2023-2024學年湘教版必修第一冊 角的概念的推廣 課件（35張）

核心知識目標核心素養(yǎng)目標1.結合實例,了解角的概念的推廣及其實際意義.2.理解象限角的概念,并掌握終邊相同角的含義及其表示.1.通過角的概念的推廣過程,經(jīng)歷由具體到抽象,重點發(fā)展學生的數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).2.通過象限角及終邊相同角的應用,加強邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)的培養(yǎng).知識探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識探究·素養(yǎng)啟迪1.角的概念的推廣(1)角的概念:角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著其端點從初始位置旋轉到終止位置所成的圖形.(2)角的分類:按旋轉方向可將角分為如下三類:知識探究逆時針名稱定義圖形正角以

方向旋轉所成的角負角以

方向旋轉所成的角零角一條射線

旋轉所成的角順時針不(3)任意角:任意角包括

、

和

.2.象限角角的頂點為坐標原點,角的始邊為x軸的非負半軸,那么,角的終邊(除端點外)落在第幾象限,就說這個角是

.如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限.3.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構成一個集合{β|β=

},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與

的和.正角零角負角第幾象限角α+k·360°,k∈Z整數(shù)個周角小試身手1.角-120°的終邊所在象限是(

)(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限C解析:因為-120°=-360°+240°,又因為角240°終邊在第三象限,所以角-120°的終邊在第三象限.故選C.2.與-60°角的終邊相同的角是(

)(A)300° (B)240° (C)120° (D)60°解析:因為-60°=-360°+300°,所以與-60°角的終邊相同的角是300°.故選A.A3.射線OA繞端點O逆時針旋轉120°到達OB位置,由OB位置順時針旋轉270°到達OC位置,則∠AOC等于

.

解析:各角和的旋轉量等于各角旋轉量的和.所以120°+(-270°)=-150°.答案:-150°答案:82.5°課堂探究·素養(yǎng)培育探究點一角的概念辨析[例1]下列命題正確的是(

)(A)第一象限的角一定不是負角(B)小于90°的角一定是銳角(C)鈍角一定是第二象限的角(D)終邊相同的角一定相等解析:-300°是第一象限角,且是負角,故選項A錯;-45°<90°,但-45°不是銳角,故選項B錯;鈍角的集合是{α|90°<α<180°},是第二象限角,故選項C正確;-45°與315°是終邊相同的角,但不相等,故選項D錯.故選C.即時訓練1-1:已知集合A={第一象限角},B={銳角},C={小于90°的角},則下面的關系正確的是(

