新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課件新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

第二章2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系;2.能用坐標(biāo)法求解直線與圓錐曲線的有關(guān)問題;3.掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)從幾何角度看,可分為三類:無公共點(diǎn),有且只有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異的公共點(diǎn).(2)從代數(shù)角度看,可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程,消元后所得方程解的情況來判斷.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.①若a=0,當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí),直線l與雙曲線的漸近線平行或重合;當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí),直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行(或重合).②若a≠0,設(shè)Δ=b2-4ac.Δ>0時(shí),直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn);Δ=0時(shí),直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn);Δ<0時(shí),直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn).過關(guān)自診1.直線y=x+1與橢圓x2+=1的位置關(guān)系是(

)A.相離

B.相切C.相交

D.無法確定C因?yàn)棣?22+12=16>0,所以直線與橢圓相交.2.橢圓與圓類似,是封閉曲線,能否用中心到直線的距離來判斷直線與橢圓的位置關(guān)系?解

不能.橢圓雖然與圓類似,但中心到橢圓上各點(diǎn)的距離不完全相等.知識(shí)點(diǎn)2直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長(zhǎng)

(2)當(dāng)斜率k不存在時(shí),可求出交點(diǎn)坐標(biāo),利用軸上兩點(diǎn)間距離公式直接運(yùn)算.過關(guān)自診頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上且截直線2x-y+1=0所得弦長(zhǎng)為

的拋物線方程為

.

y2=12x或y2=-4x解析

設(shè)所求拋物線的方程為y2=ax(a≠0).①直線方程變形為y=2x+1,②設(shè)拋物線截直線所得弦為AB.將②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一判斷位置關(guān)系角度1.點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的判斷【例1】

已知點(diǎn)P(k,1),橢圓

=1,點(diǎn)P在橢圓外,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

.

變式探究若將本例中P點(diǎn)坐標(biāo)改為“P(1,k)”呢?規(guī)律方法

處理點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系問題時(shí),緊扣判定條件,然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問題,注意求解過程與結(jié)果的準(zhǔn)確性.對(duì)于橢圓來說:角度2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷【例2】

[北師大版教材例題]討論直線l:y=kx+1與雙曲線C:x2-y2=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).消去y,整理,得(1-k2)x2-2kx-2=0.(1)當(dāng)k=1時(shí),x=-1.(2)當(dāng)k=-1時(shí),x=1.(3)當(dāng)k≠±1時(shí),Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2.規(guī)律方法

判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí),可將直線l的方程代入曲線C的方程,消去y(或x)得一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)當(dāng)a≠0時(shí),若Δ>0,則直線l與曲線C相交;若Δ=0,則直線l與曲線C相切;若Δ<0,則直線l與曲線C相離.(2)當(dāng)a=0時(shí),即得到一個(gè)一次方程,則直線l與曲線C相交,且只有一個(gè)交點(diǎn).此時(shí),若C為雙曲線,則l平行于雙曲線的漸近線;若C為拋物線,則l平行于拋物線的對(duì)稱軸.(3)當(dāng)直線與雙曲線或拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線與雙曲線或拋物線可能相切,也可能相交.變式訓(xùn)練1[北師大版教材例題]已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),且與拋物線C:y2=x有唯一的公共點(diǎn),求直線l的方程.解

如圖.(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l:x=0(y軸)與拋物線C相切于原點(diǎn),符合條件.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+1.①當(dāng)k2=0時(shí),直線l的方程為y=1,此時(shí),方程組有唯一的實(shí)數(shù)解,符合條件;②當(dāng)k2≠0時(shí),方程(*)有唯一的實(shí)數(shù)解的充要條件是Δ=(2k-1)2-4k2=0,解得此時(shí),方程組有唯一的實(shí)數(shù)解,符合條件.綜上,滿足題意的直線l有三條:x=0,y=1,y=x+1.探究點(diǎn)二相交弦長(zhǎng)問題【例3】

[北師大版教材例題]已知直線l過橢圓C:

=1的中心,且交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求|AB|的取值范圍.

解

(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l:x=0,代入橢圓方程解得

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx.將橢圓方程化簡(jiǎn)、整理,得x2+2y2=4.將②代入①,得x2+2(kx)2=4,化簡(jiǎn)、整理,得(2k2+1)x2=4.③

規(guī)律方法

若直線l與圓錐曲線F(x,y)=0相交于A,B兩點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng)可用下列兩種方法:(1)把直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,解得點(diǎn)A,B的坐標(biāo),然后用兩點(diǎn)間距離公式,便得到弦AB的長(zhǎng),一般來說,這種方法較為麻煩.(2)不求交點(diǎn)坐標(biāo),可用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.設(shè)直線方程為y=kx+m,與圓錐曲線F(x,y)=0交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則當(dāng)k=0時(shí),直線平行于x軸,∴|AB|=|x1-x2|.變式訓(xùn)練2[人教A版教材例題]如圖,過雙曲線

=1的右焦點(diǎn)F2,傾斜角為30°的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),求|AB|.解

由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,雙曲線的焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F2(3,0).因?yàn)橹本€AB的傾斜角是30°,且經(jīng)過右焦點(diǎn)F2,所以直線AB的方程為探究點(diǎn)三中點(diǎn)弦問題(1)以P(2,-1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程;(2)斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程;(3)過Q(8,2)的直線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解

設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)為R(x,y),則2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B兩點(diǎn)均在橢圓上,兩式相減,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2),規(guī)律方法

對(duì)中點(diǎn)弦問題,常用的解題方法——平方差法,其解題步驟為

變式訓(xùn)練3[人教A版教材習(xí)題]已知雙曲線x2-=1,過點(diǎn)P(1,1)的直線l與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn),P能否是線段AB的中點(diǎn)?為什么?解

P不能是線段AB的中點(diǎn).理由:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),因?yàn)檫^點(diǎn)P(1,1)的直線l與雙曲線x2-=1相交于A,B兩點(diǎn),易知,直線l的方程不是x=1.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的直線l的方程為y-1=k(x-1),即y=kx-k+1.與雙曲線的方程聯(lián)立并消去y,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①當(dāng)k=2時(shí),方程①變?yōu)?x2-4x+3=0,此時(shí)Δ=16-24=-8<0,所以方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根.所以不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),使P是線段AB的中點(diǎn).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123451.直線y=kx-k+1與橢圓

=1的位置關(guān)系為(

)A.相交

B.相切 C.相離

D.不確定A解析

∵y=kx-k+1,∴y-1=k(x-1),過定點(diǎn)(1,1),定點(diǎn)在橢圓

=1內(nèi)部,故選A.123452.過點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條A123453.已知直線l:x-y+m=0與雙曲線x2-=1交于不同的兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上,則m的值是

.

±1解析

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0).∴x0=m,∴y0=x0+m=2m.∵點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,檢驗(yàn)可知判別式Δ>0,故m=±1.123454.拋物線x2=-y上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離的最小值為

.

123455.

如圖,橢圓