小學(xué)數(shù)論試卷

數(shù)論訓(xùn)練試題一．填空題（共12小題）1．（2008?寧鄉(xiāng)縣）大于1的三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，一定有一個(gè)是3的倍數(shù)，至少有一個(gè)是偶數(shù)_________．2．（2004?廣州）小明與十多個(gè)小朋友圍成一圈，如果依次按順時(shí)針方向l，2.3，1，2，3，…報(bào)數(shù)，小明第一次是報(bào)1，第二次還是報(bào)1；如果依次按逆時(shí)針方向1，2，3，4，1，2，3，4，…報(bào)數(shù)，小明第一次報(bào)1，第二次報(bào)數(shù)是還是報(bào)1．那么包括小明在內(nèi)，共有_________個(gè)小朋友．3．將一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，它與原數(shù)相加，得到的和恰好是某個(gè)自然數(shù)的平方，這個(gè)和是_________．4．100以內(nèi)所有被5除余1的自然數(shù)的和是_________．5．、、、、這五個(gè)數(shù)各不相同，它們兩兩相乘后的積從小到大排列依次為：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300．那么，這五個(gè)數(shù)中從小到大排列依次是_________．6．（2002?上海）一個(gè)兩位數(shù)，若是一個(gè)奇數(shù)，則稱這個(gè)兩位數(shù)為“好數(shù)”，兩位“好數(shù)”共有_________個(gè)．7．某個(gè)質(zhì)數(shù)與6、8、12、14之和都仍然是質(zhì)數(shù)，一共有_________個(gè)滿足上述條件的質(zhì)數(shù)．8．兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)是1925，這兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，得到2個(gè)商的和是16，這兩個(gè)整數(shù)分別是_________和_________．9．已知一個(gè)五位數(shù)能被72整除，則這個(gè)五位數(shù)是_________．10．如果一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，我們稱這個(gè)自然數(shù)為“希望數(shù)”，那么，1000以內(nèi)最大的“希望數(shù)”是_________．11．（2005?廣州）有一類自然數(shù)，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和為2008，這類自然數(shù)中最小的一個(gè)是_________位數(shù)，最高位上的數(shù)字是_________．12．如果僅用奇數(shù)數(shù)碼組成的所有可能的三位數(shù)，那么這些三位數(shù)的和是_________．一．解答題（共6小題）13．（2007?南崗區(qū)）已知三個(gè)質(zhì)數(shù)P1＜P2＜P3，且P12+P22+P32=2238，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)．14．將2008寫成3個(gè)不同的質(zhì)數(shù)之和，其中最大的質(zhì)數(shù)的最大可能值是多少？15．求小于1001且與1001互質(zhì)的所有自然數(shù)的和．16．的乘積中，各位數(shù)字的和是多少？17．求從1～2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差．18．四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定是8的倍數(shù)嗎？為什么？

解答：解：由于a+a×b是一個(gè)奇數(shù)，所以a一定是個(gè)奇數(shù)，若a是偶數(shù)，則a+a×b一定是個(gè)偶數(shù)，與題設(shè)矛盾；b一定是個(gè)偶數(shù)，若b是個(gè)奇數(shù)，則a+a×b=奇數(shù)+奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，與題設(shè)矛盾；0～9共有5個(gè)奇數(shù)，5個(gè)偶數(shù)，所以，兩位“好數(shù)”共有：5×5=25個(gè)．故答案為：25．點(diǎn)評：根據(jù)已知條件及數(shù)的奇偶性確定a、b兩數(shù)的奇偶性是完成本題的關(guān)鍵．7．某個(gè)質(zhì)數(shù)與6、8、12、14之和都仍然是質(zhì)數(shù)，一共有1個(gè)滿足上述條件的質(zhì)數(shù)．