2020-2021學(xué)年上海市嘉定一中高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年上海市嘉定一中高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知在區(qū)間I上是嚴格增函數(shù)，且，則是（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】由增函數(shù)的定義知：且時，即可判斷條件之間的充分、必要性.【詳解】由在區(qū)間I上是嚴格增函數(shù)，∴，時，，∴，即，故是充分非必要條件.故選：A.2．設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是A． B．C． D．【答案】C【詳解】，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，故選C．【考點定位】1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調(diào)性．3．若是滿足的實數(shù)，那么下列結(jié)論中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用特殊值法判斷即可.【詳解】令，則，，，故選：D【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的大小比較，特殊值法，屬于容易題.4．關(guān)于函數(shù)，給出以下四個命題：（1）當時，單調(diào)遞減且沒有最值；（2）方程一定有實數(shù)解；（3）如果方程（m為常數(shù)）有解，則解的個數(shù)一定是偶數(shù)；（4）是偶函數(shù)且有最小值．其中正確的命題個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由函數(shù)解析式可推出是偶函數(shù)，在、上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減，且恒成立，即可判斷各項的正誤.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且恒成立，可得函數(shù)草圖如下：（1）當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故錯誤；（2）當時，函數(shù)與函數(shù)的圖像一定有交點，由對稱性可知，當且時，函數(shù)與函數(shù)的圖像也一定有交點，故正確；（3）當時，方程只有1個解，故錯誤；（4）由對稱性知，有最小值，故正確；故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)函數(shù)解析式確定單調(diào)區(qū)間，奇偶性以及值域，進而結(jié)合各項的描述判斷正誤，注意一次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)對稱性的應(yīng)用.二、填空題5．設(shè)全集，集合，，則___________【答案】【分析】根據(jù)集合交補含義可得.【詳解】因為，，.故答案為:【點睛】此題為基礎(chǔ)題，考查集合的運算.6．冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則______.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)所過的點,代入可求得冪函數(shù)解析式,即可求得的值.【詳解】冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點代入可得解得所以冪函數(shù)解析式為則故答案為:【點睛】本題考查了冪函數(shù)解析式的求法,函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.7．不等式的解集為________．【答案】【分析】由分式不等式的解法，有求解即可.【詳解】由題意，有，解得或或，∴解集為.故答案為：.8．已知“”是“”的必要非充分條件，則實數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】先由一元二次不等式以及絕對值不等式的解法化簡，再結(jié)合必要非充分條件的性質(zhì)，列出不等式，得出答案.【詳解】由得，解得由得，解得因為“”是“”的必要非充分條件所以，解得故答案為：9．已知為R上的奇函數(shù)，且當時，，則________．【答案】【分析】由R上的奇函數(shù)，有求參數(shù)，進而求，又即可求值.【詳解】由為R上的奇函數(shù)，有，∴根據(jù)函數(shù)解析式，有，即，∴，則，∴.故答案為：.10．若a表示的小數(shù)部分，則的值是________．【答案】【分析】由題意知，即可得，代入對數(shù)式，應(yīng)用對數(shù)運算的性質(zhì)求值即可.【詳解】由，知：，即，，∴.故答案為：.11．已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根、，若，則的值為________【答案】4【分析】將，變形為，根據(jù)方程有兩個實數(shù)根、，得到，再代入上式求解.【詳解】因為方程有兩個實數(shù)根、，所以，因為，所以，，即，解得或（舍去）故答案為：412．若函數(shù)在區(qū)間上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】【分析】討論、，并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列不等式求參數(shù)范圍，合并不同情況的m取值即可.【詳解】當時，在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，符合題意；當時，，∴，即，可得，綜上，有.故答案為：.13．已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為kx2﹣kx+1＞0恒成立求參數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，當k＝0時，1＞0恒成立，當k≠0時，，解可得，0＜k＜4，綜上可得，k的范圍[0，4）.故答案為：.14．已知，若只有1個整數(shù)元素，則實數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】解絕對值不等式得，且，結(jié)合條件可得，進而得，從而得解.【詳解】由得，且若只有1個整數(shù)元素，又，所以，所以，解得.故答案為：.15．設(shè)，若關(guān)于x的不等式有解，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】令并得到其分段函數(shù)形式，由題設(shè)不等式有解，即即可，解一元二次不等式即可求a的范圍.【詳解】由，∴要使不等式有解，僅需即可，∴，解得或.故答案為：.16．已知是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)x，都有，則________．