不等式的基本性質(zhì)

第二章不等式PAGE課題：2.1-不等式的基本性質(zhì)(2課時(shí))教學(xué)目標(biāo)：掌握作差比較大小的方法，并能證明一些不等式。掌握不等式的性質(zhì)，掌握它們的證明方法及其功能，能簡(jiǎn)單運(yùn)用。提高邏輯推理和分類討論的能力；培養(yǎng)條理思維的習(xí)慣和認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。教學(xué)重點(diǎn)：作差比較大小的方法；不等式的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：不等式的性質(zhì)的運(yùn)用教學(xué)過程：第1課時(shí)：?jiǎn)栴}情境：現(xiàn)有A、B、C、D四個(gè)長(zhǎng)方體容器，A、B容器的底面積為a2，高分別為a、b，C、D容器的底面積為b2，高分別為a、b，其中a≠b。甲先從四個(gè)容器中取兩個(gè)容器盛水，乙用剩下的兩個(gè)容器盛水。問如果你是甲，是否一定能保證兩個(gè)容器所盛水比乙的多？分析：依題意可知：A、B、C、D四個(gè)容器的容積分別為a3、a2b、ab2、b3，甲有6種取法。問題可以轉(zhuǎn)化為比較容器兩兩和的大小。研究比較大小的依據(jù)：ABABx在右圖中，點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)a，點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)b，點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊，那么a＞b。而a－b表示a減去b所得的差，由于a＞b，則差是一個(gè)正數(shù)，即a－b＞0。命題：“若a＞b，則a－b＞0”成立；逆命題“若a－b＞0，則a＞b”也正確。類似地：若a＜b，則a－b＜0；若a＝b，則a－b＝0。逆命題也都正確。結(jié)論：(1)“a＞b”“a－b＞0”(2)“a＝b”“a－b＝0”(3)“a＜b”“a－b＜0”——以上三條即為比較大小的依據(jù)：“作差比較法”。正負(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：(1)正數(shù)加正數(shù)是正數(shù)；(2)正數(shù)乘正數(shù)是正數(shù)；(3)正數(shù)乘負(fù)數(shù)是負(fù)數(shù)；(4)負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)是正數(shù)。研究不等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：若a＞b，b＞c，則a＞c(不等式的傳遞性)證明：∵a＞b∴a－b＞0∵b＞c∴b－c＞0∴(a－b)＋(b－c)＝a－c＞0(正負(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì))則a＞c反思：證明要求步步有據(jù)。性質(zhì)2：若a＞b，則a＋c＞b＋c(不等式的加法性質(zhì))證明：∵a＞b∴a－b＞0∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0∴a＋c＞b＋c反思：作差比較法的第一次運(yùn)用，雖然簡(jiǎn)單，也要讓學(xué)生好好體會(huì)體會(huì)。思考：逆命題“若a＋c＞b＋c，則a＞b”成立嗎？——兩邊加“－c”即可證明。[例1]求證：若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d(同向不等式相加性質(zhì))證明1：∵a＞b∴a＋c＞b＋c (性質(zhì)2)∵c＞d∴b＋c＞b＋d (性質(zhì)2)則a＋c＞b＋d (性質(zhì)1)證明2：∵a＞b∴a－b＞0∵c＞d∴c－d＞0∴(a－b)＋(c－d)＞0即(a＋c)－(b＋d)＞0(作差比較法)則a＋c＞b＋d反思：你更喜歡哪種方法？為什么？(精彩回答：我都喜歡，如同自己的一對(duì)雙胞胎。)練習(xí)：求證：若a＞b，c＜d，則a－c＞b－d(異向不等式相減性質(zhì))——作業(yè)證明1：∵c＜d∴c－d＜0得d－c＞0即－c＞－d (正數(shù)得相反數(shù)為負(fù)數(shù))亦可由c＜d兩邊同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d(性質(zhì)2)∵a＞b∴a＋(－c)＞b＋(－d) (同向不等式相加性質(zhì))則a－c＞b－d (加減法運(yùn)算法則)證明2：∵a＞b∴a－b＞0∵c＜d∴d－c＞0∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0(作差比較法)則a－c＞b－d性質(zhì)3：若a＞b，c＞0，則ac＞bc若a＞b，c＜0，則ac＜bc(不等式的乘法性質(zhì))證明：ac－bc＝(a－b)c(作差比較法)∵a＞b∴a－b＞0當(dāng)c＞0時(shí)，(a－b)c＞0，得ac＞bc(正負(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì))當(dāng)c＜0時(shí)，(a－b)c＜0，得ac＜bc(正負(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì))反思：等式兩邊同乘一個(gè)數(shù)，等式永遠(yuǎn)成立。但不等式的情況完全不同！——強(qiáng)調(diào)！思考：(1)“若a＞b，則ac2＞bc2”成立嗎？——不成立！反例：c＝0時(shí)不成立。(2)“若ac2＞bc2，則a＞b”成立嗎？——成立！隱含c2＞0。