考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)問題．分析：個(gè)位數(shù)的質(zhì)數(shù)是2、3、5、7、9，大于10的質(zhì)數(shù)的個(gè)位數(shù)一個(gè)不是0、2或5，是1、3、7或9；由于6、8、12、14是偶數(shù)，則這個(gè)質(zhì)數(shù)的個(gè)位數(shù)一定為奇數(shù)，即為1，3，5，7，9．然后將它們分別與6、8、12、14相加進(jìn)行驗(yàn)證排除即可．解答：解：6，8，12，14都是偶數(shù)，加上唯一的偶數(shù)質(zhì)數(shù)2和仍然是偶數(shù)，所以不是2．14加上任何尾數(shù)是1的質(zhì)數(shù)，最后的尾數(shù)都是5，一定能被5整除．12加上任何尾數(shù)是3的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是5；8加上任何尾數(shù)是7的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是5；6加上任何尾數(shù)是9的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是5．所以，這個(gè)質(zhì)數(shù)的末位一定不是1，3，7，9．5加上6、8、12、14中任意一個(gè)數(shù)的末位數(shù)都不是5，而末位數(shù)是5的質(zhì)數(shù)中，只有5是質(zhì)數(shù)，因此，只有5能滿足條件，即一共有1個(gè)滿足上述條件的質(zhì)數(shù)．故答案為：1．點(diǎn)評：明確除2和5以外質(zhì)數(shù)的個(gè)位都是1，3，7，9，大于10的個(gè)位數(shù)是5數(shù)一定不是質(zhì)數(shù)這兩個(gè)規(guī)律是完成本題的關(guān)鍵．8．兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)是1925，這兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，得到2個(gè)商的和是16，這兩個(gè)整數(shù)分別是175和385．考點(diǎn)：公約數(shù)與公倍數(shù)問題．分析：因?yàn)?925=5×5×7×11，由于商的和是16，看約數(shù)情況，這里只能是11+5=16；所以2個(gè)商應(yīng)該是11和5，所以這兩個(gè)數(shù)應(yīng)該是5×7×5和5×7×11；這樣除以最大公約數(shù)5×7就剩下5和11；所以這兩個(gè)數(shù)就是5×7×5=175和5×7×11=385．解答：解：1925=5×5×7×11，11+5=16；所以2個(gè)商應(yīng)該是11和5；5×7×5=175，5×7×11=385；答：這兩個(gè)整數(shù)分別是175和385；故答案為：175，385．點(diǎn)評：此題解題的關(guān)鍵是先把1925進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)，然后結(jié)合題意，進(jìn)而得出所需數(shù)字，然后根據(jù)公約數(shù)的知識進(jìn)行分析解答即可．9．已知一個(gè)五位數(shù)能被72整除，則這個(gè)五位數(shù)是13752．考點(diǎn)：數(shù)的整除特征．分析：72=8×9，五位數(shù)一定能被8、9同時(shí)整除，根據(jù)能被8、9整除的數(shù)的特征解答即可．解答：解：一個(gè)數(shù)的百位、十位、個(gè)位組成的三位數(shù)能被8整除這個(gè)數(shù)就能被8整除，75b能被8整除，只有b=2；所以個(gè)位上的數(shù)應(yīng)該是2，一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)字之和能被9整除這個(gè)數(shù)就能被9整除，1+a+7+5+2能被9整除，只有a=3；所以，千位上的數(shù)應(yīng)該是3，故答案為：13752．點(diǎn)評：該題主要考查利用數(shù)的整除特征一步步求得結(jié)論．10．如果一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，我們稱這個(gè)自然數(shù)為“希望數(shù)”，那么，1000以內(nèi)最大的“希望數(shù)”是961．考點(diǎn)：約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理．分析：自然數(shù)的因數(shù)都是成對出現(xiàn)的，比如1和本身是一對，出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)因數(shù)的時(shí)候是因?yàn)槠渲杏幸粚Φ囊驍?shù)是相等的，那么這個(gè)自然數(shù)是完全平方數(shù)．