專題64反比例函數(shù)k的八種幾何模型及解法（原卷版）

模型介紹模型介紹考點(diǎn)1一點(diǎn)一垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的垂線、另一坐標(biāo)軸上一點(diǎn)（含原點(diǎn)）圍成的三角形面積等于|k|．【示例】拓展：【例1】．如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B分別在x軸，y軸正半軸上，動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，PA⊥x軸，△PAB是以PA為底邊的等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△PAB的面積將會(huì)（）A．越來越小 B．越來越大 C．不變 D．先變大后變小變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別是M、N，射線AB交x軸于點(diǎn)C，若OM＝MN＝NC，四邊形AMNB的面積是4，則k的值為．【變1-2】．如圖，在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P（2，3），M（a，2）是雙曲線y＝（k≠0）上的兩點(diǎn)，PA⊥x軸于點(diǎn)A，MB⊥x軸于點(diǎn)B，PA與OM交于點(diǎn)C，則△OAC的面積為（）A． B． C．2 D．考點(diǎn)2一點(diǎn)兩垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的兩條垂線所圍成的矩形面積等于|k|．【示例】【例2】．雙曲線與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，則△AOB的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，函數(shù)y＝（x＞0）和（x＞0）的圖象分別是l1和l2．設(shè)點(diǎn)P在l2上，PA∥y軸交l1于點(diǎn)A，PB∥x軸交l1于點(diǎn)B，△PAB的面積為．【變2-2】．如圖，直線AB∥x軸，分別交反比例函數(shù)y＝圖象于A、B兩點(diǎn)，若S△AOB＝2，則k2﹣k1的值為．【變2-3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M為y軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l∥x軸，l分別與反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，若S△AOB＝3，則k的值為．考點(diǎn)3兩曲一平行模型模型講解】?jī)蓷l雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條（或兩條）坐標(biāo)軸平行，求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積，過這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，結(jié)合k的幾何意義求解．類型1兩條雙曲線的k值符號(hào)相同【示例】【例3】．如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為16，且BF＝2AF，則k值為（）A．﹣8 B．﹣12 C．﹣24 D．﹣36變式訓(xùn)練【變3-1】．若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù)的圖象上．若正方形OABC的面積為1，則k的值為；點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【變3-2】．如圖，A、B兩點(diǎn)在雙曲線y＝上，分別經(jīng)過A、B兩點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線段，已知S陰影＝，則S1+S2等于．【變3-3】．如圖，在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，有點(diǎn)P1，P2，P3，P4，…，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，…．分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，…，則S1+S2+S3+…+Sn＝．（用n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）考點(diǎn)4兩點(diǎn)一垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)及坐標(biāo)軸上任一點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，等于坐標(biāo)軸所分的兩個(gè)三角形面積之和．【示例】【例4】．如圖，正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y＝﹣相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4，過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于B點(diǎn)，連接BC，下列結(jié)論：①k＝﹣；②不等式kx＜﹣的解集為﹣4＜x＜0或x＞4；③△ABC的面積等于16．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3變式訓(xùn)練【變4-1】．如圖所示，一次函數(shù)y＝kx（k＜0）的圖象與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，連接AC，則△ABC的面積為．【變4-2】．如圖，過點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，連接BC，則△ABC的面積為．【變4-3】．如圖，函數(shù)y＝x與y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直于y軸，垂足為C，連接BC，若S△ABC＝3，則k＝．考點(diǎn)5兩點(diǎn)兩垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|．示例】【例5】．如圖，正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則△ABD的面積為．變式訓(xùn)練【變5-1】．如圖，一次函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)上的圖象交于A，C兩點(diǎn)，AB∥y軸，BC∥x軸，若△ABC的面積為4，則k＝．【變5-2】．如圖，正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D，連接AD，BC，則四邊形ABCD的面積為．【變5-3】．如圖，直線分別與反比例函數(shù)y＝﹣和y＝的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)P，且P為線段AB的中點(diǎn)，作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸交于點(diǎn)D，則四邊形ABCD的面積是．考點(diǎn)6反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和外一點(diǎn)模型【模型講解】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積，若兩交點(diǎn)在同一分支上，用減法．【示例】方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．方法二：作AE⊥x軸于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)M，BF⊥x軸于點(diǎn)F，則S△OAM＝S四邊形MEFB（劃歸到模型一），則S△AOB＝S直角梯形AEFB．【拓展】方法一：當(dāng)或＝m時(shí)，則S四邊形OFBE＝m|k|．方法二：作EM⊥x軸于M，則S△OEF＝S直角梯形EMAF（劃歸到上一個(gè)模型示例）．【例6】．如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，則S△AOB＝（）A． B． C． D．6變式訓(xùn)練【變6-1】．如圖，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，且交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，A，點(diǎn)C在x軸上，且．若S△BCA＝12，則k的值為（）A．12 B．﹣12 C．﹣6 D．6【變6-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝與直線y＝交于A，B，x軸的正半軸上有一點(diǎn)C使得∠ACB＝90°，若△OCD的面積為25，則k的值為．【變6-3】．如圖，正比例函數(shù)y＝﹣x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，連接AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面積為10，則該反比例函數(shù)的解析式是．考點(diǎn)7反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和原點(diǎn)模型【模型講解】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積，若兩交點(diǎn)分別在兩個(gè)分支上，用加法．【示例】方法一：S△AOB＝OD·|xB－xA|＝OC·|yA－yB|．方法二：S△AOB＝S△AOC＋S△OCD＋S△OBD．