線段的垂直平分線 省賽獲獎(jiǎng)

第一章三角形的證明第三節(jié)線段的垂直平分線（一）我們?cè)?jīng)利用折紙的辦法得到：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.請(qǐng)你嘗試證明這一結(jié)論，并與同伴交流.定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.已知:如圖,直線MN⊥AB,垂足為C,且AC=BC，P是MN上任意一點(diǎn).求證:PA=PB.證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=900.∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).如果點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，那么結(jié)論顯然成立.想一想你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?如果是,請(qǐng)你加以證明.定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.已知：如圖，線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB．求證：P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上．BPABPA證明：過點(diǎn)P作直線MN⊥AB,垂足為C,則PC是△PAB的高.MNC∵PA=PB,∴△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中線（三線合一）.∴AC=BC.∴直線MN是線段AB的垂直平分線.∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.證明：∵AB=AC,∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上）.同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上.∴直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.1.已知：如圖，AB是線段CD的垂直平分線，E,F是AB上的兩點(diǎn).求證：∠ECF=∠EDF.隨堂練習(xí)證明：∵AB是線段CD的垂直平分線，∴CE=DE，CF=DF.∴∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC.∴∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC.即∠ECF=∠EDF．2.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接AF,求∠AFC的度數(shù).提示:∵EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AB=AC,∠BAC=1200,∴∠B=∠C=300.∵AF=BF,∴∠BAF=∠B=300.∴∠AFC=∠B+∠BAF=600.3.在以線段AB為底邊的所有等腰三角形中,它們另一個(gè)頂點(diǎn)的位置有什么共同特征？這些頂點(diǎn)都在線段AB的垂直平分線上.BC長為23.理由如下：∵DE垂直平分AB∴BE＝AE∵三角形BCE的周長為50,即BE+EC+BC＝50.∴AE+EC+BC＝50.即AC+BC=50.∵AC=27,∴BC=50－AC=50－27=23.4.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,△BCE的周長等于50,求BC的長.5.如圖,A,B表示兩個(gè)倉庫,要在A,B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭,使它到兩個(gè)倉庫的距離相等,碼頭應(yīng)建造在什么位置？

提示:連接AB,作AB的垂直平分線,交河岸于點(diǎn)P.碼頭應(yīng)建在點(diǎn)P處(如圖).6.如圖，求作一點(diǎn)P，使PA=PB，PC=PD.A.B.C.D.提示：連接AB,CD,分別作AB、CD的中垂線，中垂線的交點(diǎn)就是要求的P點(diǎn).作圖痕跡