先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來,看成1個節(jié)目,與6個演唱節(jié)目一起排,有

=5

040種方法;第二步,再松綁,給4個節(jié)目排序,有

=24種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,一共有5

040×24=120

960種.(2)第一步,將6個演唱節(jié)目排成一列(如圖中的“□”),一共有

=720種方法.×□×□×□×□×□×□×第二步,再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間(即圖中“×”的位置),這樣相當(dāng)于7個“×”選4個來排,一共有

=7×6×5×4=840種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,一共有720×840=604

800種.(3)若所有節(jié)目沒有順序要求,全部排列,則有

種排法,但原來的節(jié)目已定好順序,需要消除,所以節(jié)目演出的順序有

=132種排法.規(guī)律方法

1.處理排列組合應(yīng)用題的一般步驟(1)認(rèn)真審題,弄清楚是排列(有序)還是組合(無序),還是排列與組合混合問題.(2)抓住問題的本質(zhì)特征,準(zhǔn)確合理地利用兩個基本原理進行“分類與分步”.2.處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律(1)兩種思路:直接法,間接法.(2)兩種途徑:元素分析法,位置分析法.3.排列組合應(yīng)用題的常見解決方法(1)合理分類,準(zhǔn)確分步;(2)特殊優(yōu)先,一般在后;(3)先取后排,間接排除;(4)相鄰捆綁,間接插空;(5)抽象問題,構(gòu)造模型;(6)均分除序,定序除序.變式訓(xùn)練2(多選題)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排照相,下列說法正確的是(

)A.如果甲、乙必須相鄰,那么不同的排法有24種B.甲不站在最左邊,乙不站在正中間,則不同的排法共有78種C.甲、乙不相鄰且乙在甲的右邊,則不同的排法共有36種D.若五人已站好,后來情況有變,需加上2人,但不能改變原來五人的相對順序,則不同的排法共有42種BCD專題三二項式定理的應(yīng)用1.二項式定理有比較廣泛的應(yīng)用,可用于代數(shù)式的化簡、變形、證明整除、近似計算、證明不等式等,其原理可以用于二項式相應(yīng)展開式項的系數(shù)求解.2.二項式原理所體現(xiàn)的是一種數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).角度1.二項式定理的特定項問題【例3】

已知二項式(5x-)n展開式中各項系數(shù)之和是各項二項式系數(shù)之和的16倍.(1)求n;(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(3)求展開式中所有的有理項.規(guī)律方法

應(yīng)用二項式定理解題要注意的問題(1)通項公式表示的是第k+1項,而不是第k項.(2)展開式中第k+1項的二項式系數(shù)

與第k+1項的系數(shù),在一般情況下是不相同的,在具體求各項的系數(shù)時,一般先處理符號,對根式和指數(shù)的運算要細(xì)心,以防出差錯.(3)通項公式表示二項展開式中的任意項,只要n與k確定,該項也隨之確定.對于一個具體的二項式,它的展開式中的項Tk+1依賴于k.變式訓(xùn)練3(多選題)已知(2x+)n的二項展開式中二項式系數(shù)之和為64,下列結(jié)論正確的是(

)A.二項展開式中各項系數(shù)之和為36B.二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為160C.二項展開式中無常數(shù)項D.二項展開式中系數(shù)最大的項為90x3AB

角度2.二項式定理中的“賦值”問題【例4】

(1)若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,則a1+a2+a3+…+a11的值為

.

5解析

令x=2,得a0=(4+1)×(-1)=-5.令x=3,得a0+a1+a2+…+a11=(9+1)×0=0.∴a1+a2+a3+…+a11=5.(2)設(shè)(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值.①a0;②a1+a2+a3+a4+…+a100;③a1+a3+a5+…+a99;④(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;⑤|a0|+|a1|+…+|a100|.規(guī)律方法

賦值法的應(yīng)用規(guī)律與二項式系數(shù)有關(guān)的問題,包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和,主要解題方