方法三：作AE⊥y軸于點(diǎn)E，BF⊥x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AE與BF相交于點(diǎn)N，則S△AOB＝S△ABN－S△AOE－S△OBF－S矩形OENF．【例7】．如圖，直線AB交雙曲線于A、B，交x軸于點(diǎn)C，B為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于M，連接OA．若OM＝2MC，S△OAC＝12．則k的值為．變式訓(xùn)練【變7-1】．如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，若BD＝3AD，且四邊形ODBE的面積為21，則k＝．【變7-2】．如圖，點(diǎn)是直線AB與反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，已知D（0，1），連接AD，BD，BC．（1）求反比例函數(shù)和直線AB的解析式；（2）△ABC和△ABD的面積分別為S1，S2，求S2﹣S1．考點(diǎn)8兩雙曲線k值符號(hào)不同模型模型講解】?jī)蓷l雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條（或兩條）坐標(biāo)軸平行，求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積，過這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，結(jié)合k的幾何意義求解．類型1兩條雙曲線的k值符號(hào)相同【示例】【例8】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx與的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過A作y軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，連接BC，則△ABC的面積為（）A．2 B．3 C．5 D．6變式訓(xùn)練【變8-1】．如圖，過x軸正半軸上的任意一點(diǎn)P，作y軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的圖象交于B、A兩點(diǎn)．若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，則△ABC的面積為（）A．3 B．6 C．9 D．【變8-2】．如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是反比例函數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的圖象上的點(diǎn)，AB⊥x軸，點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn)，若S△ABC＝2，則m﹣n的值為．1．如圖，Rt△ABC的頂點(diǎn)A在雙曲線y＝的圖象上，直角邊BC在x軸上，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，OC＝4，連接OA，∠AOB＝60°，則k的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣22．如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)B，C在第一象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，若∠COA＝α，則k的值等于（）A．8sin2α B．8cos2α C．4tanα D．2tanα3．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸，＝．∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y＝的圖象過點(diǎn)C．當(dāng)以CD為邊的正方形的面積為時(shí)，k的值是（）A．2 B．3 C．5 D．74．如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且OA⊥OB，cosA＝，則k的值為（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣25．如圖，反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，1），過點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P（0，t），過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，點(diǎn)B經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的點(diǎn)B′在此反比例函數(shù)的圖象上，則t的值是（）A． B． C． D．6．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)B在y軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，2），若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則k的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．67．如圖，直線y＝與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）交于點(diǎn)A，將直線y＝向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，與y軸交于點(diǎn)C，與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）交于點(diǎn)B，若OA＝3BC，則k的值為（）A．3 B．6 C． D．8．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝2AB．A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（0，2），C，D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則k等于．9．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，且BE：BF＝1：m．過點(diǎn)E作EP⊥y軸于P，已知△OEP的面積為1，則k值是，△OEF的面積是（用含m的式子表示）10．如圖，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，點(diǎn)C在OA上，AC＝1，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過圓心P，則k＝．11．如圖，OABC是平行四邊形，對(duì)角線OB在軸正半軸上，位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y＝和y＝的一支上，分別過點(diǎn)A、C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：①＝；②陰影部分面積是（k1+k2）；③當(dāng)∠AOC＝90°時(shí)，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱．其中正確的結(jié)論是（把所有正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：y＝﹣x﹣1，雙曲線y＝，在l上取一點(diǎn)A1，過A1作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B1，過B1作y軸的垂線交l于點(diǎn)A2，請(qǐng)繼續(xù)操作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2，過B2作y軸的垂線交l于點(diǎn)A3，…，這樣依次得到l上的點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，…記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an，若a1＝2，則a2＝，a2013＝；若要將上述操作無限次地進(jìn)行下去，則a1不可能取的值是．13．如圖，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（a，3），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求a，k的值；（2）直線CD過點(diǎn)A，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，AC＝AD，連接CB．①求△ABC的面積；②點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在x軸上，若以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y1＝k1x+b與坐標(biāo)軸分別交于A（5，0），B（0，）兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y2＝的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接OP，△OAP的面積為．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．（2）當(dāng)y2＞y1時(shí)，求x的取值范圍．（3）若C為線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+KC最小時(shí)，求△PKC的面積．15．如圖，一次函數(shù)y＝x+1與反比例函數(shù)y＝的圖象相