2021年貴州省金太陽高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（3月份） （解析版）

2021年貴州省金太陽高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（3月份）

一、選擇題（每小題5分）.

1.已知集合A={小耳2x-3V0},B={-3,-2,-1,0,1,2,3),則ACB=()

A.{-3,-2,-1,0,1)B.{-2,-1,0)

C.{x\x<-1或x>3}D.{x|-KW3}

2.已知復(fù)數(shù)z=(1+i)3,則［=()

A.-2-2?B.-2+2zC.2+2zD.2-2i

'*2

3.已知實(shí)數(shù)x,），滿足約束條件，x+2y》2,則z=2x+y的最大值是（）

x-yC2

A.-2B.4C.10D.12

4.拜年是中國民間的傳統(tǒng)習(xí)俗，是人們辭舊迎新、相互表達(dá)美好祝愿的一種方式.隨著時(shí)

代的發(fā)展，拜年的習(xí)俗亦不斷增添新的內(nèi)容和形式，除了沿襲以往的拜年方式外，又興

起了禮儀電報(bào)拜年、電話拜年、短信拜年、網(wǎng)絡(luò)拜年等.今年正月初一，小華一家五口

人接收到的微信拜年短信數(shù)量分別是30,28,35,29,33,則小華一家收到的微信拜年

短信數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.30,35B.30,31C.31,35D.31,30

5.已知橢圓C：（w>4）的離心率為返，則橢圓C的長軸長為（）

m43

A.瓜B.6C.2瓜D.12

6.已知/表示一條直線，a,0表示兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若/_La,/〃0,貝iJa_L0B.若/〃a,/〃,貝lja〃0

C.若/ua,alp,則/J_0D.若/ua,/〃仇則a〃0

7.已知函數(shù)/（x）=lnX}d-^sinx+2,且/（"?）=5,則/（-加）=（）

x+1

A.-5B.-3C.-1D.3

8.有以下四種變換方式：

①向左平移專個(gè)單位長度，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變;

②向左平移多個(gè)單位長度，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變;

③將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移￡一個(gè)單位長度；

4

JT

④將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移多個(gè)單位長度.

4

TT

其中能將函數(shù)y=sin(2x--)的圖象變?yōu)楹瘮?shù)y=sinr圖象的是()

4

A.①③B.②③C.①④D.②④

9.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，采取三局兩勝制(只要有一人勝了兩局，比賽就結(jié)束).已

知每局比賽甲獲勝的概率是最，乙獲勝的概率是小則甲最終獲勝的概率是()

55

A.衛(wèi)B.?C.2D.里

125125125125

10.我們學(xué)過用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因?yàn)樵诎?/p>

徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個(gè)

常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制

下，角。的面度數(shù)為器，則85旦=()

122

A返B娓一圾C仆+]D愿

'-i-_4-'4'4

11.陽馬，中國古代算數(shù)中的一種幾何體，它是底面為長方形，兩個(gè)三角面與底面垂直的四

棱錐.已知在陽馬P-ABCQ中，P￡>_L平面A8C￡>,PC=3,且陽馬P-ABC。的體積為

9,則陽馬P-A8C。外接球表面積的最小值是()

A.冗一B.9-73nC.27TTD.27aH

e

12.已知4=36",b—ee",c—jf',則()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

二、填空題(共4小題).

13.已知向量？=(4,k'),(3,-6),若Z_1_芯，則上=.

14.(%-1)(x+1)6的展開式中，如的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

15.在梯形A8CD中，AB//CD,AB=\,CD=3,AO=&,AC=依，則△ABC的面積

是.

16.已知圓C：(x+3)2+y2=4,動(dòng)圓/過點(diǎn)4(3,0),且圓與圓例外切，則動(dòng)圓例的

圓心M的軌跡方程是.

三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每道試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共

60分

17.在等比數(shù)列｛如｝中，02=3,615=81.

(1)求｛“"｝的通項(xiàng)公式；

(2)若瓦=硒/1,求數(shù)列｛/>"｝的前〃項(xiàng)和S”.

