山西省太原市第三十六中學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)考試（10月月考）數(shù)學(xué)（北師）注意事項(xiàng)：1．本試卷考查范圍：第1、2章完。本試卷共8頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)間為120分鐘。2．本試卷采用網(wǎng)閱形式閱卷，請(qǐng)將答題信息與答題過(guò)程在配套的答題卡上完成。試卷上答題無(wú)效。3．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等相關(guān)信息填寫(xiě)在本試卷配套答題卡的相應(yīng)的位置里．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題意，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑。）1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程配方后可變形為（）A．B．C．D．3．方程的解是（）A．B．C．D．4．用求根公式解一元二次方程時(shí)a，b，c的值是（）A．B．C．D．5．如圖，在中，，D是AB的中點(diǎn)，，則CD的長(zhǎng)為（）A．4B．5C．6D．86．如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成四邊形ABCD．測(cè)得A、B的距離為6，A、C的距離為4，則B、D的距離是（）A．B．8C．D．7．電影《滿江紅》于2023年1月22日在中國(guó)大陸上映，某地第一天票房約2億元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后票房收入累計(jì)達(dá)7億元，若把增長(zhǎng)率記作x，則方程可以列為（）A．B．C．D．8．若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．B．C．且D．且9．如圖，中，，點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作邊AC，BC的垂線，垂足分別為E、F連接EF，則EF的最小值為（）A．3B．2.4C．4D．2.510．如圖、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，G是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接EF，給出四種情況：①若G為BD的中點(diǎn)，則四邊形CEGF是正方形；②若G為BD上任意一點(diǎn)，則；③點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值為定值4；④點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EF的最小值為．正確的有（）A①②③④B．①②③C．①②④D．①③④第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分。）11．已知m是方程的一個(gè)根，則的值為_(kāi)__________．12．如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)__________．13．的兩根分別為m、n，則___________．14．如圖，一張長(zhǎng)、寬的矩形鐵皮，將其剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是的有蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，則該鐵盒的體積為_(kāi)________．15．秋天到了，人容易著涼，某班有一同學(xué)患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有49名學(xué)生患了流感，假設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，則列方程為_(kāi)__________．三、解答題（本大題共8小題，75分。解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16．解下列方程（每小題5分，共10分）（1）（2）17．（本題8分）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，AE與CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．18．（本題8分）某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)0.5元，日銷售量將減少10千克為了獲得6000元的利潤(rùn)，同時(shí)考慮顧客的利益，那么應(yīng)該漲價(jià)多少元？19．（本題8分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接OE，過(guò)點(diǎn)B作交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：四邊形AOBF為矩形；（2）若，求菱形ABCD的面積．20．（本題8分）【閱讀材料】若，求x，y的值．解：，，，．【解決問(wèn)題】（1）已知，求的值；【拓展應(yīng)用】（2）已知a，b，c是的三邊長(zhǎng)，且b，c滿足，a是中最長(zhǎng)的邊，求a的取值范圍．21．（本題8分）圖1圖2備用圖（1）課本情境課本第40頁(yè)第3題：如圖1，已知矩形AOBC，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)O為止；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng)出發(fā)___________時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是；（2）逆向發(fā)散當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為_(kāi)________；當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_______；22．（本題11分）小明在學(xué)習(xí)矩形這一節(jié)時(shí)知道“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，由此引發(fā)他的思考，這個(gè)定理的逆命題成立嗎？猜想：“如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形為直角三角形”、通過(guò)探究，小明發(fā)現(xiàn)這個(gè)猜想也成立，以下是小明的證明過(guò)程：已知：如圖1．在中，D是AB邊的中點(diǎn)，連接CD，且．求證：為直角三角形．證明：由條件可知．，則．又．．即為直角三角形．