2023-2024學(xué)年湘教版必修第一冊(cè) 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 課件（36張）

4.4函數(shù)與方程4.4.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象與性質(zhì),了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.2.了解零點(diǎn)存在性定理、會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).通過對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的學(xué)習(xí),使學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在研究函數(shù)中的作用,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪函數(shù)零點(diǎn)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象是一條

的曲線,當(dāng)x從a到b逐漸增加時(shí),如果f(x)連續(xù)變化而且

,則存在x0∈(a,b),使

.如果y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)恰有一個(gè)根.知識(shí)探究連續(xù)不斷f(a)·f(b)<0f(x0)=0小試身手1.函數(shù)f(x)=lg(x-1)的零點(diǎn)是(

)(A)1 (B)(0,2)(C)2 (D)(2,0)C解析:由lg(x-1)=0得x=2.故選C.2.函數(shù)f(x)=2x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:因?yàn)閒(0)=-2<0,f(1)=2-3=-1<0,f(2)=4-3=1>0,f(3)=5>0,f(4)=13>0.所以f(1)·f(2)<0,即f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).故選B.B3.函數(shù)f(x)=x2-2x在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

.

解析:函數(shù)f(x)=x2-2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù),等價(jià)于函數(shù)y=2x,y=x2的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).如圖,畫出函數(shù)y=2x,y=x2的大致圖象.由圖象可知有3個(gè)交點(diǎn),即f(x)=x2-2x有3個(gè)零點(diǎn).答案:3答案:2課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)探究角度1根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)零點(diǎn)[例1]判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請(qǐng)求出.(1)f(x)=-x2-4x-4;解:(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2.所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為-2.[例1]判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請(qǐng)求出.[例1]判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請(qǐng)求出.(3)f(x)=4x+5;解:(3)令4x+5=0,則4x=-5<0,而4x>0,所以方程4x+5=0無實(shí)數(shù)根.所以函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn).[例1]判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請(qǐng)求出.(4)f(x)=log3(x+1).解:(4)令log3(x+1)=0,解得x=0.所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為0.

即時(shí)訓(xùn)練1-1:求下列函數(shù)的零點(diǎn).(1)f(x)=2x-1-3;解:(1)令2x-1-3=0,得x=log26,所以函數(shù)的零點(diǎn)是log26.即時(shí)訓(xùn)練1-1:求下列函數(shù)的零點(diǎn).即時(shí)訓(xùn)練1-1:求下列函數(shù)的零點(diǎn).解:(3)當(dāng)x>0時(shí),由f(x)=0,即lnx=0,解得x=1;當(dāng)x≤0時(shí),由f(x)=0,即ex+1-1=0,解得x=-1.綜上,該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)為1和-1.方法總結(jié)根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)零點(diǎn)的兩種方法(1)代數(shù)法:求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根.(2)幾何法:對(duì)于不易求根的方程f(x)=0,可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來,圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).注意:幾何法常用來判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).探究角度2確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間(A)(0,1) (B)(1,2)(C)(2,3) (D)(3,+∞)答案:1方法總結(jié)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟(1)代入:將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)的值.(2)判斷:把所得的函數(shù)值相乘,并進(jìn)行符號(hào)判斷.(3)結(jié)論:若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù).則在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn);若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù),則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).探究角度3判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(A)0 (B)1 (C)2 (D)無數(shù)即時(shí)訓(xùn)練3-1:函數(shù)f(x)=ex+x-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)(A)1 (B)2 (C)0 (D)無數(shù)個(gè)解析:f(x)=0,即ex=1-x.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y=ex與y=1-x的圖象如圖所示.由圖象可知只有一個(gè)交點(diǎn),因此函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.故選A.方法總結(jié)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四種常用方法(1)利用方程根,轉(zhuǎn)化為解方程,有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)根就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)結(jié)合單調(diào)性,利用零點(diǎn)存在性定理,可判定y=f(x)在(a,b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(4)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.探究點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍[例4]已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a,求實(shí)數(shù)a取何值時(shí)函數(shù)f(x),(1)有兩個(gè)零點(diǎn);解:令h(x)=|x2-2x-3|,g(x)=a,如圖所示,它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)a=0或a>4時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).[例4]已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a,求實(shí)數(shù)a取何值時(shí)函數(shù)f(x),(2)有三個(gè)零點(diǎn).解:(2)a=4時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).解析:當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3,不合題意,當(dāng)a≠0時(shí),由題意知f(-1)·f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,解得a<-3或a>1.故選A.即時(shí)訓(xùn)練4-1:已知函數(shù)f(x)=2ax-a+3,若?x0∈(-1,1),f(x0)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)(A)(-∞,-3)∪(1,+∞)(B)(-∞,-3)(C)(-3,1)(D)(1,+∞)方法總結(jié)已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.探究點(diǎn)三二次函數(shù)的零點(diǎn)分布(二次方程根的分布)問題[例5]已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩實(shí)數(shù)根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求m的取值范圍;[例5]已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(2)若方程兩不相等的實(shí)數(shù)根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),求m的取值范圍.即時(shí)訓(xùn)練5-1:方程x2-2ax+1=0的兩根分別在(0,1)與(1,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)方法總結(jié)一元二次方程在給定區(qū)間上根的分布問題(1)若二次方程的根在兩個(gè)區(qū)間上,則結(jié)合題意畫出函數(shù)圖象,只研究函數(shù)端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào).(2)若二次方程的根在一個(gè)區(qū)間上,則要考慮判別式的符號(hào),端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)以及對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系.備用例題解析:當(dāng)x>0時(shí),由f(x)=lnx=0,得x=1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),所以當(dāng)x≤0時(shí),函數(shù)f(x)=2x-a有一個(gè)零點(diǎn).令f(x)=0得a=2x,因?yàn)?<2x≤20=1,所以0<a≤1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1].答案:(0,1][例2]求函數(shù)f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解:法一因?yàn)閒(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg2-2>0,所以f(x)在(0,1)上必定存在零點(diǎn).又顯然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上遞增.故函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).法二在同一平面直角坐標(biāo)系下作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+