18.如圖，在正方體ABCO-4BCQI中，E,P分別在棱44”上，且AE=2AE,BF

=2BiF.

(1)證明：AC〃平面OEF；

(2)求二面角A-DE-F的余弦值.

19.新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外所有的其他能源汽車，被認(rèn)為能減少空氣污染

和緩解能源短缺.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車產(chǎn)業(yè)必將成為未來汽車產(chǎn)

業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).新能源汽車也越來越受到消費(fèi)者的青睞.某機(jī)構(gòu)調(diào)查了某地區(qū)近

期購車的200位車主的性別與購車種類情況，得到數(shù)據(jù)如下：

購置新能購置傳統(tǒng)合計(jì)

源汽車燃油汽車

男性10020120

女性503080

合計(jì)15050200

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為是否購置新能源汽車與性別有關(guān)；

(2)用分層抽樣的方法按性別從被調(diào)查的購置新能源汽車的車主中選出9位，參加關(guān)于

“新能源汽車駕駛體驗(yàn)”的問卷調(diào)查，并從這9位車主中隨機(jī)抽取3位車主贈(zèng)送一份小

禮物，記這3位車主中女性車主的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

參考公式：K1-------二)--------,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

P（爛Nko）0.100.050.0100.00

ko2.7063.8416.63510.828

20.已知拋物線C：N=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)M在拋物線C上點(diǎn)A(-2p,0).若

當(dāng)軸時(shí)，的面積為5.

(1)求拋物線C的方程;

(2)若/ME4+2/MAF=TT,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

21.已知函數(shù)/'(x)=-^cuc2-live(?>0).

(1)求/(X)的最值；

(2)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)XI,X2.

①求。的取值范圍.

②證明：X\+X2>區(qū)區(qū).

a

(二)選考題共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

?近

X=l+”~t

22.在直角坐標(biāo)系X。)，中,直線/的參數(shù)方程是《(，為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極

V2

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4cose.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/和曲線C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1,0),求|尸川+|尸身的值.

［選修4-5：不等式選講］

23.設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+l|+|2x-1|.

(1)求不等式/(X)26的解集；

(2)若/'(x)的最小值是〃?，a>0,b>0,且a+b=，n,求工+??的最小值.

ab

參考答案

一、選擇題(共12小題).

1.己知集合4=出爐+2》-3<0},B=[-3,-2,-1,0,1,2,3},則AClB=()

A.{-3,-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}

C.{xpcV-1或x>3}D.{x|-lWxW3}

【分析】可求出集合A,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

解：VA={x|-3<x<l},B=[-3,-2,-1,0,1,2,3),

，AnB={-2,-1,()}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)2=(1+i)3,則[=()

A.-2-萬B.-2+2zC.2+2/D.2-2z

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用共軌復(fù)數(shù)的概念得答案.

解：z=(1+i)3=(1+z)(1+z)2=2i(1+j)=-2+2z,

則1=-2-2i.

故選：A.

'y42

3.已知實(shí)數(shù)x,)，滿足約束條件?x+2y}2,則z=2x+y的最大值是()

x-yC2

A.-2B.4C.10D.12

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)

解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

解：由約束條件作出可行域如圖，

由z=2x+y,得y=-2x+z,由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過A時(shí),

直線在），軸上的截距最大，z有最大值為10.

故選：C.

4.拜年是中國民間的傳統(tǒng)習(xí)俗，是人們辭舊迎新、相互表達(dá)美好祝愿的一種方式.隨著時(shí)

代的發(fā)展，拜年的習(xí)俗亦不斷增添新的內(nèi)容和形式，除了沿襲以往的拜年方式外，又興

起了禮儀電報(bào)拜年、電話拜年、短信拜年、網(wǎng)絡(luò)拜年等.今年正月初一，小華一家五口

人接收到的微信拜年短信數(shù)量分別是30,28,35,29,33,則小華一家收到的微信拜年

短信數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.30,35B.30,31C.31,35D.31,30

解：由題意可得小華一家收到的微信拜年短信數(shù)量的平均數(shù)是里喀隼暨舉8=31，

5

將短信數(shù)量從小到大排序得28,29,30,33,35,所以中位數(shù)為30.

