人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （垂直于弦的直徑）圓教育課件

24.1.2垂直于弦的直徑

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索圓的對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)而得到垂徑定理及其推論；2.能利用垂徑定理及其推論解決相關(guān)證明、計(jì)算及實(shí)際問(wèn)題；3.經(jīng)歷探索垂徑定理及其推論的過(guò)程，發(fā)展推理能力，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度；4.進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法；培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索，相互合作交流的精神，并體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣.垂直于弦的直徑趙州橋應(yīng)用新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知37m7.23m你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？觀察思考趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知剪一個(gè)圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？O①圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，②任何一條直徑所在的直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸.你能證明上面的結(jié)論嗎？合作探究證明：過(guò)點(diǎn)A作AA'

CD，交⊙O于點(diǎn)A'，

垂足為M，連接OA，OA'在△OAA'中，∵OA

OA'∴△OAA'是等腰三角形又∵AA'

CD∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分線(xiàn).FF'EE'BB'創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知證明如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C，D以外的任意一點(diǎn).證明點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在⊙O上.CDAA'MO⊙O關(guān)于直線(xiàn)CD對(duì)稱(chēng)圓的對(duì)稱(chēng)性①圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，②任何一條直徑所在的直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸.創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究OAA'M直徑CD平分弦AA'，且平分，.AM=A'MCD點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合；AM與A'M重合；

與

重合；與重合.在剛剛的證明過(guò)程中，你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線(xiàn)段、弧嗎？題設(shè)：①CD是⊙O直徑②CD

AB①直徑②垂直于弦創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知ECOABD垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.結(jié)論：①平分弦②平分弦所對(duì)的兩條?、貯E

BE②，想一想創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知下列圖形是否具備垂徑定理的條件？ECOABDECOABDCOAB（1）（2）（3）（4）沒(méi)有垂直AB、CD都不是直徑DOABC搶答想一想創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知怎樣修改圖（2）、（4）能夠滿(mǎn)足垂徑定理的條件？ECOABDECOABDCOAB（1）（2）（3）（4）DOABCCOABEOABD垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.過(guò)圓心創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知思考當(dāng)直徑CD平分一條弦AB(不是直徑)時(shí)，能否得出CD

AB?OABCDE垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.為什么？圓的任意兩條直徑都互相平分，但它們不一定互相垂直.創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知延伸垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.①過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧,⑤平分弦所對(duì)的劣弧.④平分弦所對(duì)的弧,①②→③④⑤①③→②④⑤還有別的結(jié)論嗎？如：①④→②③⑤？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知延伸①過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，⑤平分弦所對(duì)的劣弧.條件結(jié)論①②③④⑤垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.①③②④⑤平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.①④②③⑤①⑤②③④平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.②③①⑤④弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.………………知二推三BAODCR探究新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)應(yīng)用新知典型例題例1：趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).37m7.23m解：如圖

表示主橋拱，設(shè)所在的圓的圓心為O，半徑為R.

經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線(xiàn)OC，D為垂足，OC與

相交于點(diǎn)C，連接OA，

根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是

的中點(diǎn)，CD就是拱高.BAODCR探究新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)應(yīng)用新知典型例題例1：趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).由題設(shè)可知：AB37，CD7.23，∴AD

AB3718.5，

OD

OC

CD

R7.23，在Rt△OAD中，由勾股定理得：

OA2

AD2

OD2，即：R2

18.52(R7.23)2解得：R27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.隨堂練習(xí)探究新知應(yīng)用新知課堂小結(jié)布置作業(yè)鞏固新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境1.

在⊙O中，若CD

AB于M，AB為直徑，則下列結(jié)論不正確的是()A.B.C.AM

OM

D.CM

DMMAOCDBC隨堂練習(xí)探究新知應(yīng)用新知課堂小結(jié)布置作業(yè)鞏固新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境2.

已知⊙O的直徑AB10，弦CD

AB于M，OM3，則CD

.MAOCDB85343.

在⊙O中，弦CD

AB于M，AB為直徑，若CD10，AM1，則⊙O的半徑為

.MBOCDAr15r1(r1)252

r213解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，半徑是常用的一種輔助線(xiàn)的添法．往往結(jié)合勾股定理計(jì)算.隨堂練習(xí)探究新知應(yīng)用新知課堂小結(jié)布置作業(yè)鞏固新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境4.⊙O的半徑為13cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離.MAOCDBN解：過(guò)點(diǎn)O向AB，CD作垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，連接OB，OD.由垂徑定理可得：