)(A)A=B=C (B)A?C(C)A∩C=B (D)(B∪C)?C解析:第一象限角可表示為k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z;銳角可表示為0°<β<90°;小于90°的角可表示為γ<90°;由三者之間的關系可知.選D.方法總結判斷角的概念問題的關鍵與技巧(1)關鍵:正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.(2)技巧:判斷命題為真需要證明,而判斷命題為假只要舉出反例即可.探究角度1求與已知角終邊相同的角[例2]已知角α=45°,在-720°～0°范圍內(nèi)找出所有與角α終邊相同的角β.探究點二終邊相同角的理解即時訓練2-1:在0°～360°范圍內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限角.(1)-120°;解:(1)因為-120°=240°-360°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與-120°角終邊相同的角是240°角,它是第三象限角.即時訓練2-1:在0°～360°范圍內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限角.(2)660°;解:(2)因為660°=300°+360°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與660°角終邊相同的角是300°角,它是第四象限角.即時訓練2-1:在0°～360°范圍內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限角.(3)-950°8′.解:(3)因為-950°8′=129°52′-3×360°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與-950°8′角終邊相同的角是129°52′角,它是第二象限角.方法總結在給定的區(qū)間內(nèi)尋找與某特定角度終邊相同角的方法(1)將所求的角β化為k·360°+α的形式(k∈Z),其中的α就是所給的角.(2)根據(jù)所給的區(qū)間及k·360°+α(k∈Z),尋找k的取值范圍.探究角度2終邊在射線(或直線)上角的集合[例3]分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合.解:①在0°～360°范圍內(nèi),終邊在直線y=0上的角有兩個,即0°和180°,因此,所有與0°角終邊相同的角構成集合S1={β|β=k·360°,k∈Z},而所有與180°角終邊相同的角構成集合S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,終邊在直線y=0上的角的集合為S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.[例3]分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合.解:②由圖形易知,在0°～360°范圍內(nèi),終邊在直線上的角有兩個,即135°和315°,因此,終邊在直線上的角的集合為S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.方法總結(1)終邊共線的角的寫法:分別寫出每條終邊所代表的角集合,然后取并集.在取并集時要化簡合并.(2)一般地,與角α(0°≤α<180°)的終邊在一條直線上角的集合是{β|β=k·180°+α,k∈Z}.探究角度3區(qū)域角的表示[例4]如圖所示.(1)寫出終邊落在射線OA,OB上的角的集合;解:(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.[例4]如圖所示.(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.解:(2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{β|k·360°+210°≤β≤k·360°+300°,k∈Z}.[變式訓練4-1]將本例圖改為如圖所示,試寫出終邊落在圖中陰影部分的角的集合.解:設終邊落在陰影部分的角為α,角α的集合由兩部分組成:①{α|45°+k·360°≤α<135°+k·360°,k∈Z}.②{α|k·360°+225°≤α<k·360°+315°,k∈Z}.所以角α的集合應當是集合①與②的并集,{α|45°+k·360°≤α<135°+k·360°,k∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α<k·360°+315°,k∈Z}={α|2k·180°+45°≤α<2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+45°≤α<(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|n·180°+45°≤α<n·180°+135°,n∈Z}.方法總結區(qū)域角是指終邊落在坐標系的某個區(qū)域內(nèi)的角.寫出區(qū)域角的步驟如下(1)確定邊界線對應的角:確定起始和終止邊界線分別對應的一個角α,β,-360°<α<360°,-360°<β<360°.(2)寫出終邊相同的角:邊界線為射線時,終邊相同的角為α+k·360°,β+k·360°,k∈Z;邊界線為直線時,終邊相同的角為α+k·180°,β+k·180°,k∈Z.(3)寫出角的集合:按逆時針旋轉規(guī)則,從小到大寫出角的集合.易錯警示在書寫集合時,邊界線是實線寫成閉區(qū)間,邊界線是虛線寫成開區(qū)間;當右端點對應的0°～360°內(nèi)的角小于左端點對應的0°～360°內(nèi)的角時,左端點用相應的負角.方法總結(1)象限角的判定方法①根據(jù)圖象判定.利用圖象實際操作時,依據(jù)是終邊相同的角的概念.②將角轉化到0°～360°范圍內(nèi),在直角坐標平面內(nèi),0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的.備用例題解析:終邊落在第一象限的角不一定是銳角,如400°的角是第一象限角,但不是銳角,故①的說法是錯誤的;同理第二象限角也不一定是鈍角,故③的說法也是錯誤的;360°角的始邊和終邊也重合,故④的說法是錯誤的.答案:②⑤[例1]下列說法中,正確的是

(填序號).

①終邊落在第一象限的角為銳角;②銳角是第一象限角;③第二象限角為鈍角;④始邊和終邊重合的角是零角;⑤角α與-α的終邊關于x軸對稱.[例2](1)已知角θ的終邊與角α的終邊關于x軸對稱,則θ+α=

;

解析:(1)設角β與角α的終邊相同,則-β與β關于x軸對稱,根據(jù)終邊相同角的表示,可得α=β+k1·360°,k1∈Z,θ=-β+k2·360°,k2∈Z,故θ+α=(-β+k2·360°)+(β+k1·360°)=(k1+k2)·360°=k·360°,k∈Z.答案:(1)k·360°,k∈Z(2)若角γ的終邊與角α的終邊關于y軸對稱,則γ+α=

.

解析:(2)設角β與角α的終邊相同,則180°-β與β關于y軸對稱,根據(jù)終邊相