【經(jīng)典專題】空間幾何的外接球和內(nèi)切球教師版

PAGEPAGE6專題〔一〕——空間幾何體的外接球和內(nèi)切球一、典例探究類型一、墻角模型〔三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑〕.方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出.例1：各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，那么這個(gè)球的外表積是〔〕.A．B．C．D．解：，，，，選C.變式1、假設(shè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，那么其外接球的外表積是.解：，.變式2、在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且,假設(shè)側(cè)棱,那么正三棱錐外接球的外表積是.解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互垂直.如圖〔3〕-1，取的中點(diǎn)，連接，交于，連接，那么是底面正三角形的中心，平面，，，，，平面，，同理：，，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，此題圖如圖〔3〕-2，，，，，平面，，，，，平面，，故三棱錐的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，，即，正三棱錐外接球的外表積是.變式3、在四面體中，，那么該四面體的外接球的外表積為〔〕.解：在中，，，的外接球直徑為，，，選D.變式4、如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為、、，那么它的外接球的外表積是.解：三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為〔〕，那么，，，，，，.變式5、某幾何體的三視圖如下圖，三視圖是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為的正方形，那么該幾何體外接球的體積為.解：，，.類型二、垂面模型〔一條直線垂直于一個(gè)平面〕模型1：如圖5，平面.解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，那么必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑〔三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得〕，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②.模型2：如圖6，7，8，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，那么三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高〔也是圓錐的高〕；第三步：勾股定理：，解出.方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓.例2、一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，那么該幾何體外接球的外表積為〔〕.A．B．C． D．以上都不對(duì) 解：選C，,,,,.類型三、切瓜模型〔兩個(gè)平面互相垂直〕模型1：如圖9-1，平面平面，且〔即為小圓的直徑〕第一步：易知球心必是的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，求出.模型2：如圖9-2，平面平面，且〔即為小圓的直徑〕..模型3：如圖9-3，平面平面，且〔即為小圓的直徑〕，且的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，那么三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高〔也是圓錐的高〕；第三步：勾股定理：，解出.模型4：如圖9-4，平面平面，且〔即為小圓的直徑〕，且，那么利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①.=2\*GB3②.例3、正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，假設(shè)該棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，那么該球的外表積為.解：〔1〕由正弦定理或找球心都可得，，變式1、正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么此球的體積為.解：方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心處，，.方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是的外接圓，此處特殊，的斜邊是球半徑，，，.變式2、在三棱錐中，,側(cè)棱與底面所成的角為，那么該三棱錐外接球的體積為〔〕.A．B.C.4D.解：選D，圓錐在以的圓上，.變式3、三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上,是邊長(zhǎng)為的正三角形,為球的直徑,且，那么此棱錐的體積為〔〕.A．B． C．D．解：，，，選A.類型四、漢堡模型〔直棱柱的外接球、圓柱的外接球〕模型：如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球〔同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形〕第一步：確定球心的位置，是的外心，那么平面；第二步：算出小圓的半徑，〔也是圓柱的高〕；第三步：勾股定理：，解出.例4、一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的體積為.解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為，正六棱柱的高為，底面外接圓的關(guān)徑為，那么，底面積為，，，，，球的體積為.變式1、直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，假設(shè),，那么此球的外表積等于.解：，，，，.變式2、所在的平面與矩形所在的平面互相垂直，，那么多面體的外接球的外表積為.解：折疊型，法一：的外接圓半徑為，，；法二：，，，，.變式3、在直三棱柱中，那么直三棱柱的外接球的外表積為.解：，，，，，.類型五、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11)第一步：先畫出如下圖的圖形，將畫在小圓上，找出和的外心和；第二步：過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心，連接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：.例5、三棱錐中，平面平面，△和△均為邊長(zhǎng)為的正三角形，那么三棱錐外接球的半徑為.解：，，，，；法二：，，，，.類型六、對(duì)棱相等模型〔補(bǔ)形為長(zhǎng)方體〕模型：三棱錐〔即四面體〕中，三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑〔，，〕第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，，，，列方程組，.補(bǔ)充：.第三步：根據(jù)墻角模型，，，，求出，例如，正四面體的外接球半徑可用此法.例6、棱長(zhǎng)為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，假設(shè)過該球球心的一個(gè)截面如圖，那么圖中三角形(正四面體的截面)的面積是.解：截面為，面積是；變式1、一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，那么該正三棱錐的體積是〔〕.A．B．C．D．解：高，底面外接圓的半徑為，直徑為，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，那么，，，三棱錐的體積為.變式2、在三棱錐中，那么三棱錐外接球的外表積為.解：如圖12，設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為，那么，，，，，，.變式3、如下圖三棱錐，其中那么該三棱錐外接球的外表積為.解：同上，設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為，，，，.變式4、正四面體的各條棱長(zhǎng)都為，那么該正面體外接球的體積為.解：這是特殊情況，但也是對(duì)棱相等的模式，放入長(zhǎng)方體中，，，.類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐)模型模型：，求三棱錐外接球半徑〔分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)，連接，那么，為三棱錐外接球球心，然后在中求出半徑〕，當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.例7、在矩形中，，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，那么四面體的外接球的體積為〔〕.A．B．C．D．解：，，，選C.變式、在矩形中，，，沿將矩形折疊，連接，所得三棱錐的外接球的外表積為.解：的中點(diǎn)是球心，，.類型八、錐體的內(nèi)切球問題模型1：如圖14，三棱錐上正三棱錐，求其外接球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求，，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出.模型2：如圖15，四棱錐上正四棱錐，求其外接球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點(diǎn)共線；第二步：求，，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出.模型3：三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑.方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等.第一步：先畫出四個(gè)外表的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：.第三步：解出.二、課后穩(wěn)固1．假設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，，那么該三棱錐的外接球半徑為〔〕.A. B. C. D.解：，，選A.2.三棱錐中，側(cè)棱平面，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，那么該三棱錐的外接球體積等于.解：，，，，外接球體積.3．正三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，那么該三棱錐的外接球體積等于