完全彈性碰撞

§3—7完全彈性碰撞完全非彈性碰撞一、碰撞（Collision）基本概念：碰撞，一般是指兩個或兩個以上物體在運動中相互靠近，或發(fā)生接觸時，在相對較短的時間內(nèi)發(fā)生強烈相互作用的過程。碰撞會使兩個物體或其中的一個物體的運動狀態(tài)發(fā)生明顯的變化。碰撞過程一般都非常復雜，難于對過程進行仔細分析。但由于我們通常只需要了解物體在碰撞前后運動狀態(tài)的變化，而對發(fā)生碰撞的物體系來說，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用動量、角動量以及能量守恒定律對有關問題求解。特點：1）碰撞時間極短2）碰撞力很大，外力可以忽略不計，系統(tǒng)動量守恒3）速度要發(fā)生有限的改變，位移在碰撞前后可以忽略不計碰撞過程的分析：討論兩個球的碰撞過程。碰撞過程可分為兩個過程。開始碰撞時，兩球相互擠壓，發(fā)生形變，由形變產(chǎn)生的彈性恢復力使兩球的速度發(fā)生變化，直到兩球的速度變得相等為止。這時形變得到最大。這是碰撞的第一階段，稱為壓縮階段。此后，由于形變?nèi)匀淮嬖冢瑥椥曰謴土^續(xù)作用，使兩球速度改變而有相互脫離接觸的趨勢，兩球壓縮逐漸減小，直到兩球脫離接觸時為止。這是碰撞的第二階段，稱為恢復階段。整個碰撞過程到此結束。分類：根據(jù)碰撞過程能量是否守恒1）完全彈性碰撞：碰撞前后系統(tǒng)動能守恒（能完全恢復原狀）；2）非彈性碰撞：碰撞前后系統(tǒng)動能不守恒（部分恢復原狀）；3）完全非彈性碰撞：碰撞后系統(tǒng)以相同的速度運動（完全不能恢復原狀）。在碰撞后，兩物體的動能之和（即二、完全彈性碰撞(PerfectElasticCollision)在碰撞后，兩物體的動能之和（即總動能）完全沒有損失，這種碰撞叫做完全彈性碰撞。解題要點：動量、動能守恒。速度分別為Vio,V20，碰撞后速度變?yōu)閂速度分別為Vio,V20，碰撞后速度變?yōu)閂i,V2動量守恒動能守恒由（1）由（2）由⑷/⑶動能守恒由（1）由（2）由⑷/⑶mv+mv=mv+mv11221102201111mv2+mv2=mv2+mv221122221102220m1m(v-v)=m(1t—v，)=m2(11102202(1)(2)(3)(4)v+v=v+v110220或v—v=v—v（5）102021即碰撞前兩球相互趨近的相對速度v10-v20等于碰撞后兩球相互分開的相對速度v2-V］。由（3）、（5）式可以解出：\m—m人+2mvTOC\o"1-5"\h\zv=——12_10220m+m（m—m丄+2mvv=——21_20m+m12討論：m=m，則v二v，v二v，兩球碰撞時交換速度12210120v二0，m<<m則v沁—v，v=0，m反彈，即質(zhì)量很大且原來201211021靜止的物體，在碰撞后仍保持不動，質(zhì)量小的物體碰撞后速度等值反向。