BM

AB12cm，DN

CD5cm

又∵OB

OD13cm

在Rt△OBM，Rt△ODN中，

由勾股定理得：OM5cm，ON12cm

∴AB和CD之間的距離MN

OM

ON7cm

或MN

OM

ON17cmMNOACDB分類(lèi)討論探究新知應(yīng)用新知布置作業(yè)鞏固新知課堂小結(jié)創(chuàng)設(shè)情境垂徑定理簡(jiǎn)單計(jì)算垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理的推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.通常添加半徑做輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算或證明.布置作業(yè)教科書(shū)第83頁(yè)練習(xí)第1、2題探究新知應(yīng)用新知課堂小結(jié)鞏固新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境再見(jiàn)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系及判定方法，能熟練地運(yùn)用判定方法

判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系2.掌握不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，能畫(huà)出三角形的外接圓01新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入我國(guó)射擊運(yùn)動(dòng)員在奧運(yùn)會(huì)上屢獲金牌，為祖國(guó)贏得榮譽(yù).下圖是射擊靶的示意圖，它是由許多同心圓（圓心相同、半徑不等的圓）構(gòu)成的，你知道擊中靶上不同位置的成績(jī)是如何計(jì)算的嗎？02探索新知點(diǎn)和圓的位置關(guān)系r問(wèn)題2：設(shè)⊙O半徑為r,說(shuō)出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C與圓心O的距離與半徑的關(guān)系：·COABOC>r.問(wèn)題１：觀察圖中點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C與圓的位置關(guān)系？點(diǎn)C在圓外.點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓上，OA<r，OB=r，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓上d=r；點(diǎn)P在圓外d＞r.點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r

；

符號(hào)讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)的左端可以得到右端從右端也可以得到左端．r·OA問(wèn)題3：反過(guò)來(lái)，已知點(diǎn)到圓心的距離和圓的半徑的數(shù)量關(guān)系，能否判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系？PPP點(diǎn)和圓的位置關(guān)系你知道擊中靶上不同位置的成績(jī)是如何計(jì)算的嗎？射擊靶圖上，有一組以靶心為圓心的大小不同的圓，它們把靶圖由內(nèi)到外分成幾個(gè)區(qū)域，這些區(qū)域用由高到低的環(huán)數(shù)來(lái)表示，射擊成績(jī)用彈著點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的環(huán)數(shù)表示.彈著點(diǎn)與靶心的距離決定了它在哪個(gè)圓內(nèi)，彈著點(diǎn)離靶心越近，它所在的區(qū)域就越靠?jī)?nèi)，對(duì)應(yīng)的環(huán)數(shù)也就越高，射擊成績(jī)?cè)胶?探究（確定圓的條件）我們知道，已知圓心和半徑，可以作一個(gè)圓.經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)A能不能作圓，這樣的圓你能作出多少個(gè)？無(wú)數(shù)個(gè)A經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)A作圓，只要以點(diǎn)A以外任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A的距離為半徑就可以作出，這樣的圓有無(wú)數(shù)個(gè)探究（確定圓的條件）過(guò)兩點(diǎn)能做幾個(gè)圓AB過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的圓心有何特點(diǎn)？●O●O經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A，B作圓，由于所作圓的圓心到A，B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，這樣的圓也可以作出無(wú)數(shù)個(gè)思考ABC1、連結(jié)AB，作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)DE，ODEGF2、連結(jié)BC，作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)FG，交DE于點(diǎn)O，3、以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，作法：⊙O就是所求作的圓已知：不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)A、B、C求作：⊙O，使它經(jīng)過(guò)A、B、C思考請(qǐng)你證明你作的圓符合要求證明:∵點(diǎn)O在AB的垂直平分線(xiàn)上，∴OA=OB.同理,OB=OC.∴OA=OB=OC.∴點(diǎn)A,B,C在以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓上.∴⊙O就是所求作的圓,在上面的作圖過(guò)程中.∵直線(xiàn)DE和FG只有一個(gè)交點(diǎn)O,并且點(diǎn)O到A,B,C三個(gè)點(diǎn)的距離相等,∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓,并且只能作一個(gè)圓.ABCODEGF總結(jié)歸納1.經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)可以作出無(wú)數(shù)圓2.經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)可以作出無(wú)數(shù)圓3.經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓三角形的外接圓O1.由定理可知：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓.并且只能作一個(gè)圓.ABC2.經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓.3.三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形的外接圓圓的內(nèi)接三角形三角形的外接圓三角形的外心ABCO

外心1.三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)2.到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等三角形的外接圓OABCABCO直角三角形外心是斜邊AB的中點(diǎn)鈍角三角形外心在△ABC的外面三角形的外心是否一定在三角形的內(nèi)部？思考以正四邊形為例,根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)，你能得出什么結(jié)論？經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)能作出一個(gè)圓嗎？l1l2ABCP如圖，假設(shè)過(guò)同一條直線(xiàn)l上三點(diǎn)A、B、C可以作一個(gè)圓，設(shè)這個(gè)圓的圓心為P，那么點(diǎn)P既在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l1上，又在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)l2上，即點(diǎn)P為l1與l2的交點(diǎn)，而l1⊥l，l2⊥l這與我們以前學(xué)過(guò)的“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直