故選：D.

5.已知橢圓C：（機(jī)＞4）的離心率為返，則橢圓C的長軸長為（）

m43

A.B.6C.2D.12

【分析】利用橢圓的離心率列出關(guān)系式，求解相即可得到橢圓長軸長.

解：由題意可知：1任叁=返，解得帆=6,所以橢圓長軸長為：2瓜.

Vm3

故選：C.

6.己知/表示一條直線，a,。表示兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若/_La,/〃0,則a_L0B.若/〃a,/〃0,則a〃°

C.若/ua,a±p,則L0D.若/ua,/〃0,則a〃0

【分析】利用線面平行，面面平行的判定及性質(zhì)，線面垂直面面垂直的判定及性質(zhì)來分

析，進(jìn)而得出答案.

解：A、若/_La,/〃0,則。，仇故A正確；

B、若/〃。，/〃0,則a與0平行或相交，故5錯(cuò)誤;

C、若/ua,a±p,則/與0相交或平行，故。錯(cuò)誤；

D、若/ua,/〃0,則a與0平行或相交，故。錯(cuò)誤.

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=ln'}+asinx+2,且/(m)=5,則/(-m)=()

x+1

A.-5B.-3C.-1D.3

解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=歷'++4sin￥+2,

x+1

貝(]f(-x)=bi-X[+〃sin(-x)+2=-ln^---asinr+2,

-x+1x+1

則有ya)-%)=%

故/(m)t/*(-機(jī))=5,

若/(m)=5,則/(-機(jī))=-1,

故選：C.

8.有以下四種變換方式：

TT

①向左平移個(gè)單位長度，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變；

TT

②向左平移;個(gè)單位長度，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變；

4

JT

③將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移;個(gè)單位長度；

4

TT

④將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移;個(gè)單位長度.

4

TT

其中能將函數(shù)y=sin(2x——)的圖象變?yōu)楹瘮?shù)y=sin%圖象的是()

4

A.①③B.②③C.①④D.②④

【分析】由題意利用函數(shù)尸Asin(a)x+(p)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

11j11'jI

解:①把函數(shù)尸sin(2%-丁)的圖象，向左平移右個(gè)單位長度，可得函數(shù)>>-sin(2x+—

JT

=sin2x的圖象；

4

再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，即可變?yōu)楹瘮?shù)y=siar圖象，故

①正確.

1IJIJ[

②把函數(shù)》=5足(2X--)的圖象，向左平移十個(gè)單位長度，可得函數(shù)》=5皿(2A-+—

442

jrjr

---)=sin(2x+—-)的圖象，

44

K

再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍‘縱坐標(biāo)不變’即可得到＞=,也(＞工)的圖象'

故②錯(cuò)誤.

③把函數(shù)、=5皿(2；1-；TT)的圖象，將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,

4

K

可得y=sin(x--)的圖象，

4

再向左平移勺TT個(gè)單位長度，即可得到曠=《似的圖象，故③正確.

4

TT

④把函數(shù)丁=疝(2x-)的圖象，將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,

4

TT

可得y=sin(x-)的圖象，

4

jrTT

再向右平移；個(gè)單位長度，可得y=sin(x-)=-cosx的圖象，故④錯(cuò)誤，

42

故選：A.

9.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，采取三局兩勝制(只要有一人勝了兩局，比賽就結(jié)束).己

知每局比賽甲獲勝的概率是?!，乙獲勝的概率是?1，則甲最終獲勝的概率是()

55

A.衛(wèi)B.反C.2D.其

125125125125

【分析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解.

解：甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，采取三局兩勝制(只要有一人勝了兩局，比賽就結(jié)束).

每局比賽甲獲勝的概率是多乙獲勝的概率是看，

55

則甲最終獲勝的概率是：

尸=囁2+cJx|x|x|81

125

故選：D.