若m2<<m1，且v20=0，則v1^v10，v2^2v10，即一個質(zhì)量很大的球體，當它的與質(zhì)量很小的球體相碰時，它的速度不發(fā)生顯著的改變，但是質(zhì)量很小的球卻以近似于兩倍于大球體的速度運動。三、完全非彈性碰撞（PerfectInelasticCollision如兩物體在碰撞后以同一速度運動（即它們相碰后不再分開），這種碰撞叫做完全非彈性碰撞。解題要點：動量守恒。碰撞后系統(tǒng)以相同的速度運動v=v2=vmv+碰撞后系統(tǒng)以相同的速度運動v=v2=vmv+mv=(m+m)11022012mv+mvv=—1-^0220m+m12動量守恒所以動能損失為AE=(1—mv2I21101)+—mv22220丿——(m+m)v2212mm(二_\\v—v2屁+m丿102012四、非完全彈性碰撞兩物體碰撞時，由于非保守力作用，致使機械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能、化學能等其他形式的能量，或者其他形式的能量轉(zhuǎn)換為機械能，這種碰撞就叫做非彈性碰撞。解題要點：動量守恒、能量守恒。由于壓縮后的物體不能完全恢復原狀而有部分形變被保留下來，因此系統(tǒng)的動量守恒而動能不守恒。實驗表明，壓縮后的恢復程度取決于碰撞物體的材料。牛頓總結實驗結果，提出碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度v2-v1與碰撞前兩球的接近速度v10-v20之比為以定值，比值由兩球材料的性質(zhì)決定。該比值稱為恢復系數(shù)（CoefficientofRestitution），用e表示，即v一ve二一21-v一v1020由上式可見：e=0，v2=v1，為完全非彈性碰撞；e=1，v2=v1=v10-v20，為完全彈性碰撞；0<e<1，為非完全彈性碰撞。(8)(8)(m一emL+(1+e)mvv=1210荃』0m+m(m一emL+(1+e)mvv=2+3010m+m12例題：如圖所示，質(zhì)量為1kg的鋼球，系在長為上的繩子的一端，繩子的另端固定。把繩子拉至水平位置后將球由靜止釋放，球在最低點與質(zhì)量為5kg的鋼塊作完全彈性碰撞。求碰撞后鋼球升高的高度。解：本題分三個過程：第一過程：鋼球下落到最低點。以鋼球和地球為系統(tǒng)，機械能守恒。以鋼球在最低點為重力勢能零點mv2=mgl2o第二過程：恒。1mv22omv0(1)鋼球與鋼塊作完全彈性碰撞，以鋼球和鋼塊為系統(tǒng)，動能和動量守=丄mv2+MV222=mv+MV(3)第三過程：鋼球上升。以鋼球和地球為系統(tǒng)，機械能守恒。以鋼球在最低點為(2)重力勢能零點。mv2=mgh2由(2)、((3)可得)

