2022-2023學年陜西省西安市長安區(qū)高一年級下冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年陜西省西安市長安區(qū)高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．復數(shù)的共軛復數(shù)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】結合復數(shù)的除法運算、共軛復數(shù)的概念和復數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由題意，所以復數(shù)的共軛復數(shù)，所以其共軛復數(shù)在復平面內對應的點為，在第二象限.故選：B.2．為了解學生參加體育鍛煉的情況,某學校從高一、高二、高三三個年級中按照分層抽樣的方式選取一定數(shù)量的學生展開調查.其中高一年級抽取了人,且高一、高二、高三年級學生人數(shù)為、、.則總共抽取的學生人數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分層抽樣的相關知識計算即可.【詳解】設總共抽取的學生人數(shù)為,則,解得,即總共抽取的學生人數(shù)為.故選:C.3．對于任意兩個向量，，下列說法一定正確的是（

）A．若，且，則 B．C．，則或 D．【答案】B【分析】根據向量的定義判斷A，根據向量加減的性質判斷B、D，根據向量數(shù)量積的定義判斷C.【詳解】對于A：向量不可以比較大小，故A錯誤；對于B：，當且僅當，反向時取等號，故B正確；對于C：若，則或或，故C錯誤；對于D：，當且僅當，同向時取等號，故D錯誤.故選：B4．在正三棱錐中，是的中心，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將轉化為，轉化為，由三棱錐是正三棱錐可知，，即可將轉化為，轉化為，結合勾股定理即可求解．【詳解】為正三棱椎，為的中心，∴平面，平面，∴，，△ABC是等邊三角形，∴，，故，，則．故選：D.

5．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為a，b，記，則（

）A．事件“”的概率為 B．事件“”與“”對立C．事件“”的概率為 D．事件“是偶數(shù)”與“”互斥【答案】D【分析】利用古典概率計算判斷AC；利用對立事件、互斥事件的意義判斷BD作答.【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，有36個基本事件，它們等可能，對于A，事件“”的事件即為的事件，只有1個結果，則，A錯誤；對于B，的事件與的事件可以同時發(fā)生，因此事件“”與“”不對立，B錯誤；對于C，的事件，即的事件，只有1個結果，，C錯誤；對于D，當時，是奇數(shù)，因此事件“是偶數(shù)”與“”不可能同時發(fā)生，它們互斥，D正確.故選：D6．底面半徑為的圓錐側面展開圖的圓心角大小為，則此圓錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，根據圓錐底面周長與側面弧長的關系建立方程，求得母線，由勾股定理求得高線，進而求得外接球半徑，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：

設圓錐的母線長為，由題意可得，解得，則圓錐的高，圓錐外接球的半徑設為，則，解得，故圓錐外接球的表面積.故選：A.7．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，的平分線交于點D，且，則的最小值為（

）A． B．12 C． D．9【答案】A【分析】先利用題給條件求得之間的關系，再利用均值定理即可求得的最小值.【詳解】由可得，，即，則，則（當且僅當時等號成立）故選：A8．已知MN是正方體內切球的一條直徑，點Р在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的線性運算和數(shù)量積運算律可得，根據正方體的特點確定最大值和最小值，即可求解【詳解】設正方體內切球的球心為，則,,因為MN是正方體內切球的一條直徑，所以，，所以，又點Р在正方體表面上運動，所以當為正方體頂點時，最大，且最大值為；當為內切球與正方體的切點時，最小，且最小為；所以，所以的取值范圍為，故選：B二、多選題9．復數(shù)，（，），下列說法正確的是（

）A．若為實數(shù)，則 B．若為實數(shù)，則C．若為純虛數(shù)，則 D．若為純虛數(shù)，則【答案】BCD【分析】利用復數(shù)的乘除運算結合實數(shù)的意義判斷AB；由共軛復數(shù)的意義、復數(shù)的乘除運算及純虛數(shù)的意義判斷CD作答.【詳解】復數(shù)，（，），對于A，是實數(shù)，則，A錯誤；對于B，是實數(shù)，則，B正確；對于C，是純虛數(shù)，則，此時，，即，C正確；對于D，是純虛數(shù)，則，此時，，即，D正確.故選：BCD10．如圖，在長方體中，點、分別是棱、上的動點（異于所在棱的端點）.則下列結論不正確的是（

）

A．在點運動的過程中，直線可能與平行B．直線與一定相交C．設直線、分別與平面相交于點、，則點可能在直線上D．設直線、分別與平面相交于點、，則點一定不在直線上【答案】BD【分析】取、分別為、的中點，證明出四邊形為平行四邊形，可判斷A選項；取、異面，可判斷B選項；取、分別為、的中點，證明出、、三點共線，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，在長方體中，當點、分別為、的中點時，取線段的中點，連接、、，

