銳角三角函數(shù) 省賽獲獎

第4章銳角三角函數(shù)sinA=cosA=tanA=知識概要（一）銳角三角函數(shù)的概念分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切、余切，統(tǒng)稱為銳角∠A的三角函數(shù).0＜sinA＜1，0＜cosA＜1

這些函數(shù)值之間有什么關(guān)系？（二）同角三角函數(shù)之間的關(guān)系sin2A+cos2A=1tanA=sinA/cosAtanA

cotA=1（三）互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系sinA=cos（90

-A）知識概要（四）三角函數(shù)值的變化規(guī)律1）當(dāng)角度在0---90之間變化時，正弦值（正切值）隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）當(dāng)角度在0---90之間變化時，余弦值（余切值）隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?1角度逐漸增大正弦值如何變化?正弦值也增大余弦值如何變化?余弦值逐漸減小正切值如何變化?正切值也隨之增大余切值如何變化?余切值逐漸減小cotαtanαcosαsinα60°45°30°角度三角函數(shù)0

90

01001不存在不存在0（五）特殊的三角函數(shù)值知識概要知識概要填空：比較大小°68sin3）（知識概要（六）解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。若直角三角形ABC中，∠C=90

，那么∠A，∠

B，∠

C，a,b,c中除∠C=90°外，其余5個元素之間有如下關(guān)系：（1）a2+b2=c2（2）∠A+∠B=90

（3）baACBCA的鄰邊A的對邊tanA==DD=只要知道其中2個元素（至少要有一個是邊）就可求出其余3個未知數(shù)1）仰角和俯角鉛直線水平線視線視線仰角俯角在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.知識概要（七）應(yīng)用問題中的幾個重要概念以正南或正北方向為準(zhǔn)，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于900的角,叫做方向角.如圖所示：30°45°BOA東西北南2）方向角45°45°西南O東北東西北南西北東南坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a，有i＝=tana顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.在修路、挖河、開渠和筑壩時，設(shè)計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度.如圖:坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.記作i,即I=.3）坡度（坡比）,坡角的概念☆考點范例解析1.銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系1）在Rt

ABC中，∠C=90°BC=a，AC=b若sinA﹕sinB=2﹕3，求a﹕b的值銳角三角函數(shù)的概念解法1設(shè)AB=c由三角函數(shù)的定義得：sinA﹕sinB=a/c﹕b/c=a﹕b∴a﹕b=2/3解法2由三角函數(shù)的定義得：a=csinA,b=csinB,a/b=csinA/csinB∴a﹕b=sinA/sinB=2/3抓住三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵☆考點范例解析1.銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系銳角三角函數(shù)的概念2在

ABC中∠A≠∠B，∠C=90°則下列結(jié)論正確的是（）sinA>sinBsin2A+sin2B=1sinA=sinB若各邊長都擴大為原來的2倍，則tanA也擴大為原來的2倍A)(1)(3)B)(2)C)(2)(4)D)(1)(2)(3)解析：令a=3,b=4則c=5,sinA=3/5,sinB=4/5且∠A≠∠B，易知（1）（3）都不對，故選B）用構(gòu)造特殊的直角三角形來否定某些關(guān)系式，是解決選擇題的常用方法☆考點范例解析1.銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系特殊角的三角函數(shù)值2.求特殊角的三角函數(shù)值A(chǔ)）銳角三角形B）直角三角形D）鈍角三角形C）等邊三角形C☆考點范例解析1.銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系特殊角的三角函數(shù)值2.求特殊角的三角函數(shù)值點評融特殊角的三角函數(shù)值，簡單的無理方程的計算以及數(shù)的零次冪的意義于一體是中考命題率極高的題型之一☆考點范例解析1.銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系2.求特殊角的三角函數(shù)值3.互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系互余或同角的三角函數(shù)5.下列式中不正確的是（）C點評：應(yīng)用互余的三角函數(shù)關(guān)系進行正弦與余弦的互化，并了解同一個銳角的三角函數(shù)關(guān)系，能運用其關(guān)系進行簡單的轉(zhuǎn)化運算，才能解決這類問題?！羁键c范例解析1.銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系2.求特殊角的三角函數(shù)值3.互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系互余或同角的三角函數(shù)6在