mv2-v2厶MV2

mC-v)=MV0得v+v=Vmv=mv+MC+v)00(m一M'm+M丿(6)/(5)，代入(2)因而v0(4)(5)(6)(7)(4)/(1)，得v2=hv2l

0(7)代入(8)h=代入數(shù)據(jù)，得h=x0.8=0.356m§3-8能量守恒定律一、內(nèi)容：如果系統(tǒng)內(nèi)除了萬有引力、彈性力等保守力作功以外，還有摩擦力或其他非保守內(nèi)力作功，那么這系統(tǒng)的機械能就要發(fā)生變化，但它總是轉(zhuǎn)換為其他形式的能量，這是由大量的實驗所證明的。對于一個孤立系統(tǒng)來說，系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)換的，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生，也不能消滅，能量的總和是不變的。這就是能量守恒定律。該定律是自然界的基本定律之一，是物理學中最具普遍性的定律之一，可適用于任何變化過程，不論是機械的、熱的、電磁的、原子和原子核內(nèi)的，以及化學的、生物的等等，其意義遠遠超出了機械能守恒定律的范圍，后者只不過是前者的一個特例。二、說明：能量守恒定律是19世紀，經(jīng)過，和Helmholtz等人的努力建立起來的。Engels把能量守恒定律同生物進化論、細胞的發(fā)現(xiàn)相提并論，譽為19世紀的三個最偉大的科學發(fā)現(xiàn)。因為能量是各種運動的一般量度，所以能量守恒定律所闡明的實質(zhì)就是各種物質(zhì)的運動可以相互轉(zhuǎn)換。三、能量守恒定律的重要性：自然界一切已經(jīng)實現(xiàn)的過程無一例外遵守能量守恒定律。凡是違反能量守恒定律的過程都是不可能實現(xiàn)的，例如“永動機”只能以失敗而告終。利用能量守恒定律研究物體系統(tǒng)，可以不管系統(tǒng)內(nèi)各物體的相互作用如何復雜，也可以不問過程的細節(jié)如何，而直截了當?shù)貙ο到y(tǒng)的始末狀態(tài)的某些特征下結論，為解決問題另辟新路子。這也是守恒定律的特點和優(yōu)點。四、守恒定律的意義自然界中許多物理量，如動量、角動量、機械能、電荷、質(zhì)量、宇稱、粒子反應中的重子數(shù)、輕子數(shù)等等，都具有相應的守恒定律。物理學特別注意守恒量和守恒定律的研究，這是因為：第一，從方法論上看：利用守恒定律可避開過程細節(jié)而對系統(tǒng)始、末態(tài)下結論(特點、優(yōu)點)。第二，從適用性來看：守恒定律適用范圍廣，宏觀、微觀、高速、低速均適用(牛頓定律只適用于宏觀、低速，但由它導出的動量守恒定律的適用范圍遠它廣泛，迄今為止沒發(fā)現(xiàn)它不對過)。第三，從認識世界來看：守恒定律是認識世界的有力武器。在新現(xiàn)象研究中，當發(fā)現(xiàn)某個守恒定律不成立時，往往作以下考慮：尋找被忽略的因素，從而恢復守恒定律的應用。引入新概念，使守恒定律更普遍化。⑶無法"補救”時，宣布該守恒定律失效。例：中微子的發(fā)現(xiàn)問題的提出:B衰變：核a一核B+e如果核A靜止，則由動量守恒應有PB+Pe=0；但B衰變云室照片表明，B、e的徑跡并不在一條直線上。6問題何在是動量守恒有問題還是有其它未知粒子參與

物理學家堅信動量守恒。1930年泡利提出中微子假說，以解釋B衰變各種現(xiàn)象。1956年(26年后)終于在實驗上直接找到中微子。1962實驗上正式確定有兩種中微子：電子中微子ve、卩子中微子veh第四，從本質(zhì)上看：換不變性)：動量守恒換不變性)：動量守恒能量守恒角動量守恒相應于空間平移的對稱性相應于時間平移的對稱性相應于空間轉(zhuǎn)動的對稱性*功與能量的聯(lián)系和區(qū)別能量守恒定律能使我們更深刻地理解功的意義。按能量守恒定律，一個物體或系統(tǒng)的能量變化時，必然有另一個物體或系統(tǒng)的能量同時發(fā)生變化。所以當我們用作功的方法(以及用傳遞熱量等其他方法)使一個系統(tǒng)的能量變化時，在本質(zhì)上是這個系統(tǒng)與另一個系統(tǒng)之間發(fā)生了能量的交換。而這個能量的交換在量值上就用功來描述。所以說，功總是和能量的變化與轉(zhuǎn)換過程相聯(lián)系。功是能量交換或變化的一種量度。能量是代表物體系統(tǒng)在一定狀態(tài)下所具有的作功本領，它和物體系統(tǒng)的狀態(tài)有關，是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。內(nèi)容：1質(zhì)心的概念；2?質(zhì)心運動定律。F等于質(zhì)點系所受的合外力F，即yF內(nèi)容：1質(zhì)心的概念；2?質(zhì)心運動定律。F等于質(zhì)點系所受的合外力F，即yF=F，而iicicd2rd2y(-\yd2乙匕r丿mi=mr=mL~L-idt2dt2iiidt2mi因而可引入質(zhì)心ymriir=-4=1cymii=1在直角坐標系中，質(zhì)心位置矢量各分量的表達式為：ymzii-4=1ymii=1工mxii4=1工mii=1對于連續(xù)分布的物體,r=Jrdm