10.我們學(xué)過用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因?yàn)樵诎?/p>

徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個(gè)

常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制

下，角。的面度數(shù)為察，則cos?=()

122

AV6W2RV6-V2r百+1DMT

4444

【分析】設(shè)角9所在的扇形的半徑為「，利用面度數(shù)的定義及扇形的面積公式可得0,利

用兩角和的余弦公式即可求解cos)-的值.

解：設(shè)角e所在的扇形的半徑為r,由扇形的面積公式可得S=gei?凡

S5兀

e5兀，兀兀、Ji7T.兀.兀

可得cos---=cos----=COS(---1----)=COS---CI：os----sin----sin——

212464646

返v1-V6-V2

T'5一_r~

故選：B.

11.陽馬，中國古代算數(shù)中的一種幾何體，它是底面為長方形，兩個(gè)三角面與底面垂直的四

棱錐.已知在陽馬P-ABC。中，平面A8C￡>,PO=3,且陽馬尸-ABCQ的體積為

9,則陽馬P-A8CD外接球表面積的最小值是()

A.兀B.9^/3nC.27ITD.27^^

【分析】利用陽馬的體積，結(jié)合外接球的半徑，通過余弦定理以及基本不等式求解外接

球的表面積的最小值即可.

解：由題意可知陽馬的體積為：^AB-BC-PD^AB-BC=9,設(shè)陽馬的外接球的半徑為K,

則4/?2=AB2-^-BC2+PD1=AB2+BC2+92AB?BC+9=27,當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC時(shí)等號(hào)成立，

所以陽馬的外接球的表面積4nR2227n.

故選：C.

12.已知。=38>，b—ee\。=冗鏟，則()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

lnx

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x),利用導(dǎo)數(shù)可得一(X)的單調(diào)性，從而可比較a,C的大

e

小，設(shè)g(x)=沖(a>0),由幕函數(shù)的單調(diào)性即可比較4c的大小，從而可得結(jié)論.

11,

解：設(shè)/(X1nY)則/(x)=..x...-IEr)YX,

ex

e

當(dāng)時(shí)，—-/A!X<0,則，(x)<0,故/(尤)在［e,+°°)上單調(diào)遞減，

x

］n3In兀

因?yàn)閑V3VIT,所以一“>—,所以"勿3>冽師，則二，BPa>c.

ee

設(shè)g（x）=A?（a>0）,則g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

因?yàn)閑Vir,所以=/二V兀e「即Z?Vc,

所以b<c<a.

故選：D.

二、填空題（共4小題）?

13.已知向量@=（4,k）,b=（3，-6）,若貝Uk=2.

解：根據(jù)題意，向量之=（4,k）,芯=（3，-6）,

若:_1_弓則W'E=12-6Z=0,解可得女=2,

故答案為：2.

14.（X-1）（X+1）6的展開式中，］5的系數(shù)為9.（用數(shù)字作答）

解：（%-1）（X+1）6的展開式中，好的系數(shù)為4-c；=9,

故答案為：9.

15.在梯形A8CD中，AB//CD,48=1,CO=3,AD=?4C=依，則△ABC的面積是

1

~2~'

【分析】在△A8C中，由余弦定理可得NAOC的值，進(jìn)而求出的面積，故△ABC

的面積為［■SAACO.

解：在△ACD中，由余弦定理可得：cos/A￡>C=人口2心2_人、2/+汰返,

_2AD-CD2X72X32

所以sinZADC=^,

2_

所以△AC。的面積為：-^4D*CDsinZADC=yx^/2義3乂亨="|"，

因?yàn)镃D=—AB.

3

所以△ABC的面積為《X-^-=

322

故答案是：■1.

16.己知圓C：（x+3）2+）,2=4,動(dòng)圓M過點(diǎn)A（3,0）,且圓與圓M外切，則動(dòng)圓用的

2

圓心M的軌跡方程是--A/

o

【分析】根據(jù)兩圓外切條件，得到M點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的定義即可進(jìn)行

求解.

【解答】設(shè)圓”的圓心為M（x,y）>由題意可得圓C的圓心為C（一3,0）,半徑r

=2,

則|MC|—|AM|=r=2<6,故點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的右支.