ABC中∠C=90°化簡下面的式子7在

ABC中∠C=90°且求cosA的值點評：利用互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系的相關(guān)結(jié)論是解決這類問題的關(guān)鍵☆考點范例解析1.銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系2.求特殊角的三角函數(shù)值3.互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系4.解直角三角形解直角三角形點評：由于三角函數(shù)是邊之間的比，因此利用我們熟知的按比例設(shè)為參數(shù)比的形式來求解，是處理直角三角形問題的常用方法?！羁键c范例解析1.銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系2.求特殊角的三角函數(shù)值3.互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系4.解直角三角形解直角三角形ABC8.如圖小正方形的邊長為1，連結(jié)小正方形的三個頂點得到

ABC，則AC邊上是的高（）點評：作BC邊上的高，利用面積公式即可求出AC邊的高，面積法是解決此類問題的有效途徑☆考點范例解析1.銳角三角函數(shù)的概念關(guān)系2.求特殊角的三角函數(shù)值3.互余或同角的三角函數(shù)關(guān)系4.解直角三角形5.解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用9.如圖某人站在樓頂觀測對面的筆直的旗桿AB，已知觀測點C到旗桿的距離（即CE的長）為8米，測得旗桿頂?shù)难鼋恰螮CA為30°旗桿底部的俯角∠ECB為45°則旗桿AB的高度是（）米CABDEE點評：此題屬于解直角三角形的基本應(yīng)用題—測量問題，要明確仰角和俯角，然后數(shù)形結(jié)合直接從圖形出發(fā)解直角三角形.解直角三角形的應(yīng)用10.如圖某船以每小時30海里的速度先向正東方向航行，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上，航行3小時到達點B，測得該島在北偏東30°的方向上且該島周圍16海里內(nèi)有暗礁（1）試證明：點B在暗礁區(qū)外；（2）若繼續(xù)向東航行有無觸暗礁的危險？D解：1）由題意得，∠CAB=30°，∠ABC=120°

，則∠C=30°

，BC=AB=30×3=90>16∴點B在暗礁區(qū)外.2)如圖過點C作CD⊥AB交AB的延長線于D點，設(shè)BD=x，在Rt

BCD中，∠CBD=60°，∴船繼續(xù)向東航行沒有觸礁的危險。解直角三角形的應(yīng)用11）如圖AM，BN是一束平行的陽光從教室窗戶AB射入的平面示意圖，光線與地面所成的角∠AMC=30°，在教室地面的影長MN=米，若窗戶的下檐到教室地面的距離BC=1米，則窗戶的上檐到教室地面的距離AC為（）米B此題屬于光學(xué)問題的基本應(yīng)用，首先要對有關(guān)生活常識有所了解，從圖形入手，數(shù)形結(jié)合，將已知信息轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)模型去解。解直角三角形的應(yīng)用12）如圖，一張長方形的紙片ABCD，其長AD為a，寬AB為b(a>b)，在BC邊上選取一點M，將

ABM沿著AM翻折后，B至N的位置，若N為長方形紙片ABCD的對稱中心，求a/b的值。3點評：此題是創(chuàng)新綜合題，要求我們對圖形及其變換有較深刻的理解，并運用圖形對稱性和解直角三角形知識或勾股定理建立等式求解。解直角三角形的應(yīng)用13）一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行，途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由南向北移動，距臺風(fēng)中心海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺風(fēng)區(qū)，當(dāng)輪船到A處時，測得臺風(fēng)中心移到位于點A正南方向B處，且AB=100海里（1）若該輪船自A按原速度原方向繼續(xù)航行，在途中會不會遇到臺風(fēng)？東北AB解直角三角形的應(yīng)用13）一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行，途中接到臺