練習(xí)：(1)《教材》P.30-練習(xí)2.1(1)-1(學(xué)生口答，教師點(diǎn)評(píng))(2)《教材》P.30-練習(xí)2.1(1)-2、3(學(xué)生板書，教師點(diǎn)評(píng))2、求證：若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd(同向不等式相乘性質(zhì))證明：∵a＞b，c＞0∴ac＞bc (性質(zhì)3)∵c＞d，b＞0∴bc＞bd (性質(zhì)3)則ac＞bd (性質(zhì)1)特例：當(dāng)a＝c且b＝d時(shí)，有“若a＞b＞0，則a2＞b2”推而廣之：若a＞b＞0，則an＞bn(n∈N*)(不等式的乘方性質(zhì))推而廣之：若a＞b＞0，則＞(n∈N*，n＞1)(不等式的開方性質(zhì))——可用反證法進(jìn)行證明。3、求證：若a＞b＞0，則0＜＜(不等式的倒數(shù)性質(zhì))——作業(yè)證明：∵a＞b＞0∴＞0，＞0，a－b＞0∴－＝＞0(正負(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì))則0＜＜[例2]比較(a＋1)2與a2－a＋1的值的大小。解：(a＋1)2－(a2－a＋1)＝3a(1)當(dāng)a＜0時(shí)，(a＋1)2＜a2－a＋1(2)當(dāng)a＝0時(shí)，(a＋1)2＝a2－a＋1(3)當(dāng)a＞0時(shí)，(a＋1)2＞a2－a＋1反思：(1)比較大小時(shí)，等與不等一定要分開討論！——強(qiáng)調(diào)！(2)分類討論時(shí)，要做到“不遺漏，不重復(fù)”！——強(qiáng)調(diào)！[例3]解關(guān)于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。解：(m－1)x＞－m(1)當(dāng)m＝1時(shí)，x∈R(2)當(dāng)m＜1時(shí)，x＜－；(3)當(dāng)m＞1時(shí)，x＞－反思：(1)引起討論的原因是什么？——m－1值的不確定性(2)如何進(jìn)行討論？——不等式性質(zhì)課堂小結(jié)：(1)數(shù)學(xué)知識(shí)：8條不等式性質(zhì)(教材P.31)(2)數(shù)學(xué)方法：作差比較法(3)數(shù)學(xué)思想：分類討論第1課時(shí)作業(yè)：《練習(xí)冊(cè)》P.13-習(xí)題2.1-A、B組(做在練習(xí)冊(cè)上)第2課時(shí)：講評(píng)作業(yè)或者做《教材》P.30-練習(xí)2.1(2)-1(學(xué)生口答，教師點(diǎn)評(píng))[例1]解關(guān)于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。解：(1)m2－4＝0即m＝－2或m＝2①當(dāng)m＝－2時(shí)，x∈②當(dāng)m＝2時(shí)，x∈R(2)m2－4＞0即m＜－2或m＞2時(shí)，x＜(3)m2－4＜0即－2＜m＜2時(shí)，x＞反思：(1)引起討論的原因是什么？——m2－4值的不確定性(2)如何進(jìn)行討論？——不等式性質(zhì)[例2]若m＞0，y＞x＞0，試比較與的大小。解：－＝＝∵y＞x∴y－x＞0∵y＞0，m＞0∴y＋m＞0又∵y＞0，m＞0∴＞0則＞引申：若a、b、c、d均為正數(shù)，且＜，求證：＜＜證明1：(作差比較法)－＝∵＜，b＞0，d＞0∴bc＞ad得＞0則＞同理可證：＜證明2：(變更論證法)∵b＞0，b＋d＞0∴＜a(b＋d)＜b(a＋c)a(b＋d)－b(a＋c)＝ad－bc∵＜，b＞0，d＞0∴ad＜bc得a(b＋d)＜b(a＋c)則＜同理可證：＜[例3]若x＞0，試比較＋與＋的大小。分析：直接作差顯然不可取。可考慮去根號(hào)，利用不等式的乘方、開方性質(zhì)。解：(＋)2＝2x＋3＋2，(＋)2＝2x＋3＋2∵＜∴2x＋3＋2＜2x＋3＋2得(＋)2＜(＋)2則＋＜＋反思：“分析法”是尋找解題思路的常用方法。[例4]甲、乙兩人連續(xù)兩天去市場(chǎng)買青菜。甲每次買青菜的數(shù)量不變，乙每次買青菜的費(fèi)用不變。問甲、乙兩人誰(shuí)購(gòu)買的方法比較合算？分析：何為合算？——平均單價(jià)便宜。解：設(shè)第一天青菜單價(jià)a元/斤，第一天青菜單價(jià)b元/斤。設(shè)甲每次買青菜x斤，乙每次買青菜花費(fèi)y元，∴甲平均單價(jià)為＝，乙平均單價(jià)為＝∵－＝∴(1)a＝b時(shí)，＝；(2)a≠b時(shí)，＞由(1)(2)可知：乙購(gòu)買的方法比較合算。[例5](第1課時(shí)的引例)現(xiàn)有A、B、C、D四個(gè)長(zhǎng)方體容器，A、B容器的底面積為a2，高分別為a、b，C、D容器的底面積為b2，高分別為a、b，其中a≠b。甲先從四個(gè)容器中取兩個(gè)容器盛水，乙用剩下的兩個(gè)容器盛水。問如果你是甲，是否一定能保證兩個(gè)容器所盛水比乙的多？分析：依題意可知：A、B、C、D四個(gè)容器的容積分別為a3、a2b、ab2、b3，甲有6種取法。問題可以轉(zhuǎn)化為比較容器兩兩和的大小。解：(1)取A、B：(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a＋b)2(a－b)無(wú)法確定大小(2)取A、C：(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a2＋b2)(a－b)無(wú)法確定大小(3)取A、D：(a3＋b3)－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a－b)2由于a≠b，則(a＋b)(a－b)2＞0，即a3＋b3＞ab2＋a2b——先取A、D則必勝！能否推廣？——觀察a3＋b3＞ab2＋a2b的特征，進(jìn)行猜測(cè)。a4＋b4＞ab3＋a3b，a4＋b4＞a2b2＋a2b2a5＋b5＞ab4＋a4b，a5＋b5＞a2b3＋a3b2……更為一般性的結(jié)論：a、b∈R，m、n∈N*，則am+n＋bm+n≥ambn＋an