【答案】【分析】令，由題意知，可求出，又，即有，進而可求.【詳解】若，則，又是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，∴，得，又，∴，則.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性，以及恒等式成立，求時的值，再利用恒等式求目標函數(shù)值.三、解答題17．已知函數(shù).（1）當a=2時，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù).當時，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）當時；（2）由等價于，解之得.試題解析：（1）當時，.解不等式，得.因此，的解集為.（2）當時，，當時等號成立，所以當時，等價于.①當時，①等價于，無解.當時，①等價于，解得.所以的取值范圍是.【解析】不等式選講.18．設(shè)，，且.證明：(1)；(2)與不可能同時成立．【答案】(1)見解析.(2)見解析.【詳解】試題分析：本題考查基本不等式和反證法,結(jié)合轉(zhuǎn)化思想證明不等式,意在考查考生對基本不等式的掌握和反證法的應(yīng)用.(i)構(gòu)造基本不等式求出代數(shù)式的最值,直接證明不等式成立;(ii)直接證明較難,假設(shè)兩個不等式同時成立,利用(i)的結(jié)論,得出矛盾,則假設(shè)不成立.試題解析：由,,得.(1)由基本不等式及,有,即(2)假設(shè)與同時成立,則由及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故與不可能同時成立.點睛：本題主要考查基本不等式，其難點主要在于利用三角形的一邊及這條邊上的高表示內(nèi)接正方形的邊長.在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項均相等，取得最值.19．已知函數(shù)，其中為實常數(shù).（1）若，解關(guān)于的方程；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.【答案】（1）或（2）當時，函數(shù)為奇函數(shù)，當時，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，見解析【分析】（1）根據(jù),代入可求得的解析式,進而得方程.解指數(shù)形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出.根據(jù)奇偶性定義即可求得的值,即可判斷奇偶性.【詳解】（1）因為代入可得,解得所以則可化為化簡可得即解得或（2）則當時,,此時,函數(shù)為奇函數(shù)當時,,,此時,函數(shù)為偶函數(shù)當時,與都不能成立,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)綜上可知,當時,為奇函數(shù);當時,為偶函數(shù);當時,函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【點睛】本題考查了指數(shù)方程的解法,利用奇偶性定義判定函數(shù)奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.20．小張在淘寶網(wǎng)上開一家商店，他以10元每條的價格購進某品牌積壓圍巾2000條．定價前，小張先搜索了淘寶網(wǎng)上的其它網(wǎng)店，發(fā)現(xiàn)：商店以30元每條的價格銷售，平均每日銷售量為10條；商店以25元每條的價格銷售，平均每日銷售量為20條．假定這種圍巾的銷售量（條）是售價（元）的一次函數(shù)，且各個商店間的售價、銷售量等方面不會互相影響．（1）試寫出圍巾銷售每日的毛利潤（元）關(guān)于售價（元）的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出定義域），并幫助小張定價，使得每日的毛利潤最高（每日的毛利潤為每日賣出商品的進貨價與銷售價之間的差價）；（2）考慮到這批圍巾的管理、倉儲等費用為200元/天（只要圍巾沒有售完，均須支付200元/天，管理、倉儲等費用與圍巾數(shù)量無關(guān)），試問小張應(yīng)該如何定價，使這批圍巾的總利潤最高（總利潤=總毛利潤總管理、倉儲等費用）？【答案】（1）；定價為22元或23元（2）25元【分析】（1）根據(jù)題意先求出銷售量與售價之間的關(guān)系式，再利用毛利潤為每日賣出商品的進貨價與銷售價之間的差價，確定毛利潤（元）關(guān)于售價（元）的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)求最值的方法可求；（2）根據(jù)總利潤=總毛利潤總管理、倉儲等費用，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式可求最值．【詳解】設(shè)，∴，解得，b=70，∴．（1），∵，∴圍巾定價為22元或23元時，每日的利潤最高．（2）設(shè)售價x（元）時總利潤為z（元），∴，元，當時，即時，取得等號，∴小張的這批圍巾定價為25元時，這批圍巾的總利潤最高.【點睛】本題以實際問題為載體，考查二次函數(shù)模型的構(gòu)建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，關(guān)鍵是函數(shù)式的構(gòu)建．與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行解答.21．已知函數(shù)，且滿足．（1）判斷函數(shù)在上是否嚴格單調(diào)，并用定義證明；（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值；（3）若存在實數(shù)m，使得關(guān)于x的方程恰有4個不同的正根，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）在上嚴格增；證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)確定a.再任取兩數(shù)，作差，通分并根據(jù)分子分母符號確定差的符號，最后根據(jù)定義確定函數(shù)單調(diào)性；（2）先根據(jù)絕對值定義將函數(shù)化為分段函數(shù)，都可化為二次函數(shù)，再根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定最值，最后取兩個最大值中較大值；（3）先對方程變形得，設(shè),轉(zhuǎn)化為方程在有兩個不等的根，根據(jù)二次函數(shù)圖像，得實根分布條件，解得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）由且，得，所以，當時，，任取，且，則，因為，所以，，，所以在上嚴格增；（2）當時，，所以，當時，，所以，所以；（3）由（1）得在上嚴格增，當時，，同理在上嚴格減，當時，方程可化為，即，令，則，原方程恰有4個不同的正根，等價于在上有兩個不等的實根，，所