所以只有完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)才是奇數(shù)，則這道題就變成了求“1000以內(nèi)最大的完全平方數(shù)是多少”，312=961，322=1024，由此即可得出1000以內(nèi)最大的完全平方數(shù)，從而解決問題．解答：解：根據(jù)分析可得：1000以內(nèi)最大的“希望數(shù)”就是1000以內(nèi)最大的完全平方數(shù)，而已知1000以內(nèi)最大的完全平方數(shù)是312=961，根據(jù)約數(shù)和定理可知，961的約數(shù)個(gè)數(shù)為：2+1=3（個(gè)），符合題意，答：1000以內(nèi)的最大希望數(shù)是961．故答案為：961．點(diǎn)評：這道題主要考查的知識點(diǎn)是完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)這一特點(diǎn)的靈活應(yīng)用．11．（2005?廣州）有一類自然數(shù)，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和為2008，這類自然數(shù)中最小的一個(gè)是199…9（223個(gè)9）位數(shù)，最高位上的數(shù)字是1．考點(diǎn)：數(shù)字和問題．分析：首先我們應(yīng)該知道：若要使一個(gè)自然數(shù)盡可能的小，一是它的數(shù)位要盡可能的少，另一個(gè)是從最高位起，每一位上的數(shù)字要盡可能的?。?yàn)?008÷9=223…1，所以若要使所求的自然數(shù)盡可能的小，它的最高位必須是1，其它數(shù)位上都是9（共223個(gè)9）．這類自然數(shù)中最小的一個(gè)是：199…9（223個(gè)9）解答：解：2008÷9=223…1，這類自然數(shù)中最小的一個(gè)是：199…9（223個(gè)9）；最高位上的數(shù)字是：1．故答案為：199…9（223個(gè)9），1．點(diǎn)評：解答此題要明白使一個(gè)自然數(shù)盡可能小的辦法：①它的數(shù)位要盡可能的少；②從最高位起，每一位上的數(shù)字要盡可能的?。?2．如果僅用奇數(shù)數(shù)碼組成的所有可能的三位數(shù)，那么這些三位數(shù)的和是69375．考點(diǎn)：數(shù)字和問題．分析：0～9的奇數(shù)碼為1，3，5，7，9共5個(gè)；用這些組成的所有可能的三位數(shù)共有5×5×5=125個(gè)．將這些數(shù)相加，則每個(gè)數(shù)字分別在百位、十位、個(gè)數(shù)被加了125÷5=25次．根據(jù)數(shù)位知識可知，這些三位數(shù)的和是：（1+3+5+7+9）×（100+10+1）×5×5×5÷5．解答：解：（1+3+5+7+9）×（100+10+1）×5×5×5÷5=25×111×25，=69375；故答案為：69375．點(diǎn)評：在計(jì)算奇數(shù)數(shù)碼組成的所有可能的三位數(shù)時(shí)，要注意組成三位數(shù)的數(shù)字是可以重復(fù)的．13．（2007?南崗區(qū)）已知三個(gè)質(zhì)數(shù)P1＜P2＜P3，且P12+P22+P32=2238，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)．考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)問題．分析：奇數(shù)的平方數(shù)為奇數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，三數(shù)之和為2238，那么必能知道其中至少一個(gè)為偶數(shù)，即2238=偶數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)，偶數(shù)為質(zhì)數(shù)的只有2，那么其中必有一個(gè)質(zhì)數(shù)為2，為P1，所以4++=2238，+=2234，接下來我們從質(zhì)數(shù)的平方數(shù)小于2234的開始找，小于2234的質(zhì)數(shù)平方數(shù)最大的一個(gè)為47的平方，2209，那么有=2234﹣2209=25，恰好為5的平方數(shù)，而且5恰好為一個(gè)質(zhì)數(shù)，所以p1=2，p2=5，p3=47．