因為且，又因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，同理可證四邊形為平行四邊形，則且，又因為且，故且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，A對；對于B選項，因為平面平面，平面，平面，則、平行或異面，當、異面時，則、、、可視為三棱錐的四個頂點，此時，與異面，B錯；對于C選項，當點、分別為、的中點時，由勾股定理可得，對于CD選項，當點、分別為、的中點時，延長交直線于點，延長交直線于點，連接，如下圖所示：

因為，則，又因為，，所以，，所以，，因為，則，即為的中點，同理可知，為的中點，因為，，，所以，，則，因為，則，所以，、、三點共線，故點可能在直線上，C對D錯.故選：BD.11．根據流行病學的標準，某地在一段時間內沒有發(fā)生大規(guī)模群體性感染的標志為“連續(xù)5天，每天新增疑似病例少于10人”.根據過去5天四地記錄的數(shù)據，可以判定一定符合“沒有發(fā)生大規(guī)模群體性感染”的地點為（

）A．甲地：平均數(shù) B．乙地：平均數(shù)且極差C．丙地：眾數(shù)為5且極差 D．丁地：平均數(shù)且標準差【答案】BC【分析】舉特例否定選項AD；直接推理證得選項B判斷正確；反證法證得選項C判斷正確.【詳解】選項A：若過去5天四地的數(shù)據為時，滿足平均數(shù).不滿足“連續(xù)5天，每天新增疑似病例少于10人”.判斷錯誤；選項B：由平均數(shù)且極差，可得數(shù)據最大值，數(shù)據中最大值不會超過10，判斷正確；選項C：假設有一個數(shù)據，由眾數(shù)為5可得極差，與極差矛盾，則假設不成立，沒有數(shù)據.判斷正確；選項D：過去5天四地的數(shù)據為時，平均數(shù)為3，滿足,標準差為4，滿足.不滿足“連續(xù)5天，每天新增疑似病例少于10人”.判斷錯誤.故選：BC12．不透明盒子中裝有質地、大小完全相同的黃色、紅色、白色小球各一個，現(xiàn)從中有放回地抽取三次，則下列事件概率小于的是（

）A．顏色相同 B．顏色不全相同 C．顏色全不相同 D．沒有出現(xiàn)白球【答案】ACD【分析】利用獨立事件的概率公式、以及對立事件的概率公式計算出每個選項中事件的概率，可得出合適的選項.【詳解】由題意可知，從中任取一球，該球為黃色、紅色、白色的概率均為.對于A選項，從中有放回地抽取三次，則事件“顏色相同”的概率為，A滿足條件；對于B選項，從中有放回地抽取三次，事件“顏色不全相同”與事件“顏色相同”互為對立事件，故事件“顏色不全相同”的概率為，B不滿足條件；對于C選項，若三球顏色均不相同，則三球的顏色可依次為：黃紅白、黃白紅、紅黃白、紅白黃、白黃紅、白紅黃，所以，事件“顏色全不相同”的概率為，C滿足條件；對于D選項，事件“沒有出現(xiàn)白球”意味著每次摸的都不是白球，故事件“沒有出現(xiàn)白球”的概率為，D滿足條件.故選：ACD.三、填空題13．在中，，，，設，，，那么.【答案】【分析】根據給定條件，利用向量的加法運算及數(shù)量積運算律、數(shù)量積的定義求解作答.【詳解】在中，，，，則，而，所以.故答案為：14．攬月閣位于西安市雁塔南路最高點，承接大明宮、大雁塔，是西安唐文化軸的南部重要節(jié)點和標志性建筑，高約99米，可近似視為一個正四棱臺，塔底寬約36米，塔頂寬約25米.據此估算攬月閣體積為立方米.【答案】93093【分析】利用棱臺的體積公式計算作答.【詳解】依題意，攬月閣近似視為一個正四棱臺，其體積（立方米）.故答案為：9309315．若、是從集合中隨機選取的兩個不同的數(shù)，則使得函數(shù)是偶函數(shù)的概率為.【答案】/【分析】列舉出所有的基本事件，并確定事件“函數(shù)是偶函數(shù)”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】對于冪函數(shù)而言，當為奇數(shù)時，函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，函數(shù)為偶函數(shù)，若、是從集合中隨機選取的兩個不同的數(shù)，以為一個基本事件，則所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，若函數(shù)是偶函數(shù)，則、均為偶數(shù)，則必為偶數(shù)，所以，事件“函數(shù)是偶函數(shù)”所包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，故事件函數(shù)是偶函數(shù)”的概率為.故答案為：.16．在棱長為2的正方體中，點，分別為線段，上的動點，則的最小值為.【答案】/【分析】先求得點P到直線的距離的表達式，利用二次函數(shù)性質即可求得的最小值.【詳解】在平面內過點P作于M，在平面內過點M作于Q，連接.在平面內，，則，則平面，又平面，則，又，，則平面，又平面，則，則為點P到直線的距離.設，則，則當且僅當時取得最小值.故答案為：四、解答題17．為響應商務部“2023消費提振年”、“百城聯(lián)動”汽車節(jié)和“千縣萬鎮(zhèn)”新能源汽車消費季活動，西安市相關部門為了解現(xiàn)有的新能源汽車充電設備的覆蓋和使用情況，隨機選取了100名新能源汽車車主進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據其滿意度評分值（滿分100）按照，，，分成5組，制成頻率分布直方圖如圖所示.(1)求頻率分布直方圖中x的值；(2)估計這組數(shù)據的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù).【答案】(1)(2)眾數(shù)為，平均數(shù)為，中位數(shù)為【分析】（1）由頻率分布直方圖所有小長方形的面積和為1可得答案；（2）根據頻率分布直方圖估計這組數(shù)據的眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，解得;（2）因為最高小長方形中點的橫坐標為75，所以估計這組數(shù)據的眾數(shù)為75.估計這組數(shù)據的平均數(shù)為，滿意度評分值在內的頻率為，滿意度評分值在內的頻率為，∴中位數(shù)為.18．已知兩個不共線的向量，，(1)若與垂直，求；(2)存在3個不同的使得，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意，根據數(shù)量積的運算律求出，即可得到與反向，從而求出，（或根據數(shù)量積的坐標表示及輔助角公式求出）；（2）根據數(shù)量積的運算律得到，再結合正弦函數(shù)的性質，對分三種情況討論，分別求出的取值范圍，即可得到，解得即可.【詳解】（1）∵與垂直，∴，∴，由題意，，∴，?∴，所以，又，所以，即與反向，∴，∴，（或由得，即，即，又，則，所以，解得，所以）.（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵