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明發(fā)現(xiàn)用本學(xué)期所學(xué)知識(shí)也能證明這個(gè)結(jié)論，并想出了圖2，圖3兩種不同的證明思路，請(qǐng)你選擇其中一種，把證明過(guò)程補(bǔ)充完整：圖1圖2圖3證法一：如圖2，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使，連接AE，BE．證法二：如圖3，分別取AC，BC邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF，EF，則DE，DF，EF為的中位線23．（本題14分）①②③探究問(wèn)題：（1）方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足，連接EF，求證．感悟解題方法，并完成下列填空：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：，，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．．，．即___________．又___________．___________，故．（2）方法遷移如圖②，將沿斜邊翻折得到，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足，試猜想當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想（不必說(shuō)明理由）．2023—2024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)考試10月月考數(shù)學(xué)（北師）參考答案一、選擇題（共10小題）【答案】D【解答】解：A．方程是二元一次方程，選項(xiàng)A不符合題意；B．方程是分式方程，選項(xiàng)B不符合題意；C．方程是二元二次方程，選項(xiàng)C不符合題意；D．方程是一元二次方程，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．2．【答案】C【解答】解：，，，即，故選：C．3．【答案】D【解答】解：，，或，所以，故選：D4．【答案】C【解答】解：，，，故選：C．5．【答案】A【解答】解：在中，，D是邊AB的中點(diǎn)，，則，即．故選：A．6．【答案】C【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作于E，于F，連接AC，BD交于點(diǎn)O，兩條紙條寬度相同，，，四邊形ABCD是平行四邊形，，，四邊形ABCD是菱形，，，，，故選：C．7．【答案】D【解答】解：若把增長(zhǎng)率記作x，則第二天票房約為億元，第三天票房約為億元，依題意得：．故選：D．8．【答案】D【解答】解：一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，且，解得且，故選：D．9．【答案】B【解答】解：如圖，連接CD，，，，，四邊形CEDF是矩形，，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，線段CD最小，則線段EF的值最小，此時(shí)，即，，的最小值為，故選：B．10．A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④【答案】A【解答】解：四邊形ABCD是正方形，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，四邊形GFCE是矩形，，，為BD的中點(diǎn)，，，四邊形GFCE是正方形，故①正確；連接GC，四邊形GFCE是矩形，，在與中，，，，故②正確；，，四邊形GFCE是矩形，，，即的值為定值4，故③正確：，當(dāng)CG最小時(shí)，EF最小，當(dāng)時(shí)，CG最小，在中，，，，，線段EF的最小值為，故④正確；正確的有①②③④．故選：A．二．填空題（共5小題）11．【答案】．【解答】解：是方程的一個(gè)根，，即，．故答案為：．12．【答案】．【解答】解：如圖，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，在中，，，，菱形ABCD的面積為．故答案為：．13．【答案】．【解答】解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，．又，．14．【答案】48．【解答】解：設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為，則制成有蓋的長(zhǎng)方體鐵盒的底面長(zhǎng)為，寬為，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去）．該紙盒的體積為；故答案為：48．15．【答案】6．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x人．依題意得，，（不合題意，舍去）．所以，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染給6個(gè)人故答案為：6．三．解答題（共8小題）16．【詳解】（1）分解因式得：，可得或，解得：；（2）分解因式得：，可得或，解得：；17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析部分；（2）．【解答】（1）證明：將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，則，在和中，，（2），，四邊形ABCD是矩形，，，，．18．【詳解】設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，由題意，得，整理，得，解得或，為了使顧客得到實(shí)惠，所以．答：應(yīng)該漲價(jià)5元．19．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）64．【解答】（1）證明：，，E是AB的中點(diǎn)，，在和中，，，四邊形AOBF是平行四邊形，四邊形ABCD是菱形，，，平行四邊形AOBF為矩形；（2）解：四邊形ABCD是菱形，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，，，，，，解得：（負(fù)值己舍去），，．19．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）每盞臺(tái)燈銷售價(jià)為46元，這周的銷售利潤(rùn)為：（元），答：若每盞臺(tái)燈銷售價(jià)為46元，這周的銷售利潤(rùn)為8640元；（2）設(shè)每盞臺(tái)燈的銷售價(jià)格為x元，由題意得：，整理得：，解得：（不符合題意舍去），，答：如果要實(shí)現(xiàn)每周的銷售利潤(rùn)10000元的目標(biāo)，每盞臺(tái)燈的銷售價(jià)格為50元．20．【答案】（1）1；（2）．【解答】解：（1），將61拆分為25和36，可得：，根據(jù)完全平方公式得，，，．（2），將61拆分為25和36，可得：，根據(jù)完全平方公式得，，，．是中最長(zhǎng)的邊，，即a的取值范圍為．21．設(shè)P，Q兩點(diǎn)出發(fā)t秒，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是，過(guò)點(diǎn)P作，（1），由勾股定理得：，解得：或，故答案為：或．（2）時(shí)，，．時(shí)，．故答案為：．22．【答案】見(jiàn)解析．【解答】解：證法一：