解答：解：由于三數(shù)之和為2238為偶數(shù)，則三個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)質(zhì)數(shù)為2，定為P1；22++=2238，即，+=2234；由此可從質(zhì)數(shù)的平方數(shù)小于2234的質(zhì)數(shù)開始進(jìn)行驗(yàn)證，小于2234的質(zhì)數(shù)平方數(shù)最大的一個(gè)為47的平方是2209，那么有=2234﹣2209=25，恰好為5的平方數(shù)，而且5恰好為一個(gè)質(zhì)數(shù)，所以p1=2，p2=5，p3=47．答：這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別為2，5，47．點(diǎn)評：根據(jù)數(shù)和的奇偶性確定其中一個(gè)質(zhì)數(shù)必為2是完成本題的關(guān)鍵．14．將2008寫成3個(gè)不同的質(zhì)數(shù)之和，其中最大的質(zhì)數(shù)的最大可能值是多少？考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)問題；奇偶性問題．分析：要使其中的一個(gè)質(zhì)數(shù)盡量大，就要使其它另兩個(gè)質(zhì)數(shù)盡量小，因此可從最小的質(zhì)數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，最小的兩個(gè)質(zhì)數(shù)為2，3；2008﹣2﹣3=2003，2003也為質(zhì)數(shù)．解答：解：最小的兩個(gè)質(zhì)數(shù)為2，3；2008﹣2﹣3=2003，2003也為質(zhì)數(shù)，即3+2+2003=2008．所以，將2008寫成3個(gè)不同的質(zhì)數(shù)之和，其中最大的質(zhì)數(shù)的最大可能值是2003．點(diǎn)評：由于本題的取值范圍較小，所以通過驗(yàn)證法進(jìn)行解答比較簡單．15．求小于1001且與1001互質(zhì)的所有自然數(shù)的和．考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)問題．分析：小于1001的數(shù)共有1000個(gè)，因?yàn)?001=7×11×13，所以與1001互質(zhì)的數(shù)絕不是7，11，13的倍數(shù)．將小于1001的7，11，13的倍數(shù)求出來，由此即可解決．解答：解：1001=7×11×13，小于1001的數(shù)中，7的倍數(shù)有142個(gè)，（1+2+3+…+142）×7=143×71×7=710710，11的倍數(shù)有91個(gè)，（1+2+3+…+90）×11=91×45×11=45045，13的倍數(shù)有77個(gè)，（1+2+3+…+76）×13=77×38×13=38038，71071+45045+38038=154154，7和11的公倍數(shù)有12個(gè)，（1+2+3+…+12）×77=78×77=6006，7和13的公倍數(shù)有10個(gè)，（1+2+3+…+10）×91=55×91=5005，11和13的公倍數(shù)有6個(gè)，（1+2+…+6）×143=21×143=3003，6006+5005+3003=14014，1001到1中間有1000個(gè)數(shù)字的總和是：1+2+3+4+5+6…+999+1000=（1+1000）×1000÷2=500500，500500﹣154154+14014=360360，答：小于1001且與1001互質(zhì)的所有自然數(shù)的和是360360．點(diǎn)評：7和11的公倍數(shù)，7和13的公倍數(shù)，11和13的公倍數(shù)在7的倍數(shù)，11的倍數(shù)，13的倍數(shù)中各出現(xiàn)了兩次，這是本題容易忽略的地方．16．的乘積中，各位數(shù)字的和是多少？考點(diǎn)：數(shù)字和問題．分析：把寫成[10000…（2002個(gè)0）﹣1]×2003個(gè)88…8的形式，利用乘法的分配律進(jìn)而解出此題．解答：解：=10000…（2002個(gè)0）×8888…（2003個(gè)8）﹣8888…（2003個(gè)8）=8888…（2003個(gè)8）000…（2002個(gè)0）﹣8888…（2003個(gè)8）=8888…（2001個(gè)8）79111111（2001個(gè)1）2，從上式中可以看出2001個(gè)8和2001個(gè)1相加是2001個(gè)9，所以各位數(shù)字相加=9+9+9…（2001個(gè)9）+9+7+2=9×2003=18027，答：各位數(shù)字的和是18027．點(diǎn)評：此題屬于數(shù)字和問題，考查學(xué)生乘法的分配律以及分析推理能力．17．考點(diǎn)：數(shù)字和問題．專題：有規(guī)律性排列的數(shù)的求和與推導(dǎo)問題．分析：把相鄰奇偶數(shù)為一組，得到1，總共有2000÷2=1000組，即1000個(gè)1，就是1000．解答：解：（2+4+6+8+…+2000）﹣（1+3+5+7+…+1999），=（2﹣1）+（4﹣