由雙曲線的性質(zhì)可知該雙曲線的實(shí)軸長24=2,焦距2c=6,則〃=1,6=8,

故該雙曲線的方程是X2,xi=1，

2

即動(dòng)圓M的圓心M的軌跡方程是x2_?_=i（x》l）.

8

故答案為X2上=1（G1）.

8

三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每道試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共

60分

17.在等比數(shù)列｛斯｝中,42=3,45=81.

（1）求｛?,｝的通項(xiàng)公式；

（2）若6"=a"/"+i,求數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和S”.

【分析】（1）由題設(shè)求得等比數(shù)列｛%｝的公比4,即可求得其通項(xiàng)公式；

（2）先由（1）求得為，再利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求得其前〃項(xiàng)和即可.

解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛?！埃墓葹閝,

21

由題設(shè)可得：爐=一二=差=27,解得：q=3,

；.〃"=42/-2=3*3"-2=3"-|；

(2)由(1)可得:瓦=3"1*3"=3比1,

???數(shù)列｛瓦｝是首項(xiàng)為3,公比為9的等比數(shù)列,

.?㈤尸立旦

1-98

18.如圖，在正方體ABC。-AiBCQi中，E,尸分別在棱44”BBi上,且4E=24E,BF

=2B\F.

（1）證明：AC〃平面DEF；

（2）求二面角4-OE-F的余弦值.

【分析】（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理證明；（2）用向量數(shù)量積計(jì)算二面角的

余弦值.

【解答】（1）證明：連接8。交AC于取。尸中點(diǎn)M連接MMNE,

M為8。中點(diǎn)，所以MN〃BF,MN*BF=AE,

又因?yàn)锳E〃BF,所以MN〃AE,

所以四邊形AENM為平行四邊形，所以AM//EN,又因?yàn)镋Nu平面OEF,AMC平面DEF,

所以AC〃平面DEF.

（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=3,

E(0,0,2),F(3,0,1),D(0,3,3),

EF=（3,0,-1）,ED=（°，3,1）,

設(shè)平面OEF的法向量為7=（X，y，z）,

EF?m=3x-z=0

令z=3,1r=-1,3),

LED?m=3y+z=0

平面AOE的法向量為n=（1,0,0）,

mF

因?yàn)槎娼茿-DE-/為鈍角，所以其余弦值為一1=.逗

Vn-iii

mn

故二面角A-DE-F的余弦值為-H

19.新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外所有的其他能源汽車，被認(rèn)為能減少空氣污染

和緩解能源短缺.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車產(chǎn)業(yè)必將成為未來汽車產(chǎn)

業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).新能源汽車也越來越受到消費(fèi)者的青睞.某機(jī)構(gòu)調(diào)查了某地區(qū)近

期購車的200位車主的性別與購車種類情況，得到數(shù)據(jù)如下：

購置新能購置傳統(tǒng)合計(jì)

源汽車燃油汽車

男性10020120

女性503080

合計(jì)15050200

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為是否購置新能源汽車與性別有關(guān)；

(2)用分層抽樣的方法按性別從被調(diào)查的購置新能源汽車的車主中選出9位，參加關(guān)于

“新能源汽車駕駛體驗(yàn)”的問卷調(diào)查，并從這9位車主中隨機(jī)抽取3位車主贈(zèng)送一份小

禮物，記這3位車主中女性車主的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

參考公式：H=---------R(a@-bc)--------＞其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：

P(爛2公)0.100.050.0100.00

ko2.7063.8416.63510.828

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；

(2)X的可能取值為0,1,2,3,分別求出對應(yīng)的概率，即可求得分布列和方差.

解：(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得爛=空絲包亞里色區(qū)遮2=工&七11/11,

120X80X60X150X509

因?yàn)?1.111>10,828,

所以有99.9%的把握認(rèn)為是否購置新能源汽車與性別有關(guān).

