角的平分線的性質“百校聯(lián)賽”一等獎

12.3角平分線的性質11、在準備好的角上標好字母；A,O,B,。把角AOB對折，使得這個角的兩邊重合。2、在折痕（即平分線）上任意找一點P。作PD垂直與OA，垂足為D。3、過點P作OB邊的垂線PE，垂足為E。做一做問：點D與點E重合嗎？由此你可得到什么結論？2

按照做一做的順序畫∠AOB的折痕OC,過點P的垂線段PD、PE，并度量所畫PD、PE是否等長？議一議：由此你可得到什么猜想？畫一畫3同學甲、乙誰的畫法是正確的?4角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．議一議：由做一做和畫一畫你可得到什么猜想？5驗證結論已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE.而△OPD≌△OPE的條件由已知易知它滿足公理(AAS).故結論可證.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在的△OPD≌△OPE，角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.OCB1A2PDE6能否用符號語言來翻譯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這句話．請?zhí)钕卤恚篜D=PEOC平分∠AOB，PD⊥OA,PE⊥OB,D、E為垂足．于是我們得角的平分線的性質：在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．7到角的兩邊距離相等的點是否在角的平分線上呢？議一議8根據(jù)下表中的圖形和已知事項，猜想由已知事項可推出的事項，并用符號語言填寫下表：點P在∠AOB的平分線上9這樣，我們又可以得到一個結論：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。請同學們自己寫出證明過程10同學們思考一下，這節(jié)課所學的這兩個性質有什么聯(lián)系嗎？11例

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.ABCPMNABCPMN例

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、

BC、CA，垂足分別為D、E、FFDEDE∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上

∴PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點P到邊AB、BC、

CA的距離相等想一想，點P在∠A

的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？12暢談收獲小結:13，1、在Rt△ABC中，BD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE與DC相等嗎？為什么？ABCDE

2、如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC知識應用14B

思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點,問PE=PD?為什么?OAEDCPPD,PE沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點這個角兩邊的距離,所以不一定相等直15思考：要在Ｓ區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路16練習1：如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點Ｐ．求證：點Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ17練習2：

如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到∠AOB的兩邊的距離相等.C●D●ABO18知識拓展

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E。（1）已知CD=4cm，求AC的長；（2）求證：AB=AC+CDBACDE19

1.前面我們學習了角平分線的性質，你能復述嗎？它有什么作用？知識回顧2.你能總結畫角平分線的方法嗎？20

如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）思考S21

我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊距離相等，那么，到角的兩邊距離相等的點是否在角的平分線上呢？探究

利用三角形全等，可以得到：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上自己證一證。根據(jù)此結論，你知道集貿(mào)市場建在何處嗎？22ANBCPM知識應用

例如圖，△ABC的角的平分線BM，CN相交于點P.求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.想一想，點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？23鞏固練習

如圖，△ABC的∠B的外角的平分線BD與∠C的外角的平分線CE