不等式專題基本不等式求最值的6種常用方法

PAGE1基本不等式求最值的6種常用方法知識(shí)梳理一、基本不等式常用的結(jié)論1、如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）推論：（）2、如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.推論：（，）；3、二、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系2、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。3、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況類型1：分母為單項(xiàng)式，利用“1”的代換運(yùn)算，也稱乘“1”法；類型2：分母為多項(xiàng)式時(shí)方法1：觀察法適合與簡(jiǎn)單型，可以讓兩個(gè)分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系；方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，分子為，設(shè)∴，解得：4、消元法：當(dāng)題目中的變?cè)容^多的時(shí)候，可以考慮削減變?cè)D(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問(wèn)題。5、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問(wèn)題之間的關(guān)系，通過(guò)重新分配，使用基本不等式得到含有問(wèn)題代數(shù)式的不等式，通過(guò)解不等式得出范圍，從而求得最值。?？碱}型題型精析題型一直接法求最值【例1】已知．則的最小值為A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值6．選：．【變式1-1】已知正數(shù)滿足，則的最大值（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：B【變式1-2】已知，，若，則的最大值為（）．A．B．C．D．1【答案】A【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．故選：A．【變式1-3】已知，則的最小值是（）A．1B．4C．7D．【答案】C【解析】∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C【變式1-4】已知，，且滿足，則的最大值為__________.【答案】3【解析】因?yàn)?，，且滿足，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為3.【變式1-5】已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最大值為.故選：D.【變式1-6】若，，，則的最小值為（）A．8B．10C．4D．6【答案】C【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C.【變式1-7】若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào)，則的最大值為．故選：A．題型二配湊法求最值【例2-1】若函數(shù)在處取最小值，則（）A．B．C．D．【答案】【解析】等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取到等號(hào).【例2-2】設(shè)，求函數(shù)的最大值。【答案】【解析】∵∴∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立【變式2-1】已知，則的最大值為________．【答案】1【解析】因?yàn)?，所以，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．故的最大值為1.【變式2-2】已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.故選：A.【變式2-3】設(shè)，則的最小值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】,當(dāng)且僅當(dāng)和，即時(shí)取等號(hào)，故選：D.【變式2-4】設(shè)，則的最小值為（）A．B．C．4D．【答案】A【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)故選：A題型三消元法求最值【例3】已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______.【答案】【解析】依題意正實(shí)數(shù)，滿足，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.【變式3-1】已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是（）A．1B．3C．6D．12【答案】B【解析】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：B.【變式3-2】設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、、滿足，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最大值為1.故選：C.【變式3-3】設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，因此所以時(shí)等號(hào)成立．故選：C．【變式3-4】已知，則的最小值是（）A．14B．C．8D．【答案】A【解析】因?yàn)?，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，取最小值14.故選：A題型四乘“1”法求最值【例4】已知，，，求的最小值.【答案】2【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，的最小值為2.【變式4-1】已知，，且，則最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故選：B【變式4-2】若正數(shù)，滿足，則的最小值為A．B．C．5D．6【答案】【解析】由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故的最小值是【變式4-3】已知，且，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得，又由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最大值為.故選：D.【變式4-4】已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值等于（）A．4B．C．8D．9【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等式成立，故選：D．題型五簡(jiǎn)化分母換元法求最值【例5】已知，，且，則的最小值為（）A．9B．10C．11D．【答案】A【解析】，，又，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9，故選：A．【變式5-1】設(shè)為正數(shù)，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故選：A【變式5-2】已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因此，因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故選：A【變式5-3】設(shè)均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A．8B．16C．9D．6【答案】A【解析】因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).因此的最小值為.故選：A.【變式5-4】實(shí)數(shù)a，b滿足，，，則的最小值是（）A．4B．6C．D．【答案】D【解析】令，，則，，且，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D.【變式5-5】已知，，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，得，所以，記，所以，所以，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，此時(shí)，.故選：A.題型六構(gòu)造不等式法求最值【例6】若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，又，，令，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，的取值范圍是，．故選：A．【變式6-1】已知，且，則的最小值為（）A．4B．6C．9D．12【答案】B【解析】由，得，又因?yàn)?，所以，即，解得或，又?/p>