(2)用分層抽樣的方法按性別從被調(diào)查的購置新能源汽車的車主中選出9位，其中男性

車主有，上0X9=6人,女性車主有3人,

100+15c0

則X的可能取值為0,1,2,3,

C2c1C%2

_b6_R2

P(X=0)二,P(X=l)==—,P(X=2)=二旦，P(X=3)

r32128314

^9c

C1

84

則X的分布列為:

X0123

p51531

五28五84

故2°義導(dǎo)嚙2X*X?.

20.已知拋物線C：f=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線C上點(diǎn)A(-2p,0).若

當(dāng)M尸_Lx軸時(shí)，/的面積為5.

(1)求拋物線C的方程;

(2)若求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)題中的條件，可表示出點(diǎn)M的做標(biāo)，利用三角形的面積，即可解出;

(2)利用題中的條件，正切函數(shù)二倍角公式，即可解出.

解：(1)當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)M(2士p),F(20),

22

pHP

貝lJ|A/q=1_+2P=號(hào)，|MP|=p,

?'-SAMAF^fl^lX-^-XP=5,解得p=2,

所以拋物線方程為W=4x.

(2)設(shè)M(刈，yo),由(1)可知A(-4,0),F(1,0),

,y,y

tan/MAF=—0tanNMFA=------0p

Xo+4x0-l

因?yàn)镹ME4+2NM4F=Tr,

2tan/MAF

所以tanZA/FA=-tan(2ZMAF)

l-tan2ZMAF

2X—

yx+4

??.一n?=——六n一，整理得yo(Xo29+2xo-24)=O，

°2

x0+4

解得xo=4或xo=-6,或yo=O,因?yàn)?加/%+2/肱4/=11,所以xo>O,

.*.xo=4,

.*.yo=±4,

故點(diǎn)例的坐標(biāo)為（4,4）或（4,-4）.

21.已知函數(shù)/(x)--^ax2-Inx(a>0).

(1)求f(x)的最值；

（2）若函數(shù)/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)XI,X2.

①求。的取值范圍.

②證明：X|+X2>空3.

a

1J」

【分析】（1）求導(dǎo)得，（x）—ax---=旦^---L,分別令（x）>0,f（x）<0,

XX

即可得出了（X）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最值.

（2）①若/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)，則/（X）min—lna+1<0,解得a的取值范圍.

2

②不妨設(shè)XI<X2,由（1）可知見<返<X2,即名反-附>返，要證X|+X2>2i反，只

aaaa

需證X2>Z^-XI,結(jié)合了（X）的單調(diào)性，且/（X2）=0,則只需證f（2ZL-X］）<0,

aa

即可得出答案.

解：（1）因?yàn)椋?x)=ax--_1L,

XX

得X〉返，/(x)單調(diào)遞增,

所以/(x)>0,

a

令，（%）<0,得0<x<￡,/（x）單調(diào)遞減,

a

所以/（X）的最小值為了（返）嶗支，f（x）無最大值.

a

（2）①因?yàn)?CO有兩個(gè)零點(diǎn)，所以/CO,,,,,,<0,

由（1）可知/（X）而”=典也，則ln：+l<0,解得0<“<工,

1a

此時(shí)f(—)=唬+lX),

e2ez

當(dāng)]f+8時(shí)，f(x)->4-oo,

所以f（X）在（0,+8）上有兩個(gè)零點(diǎn)，

故“的取值范圍是（0,-）.

e

②證明：不妨設(shè)XI<X2,由（1）可知也〈返<及，則2返-R>返，

aaa

要證X|+X2>2G,只需證X2>2返-XI,

aa

由（1）可知f（x）在（返，+8）上單調(diào)遞增，且『（X2）=0,則只需證/（冬￡-?）

aa

<0,

因?yàn)?(xi)=-^axr-lnx\=Ot所以■^&r]2=/nX|,

則25.-Xi)2(2/5-XI)=1的-I〃(量L-xi)-2心1+2,

aaaa

設(shè)g(/)=/"-/〃-2?f+2(0<r<￡)

aa

嶇[l-at當(dāng)G

11鑰_2八11-1;(2V