cM分量形式為x=丄Jxdm，cMymyii=-4=1ymii=1質(zhì)心的計算公式為:=丄Jydm,zM=丄JzdmM*§3—9質(zhì)心質(zhì)心運動定律一、質(zhì)心(CenterofMass)的概念1.例子：水平上拋三角板；運動員跳水2?質(zhì)心一一代表質(zhì)點系質(zhì)量分布的平均位置，質(zhì)心可以代表質(zhì)點系的平動。推導：N個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，第i個質(zhì)點的質(zhì)量為m.，位置矢量為r，所受的合一1一1力為F=f+仁，其中f為系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)TOC\o"1-5"\h\ziii外I點對它作用的內(nèi)力，/乩為系統(tǒng)外質(zhì)點對它i外作用的外力。根據(jù)牛頓第二定律得d2rm十=F=f+fidt2iii外對整個質(zhì)點系中的所有質(zhì)點求和y云yd2rF=厶miiidt2由于質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間的相互作用滿足牛頓第三定律，這些相互作用力的和為零(yf=0)，所以y

例題：試計算如圖所示的面密度為恒量的直角三角形的質(zhì)心的位置。解：取如圖所示的坐標系。由于質(zhì)量面密度b為恒量，取微元ds=dxdy的質(zhì)量為dm=gds=gdxdy所以質(zhì)心的例題：試計算如圖所示的面密度為恒量的直角三角形的質(zhì)心的位置。解：取如圖所示的坐標系。由于質(zhì)量面密度b為恒量，取微元ds=dxdy的質(zhì)量為dm=gds=gdxdy所以質(zhì)心的x坐標為JJxbdxdygdxdya從圖中可以看出，三角形斜邊的方程為y=a-xb積分得xxgdxdyxc00ab2

g—

_6_

ab

g-2同樣可以求得質(zhì)心的y坐標ycJJyGdxdygdxdy積分yc00厶一「（ba'因而質(zhì)心的坐標為l33丿說明：1）坐標系的選擇不同，質(zhì)心的坐標也不同；2）對于密度均勻，形狀對稱的物體，其質(zhì)心在物體的幾何中心處；3）質(zhì)心不一定在物體上，例如圓環(huán)的質(zhì)心在圓環(huán)的軸心上；4）質(zhì)心和重心（CenterofGravity）是兩個不同的概念質(zhì)心是有由質(zhì)量分布決定的特殊的點；重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力的作用點。當物體遠離地球時，重力不存在，重心的概念失去意義，但是質(zhì)心還是存在的。二、質(zhì)心運動定律（TheoremofMotionofCenter-of-Mass1.系統(tǒng)的動量drdt把質(zhì)心公式對時間求導drdtdrm—iidt因而上式為TOC\o"1-5"\h\zdrdr因而上式為*為質(zhì)心的速度v，丄為第i個質(zhì)點的速度為v，dtdtiMv=乙mv=乙pciii

即，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的動量的矢量和等于系統(tǒng)質(zhì)心的速度與系統(tǒng)質(zhì)量的乘積。2．質(zhì)心運動定理引入系統(tǒng)動量以后，系統(tǒng)所受的合外力可以寫成dvF=M-=Macdtc即，作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質(zhì)量與系統(tǒng)質(zhì)心加速度的乘積。它與牛頓第二定律在形式上完全相同，相對于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中于系統(tǒng)的質(zhì)心，在合外力的作用下，質(zhì)心以加速度a運動。c說明：無論系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的運動任何復雜，但是質(zhì)心的運動可能相當簡單，只由作用在系統(tǒng)上的外力決定；內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動狀態(tài)。大力士不能自舉其身就是一例。質(zhì)心是質(zhì)點系平動的代表點，各質(zhì)點追隨質(zhì)心的運動，表現(xiàn)出系統(tǒng)的整體運動。3克尼希(KonigTheorem)定理質(zhì)點系的總動能，等于相對于質(zhì)點系的動能，加上隨質(zhì)點系整體平動的動能，即E=E'+mv2kk2c例題：設有一個質(zhì)量為2m的彈丸，從地面斜拋出去，它飛行到最高點處爆炸成質(zhì)量相TOC\o"1-5"\h\z等的