∴，當，，單調遞增，且，當，，單調遞減，且，當，，單調遞增，且，所以，所以，由題意知，故.19．在中，邊所對角分別為且滿足.(1)求證：；(2)求的最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）利用二倍角余弦公式和三角函數(shù)誘導公式對題給條件化簡即可證得；（2）利用（1）的結論構造關于的不等式，解之即可求得的最大值.【詳解】（1）∵，∴，∴，又在中，，∴（2）法一：由余弦定理可知，∴，即（當且僅當時等號成立），又，則為銳角，，則，解之得，故的最大值為.法二：設為外接圓半徑，∵，∴，且，A為鈍角由正弦定理可知∴∴，∴，且（當且僅當時等號成立.）故的最大值為.20．甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，若比完5局未出現(xiàn)連勝兩局者，則勝場較多者獲勝.假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽相互獨立.(1)求恰好進行了4局結束比賽的概率；(2)求甲獲勝的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）把恰好進行了4局結束比賽的事件分拆成甲獲勝和乙獲勝的兩個互斥事件的和，再利用相互獨立事件的概率公式計算作答.（2）把甲獲勝的事件分拆成比賽兩局、三局、四局、五局的事件和，再利用相互獨立事件求出各個事件的概率作答.【詳解】（1）恰好進行了4局結束比賽的事件是甲獲勝的事件與乙獲勝的事件和，它們互斥，由甲獲勝的事件知，甲依次是勝負勝勝，則甲獲勝的概率；由乙獲勝的事件知，乙依次是勝負勝勝，則乙獲勝的概率；所以恰好進行了4局結束比賽的概率為.（2）甲獲勝的情況有以下幾種，它們彼此互斥，①比賽進行了2局，甲全勝，此時，②比賽進行了3局，甲依次負勝勝，此時，③比賽進行了4局，甲依次勝負勝勝，此時，④比賽進行了5局，甲依次負勝負勝勝，此時，或者比賽進行了5局，甲依次勝負勝負勝，此時，所以比賽最終甲獲勝的概率為.21．如圖所示，在三棱錐中，E為P在底面內的投影，且E為的垂心.(1)若F為C在平面內的投影，證明：；(2)當三棱錐為正三棱錐且，PC與平面所成角為時，求點C到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據給定條件，利用線面垂直的判斷、性質推理作答.（2）由（1）中信息結合線面角求出正三棱錐的側棱長和高，再利用等體積法求解作答.【詳解】（1）依題意，平面，而平面，則，又點E為的垂心，即有，平面，，于是平面，而平面，因此，由F為C在平面內的投影，得平面，平面，則，又平面，，從而平面，因為平面，所以.（2）依題意，點C到平面的距離即為，與平面所成角即為，在正三角形中，，點E為中心，則，由（1）知，，于是，有，于是等腰邊上的高，因此，，由，得，即，解得，所以點C到平面