合情推理與演繹推理課件

第五節(jié)合情推理與演繹推理一、合情推理1．歸納推理定義：由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理．特點(diǎn)：是由

到整體、由

到一般的推理．2．類(lèi)比推理定義：由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有

的推理．特點(diǎn)：類(lèi)比推理是由

的推理．

全部對(duì)象部分個(gè)別這些特征特殊到特殊二、演繹推理1．模式：三段論①大前提——已知的

；②小前提——所研究的

；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)

做出的判斷．2．特點(diǎn)：演繹推理是由

到

．

一般原理特殊情況特殊情況一般特殊的推理[疑難關(guān)注]1．合情推理主要包括歸納推理和類(lèi)比推理．?dāng)?shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向．2．演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行．3．合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確．而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)．1．(課本習(xí)題改編)數(shù)列2,5,11,20，x,47…中的x等于()A．28B．32C．33D．27解析：從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列．∴x＝20＋12＝32.答案：B

2．(2013年長(zhǎng)春模擬)類(lèi)比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運(yùn)算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④D．②③

解析：經(jīng)驗(yàn)證易知①②錯(cuò)誤．依題意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．綜上所述，選B.答案：B

答案：C

5．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閮蓚€(gè)正三角形是相似三角形，所以它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為1∶8.答案：1∶8

考向一歸納推理[例1](2012年高考湖北卷)傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，可以推測(cè)：(1)b2012是數(shù)列{an}中的第________項(xiàng)；(2)b2k－1＝________.(用k表示)

古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10…這樣的數(shù)稱(chēng)為“三角形數(shù)”，而把1,4,9,16…這樣的數(shù)稱(chēng)為“正方形數(shù)”．如圖，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式是________．①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.

解析：這些“三角形數(shù)”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形數(shù)”是“三角形數(shù)”中相鄰兩數(shù)之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是對(duì)的．答案：③⑤

考向三演繹推理

A．大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B．小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D．大前提和小前提錯(cuò)都導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)解析：y＝ax是增函數(shù)這個(gè)大前提是錯(cuò)誤的，從而導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)．答案：A

【易錯(cuò)警示】類(lèi)比時(shí)類(lèi)比不當(dāng)而致誤

【錯(cuò)因】上述解法出錯(cuò)的原因在于學(xué)生誤認(rèn)為平面內(nèi)三條高線(xiàn)長(zhǎng)度類(lèi)比到空間中應(yīng)為相應(yīng)的面的面積．本題解決的關(guān)鍵是理解在三角形中的結(jié)論是采用等面積法得到的，那么在三棱錐中就可以根據(jù)等體積法得到，這樣就不會(huì)出現(xiàn)類(lèi)比失誤．

【防范指南】類(lèi)比推理是一種由此及彼的合情推理，一般的解答思路是進(jìn)行對(duì)應(yīng)的類(lèi)比，類(lèi)比推理得到的結(jié)論不一定正確，故這類(lèi)題目在得到類(lèi)比的結(jié)論后，還要用類(lèi)比方法對(duì)類(lèi)比結(jié)論的正確性作出證明．1．(2012年高考江西卷)觀察下列事實(shí)：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為()A．76B．80C．86D．92解析：觀察規(guī)律，歸納推理．由題意知|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為12，則可歸納出等式右端值與不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，且解的個(gè)數(shù)為等式值的4倍，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為80.答案：B

2．(2011年高考江西卷)觀察下列各式：55＝3125,56＝15625，57＝78125，…，則52011的末四位數(shù)字為()A．3125B．5625C．0625D．8125解析：∵55＝3125,56＝15625,57＝78125，58