《離散數(shù)學》第一章7-8節(jié)

復習真值表等價公式證明方法（真值表、公式證明法）整理ppt16組重要等值式1、雙重否定律

P

┐┐P2、冪等律

P

P∧PP

P∨P3、交換律

P∨QQ

∨PP∧QQ

∧P4、結(jié)合律

(P∨Q)∨R

P∨(Q∨R)(P∧Q)∧R

P∧(Q∧R)整理ppt5、分配律

P∨(Q∧R)(P∨Q)∧

(P∨R)P∧(Q∨R)(P∧Q)∨

(P∧R)6、吸收律

P∨(P∧Q)

PP∧(P∨Q)

P7、德摩根律

┐

(P∨Q)

┐P∧┐Q

┐(P∧Q)

┐P∨

┐Q8、零律

P∨TTP∧FF9、同一律

P∨FPP∧TP整理ppt10、排中律

P∨

┐PT11、矛盾律

P∧

┐PF12、蘊涵等值式

PQ

┐P∨Q13、等價等值式

P

Q

（PQ）∧

（QP）14、假言易位

PQ

┐Q┐P15、等價否定等值式

P

Q

┐P

┐Q16、歸謬論

（PQ）∧

（P

┐Q）

┐

P記憶技巧：借助集合的運算式，∨看成并，∧看成交，┐看成補，T看成全集，F(xiàn)看成空集，再加12-16條。整理ppt其他等價公式其他聯(lián)接詞(1)P▽Q

┐(P

Q);雙條件否定(不可兼析取或,異或)(2)PQ

┐(P→Q);條件否定(3)P↑Q

┐(P∧Q);與非(4)P↓Q

┐(P∨Q);或非整理ppt1-7對偶與范式對偶范式整理ppt一、對偶式定義1-7.1：在給定的僅含有┐,∧,∨的命題公式中，將∨換成∧，將∧換成∨，T和F互換，所得公式A﹡稱為A的對偶式。例1：寫出（P∨Q）∧┐R的對偶式解：對偶式為（P∧Q）∨┐R寫出（P∧┐Q）∨T，┐P∨F∧T的對偶式整理ppt定理1-7.2:設(shè)P1,P2,…Pn是出現(xiàn)在公式A和B中的所有原子變元,如果A

B,則A﹡

B﹡.整理ppt二.公式的標準型——范式整理ppt1.范式定義1-7.2：一個命題公式稱為合取范式，當且僅當它具有

A1∧A2∧…∧An

其中A1,A2,…,An都是由命題變元或其否定所組成的析取式.定義1-7.3:一個命題公式稱為析取范式，當且僅當它具有

A1∨A2∨…∨An

其中A1,A2,…,An都是由命題變元或其否定所組成的合取式.例如:(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨Q)∧┐Q

┐P∨(P∧Q)∨(P∧┐Q∧R)合取范式析取范式整理ppt步驟可以通過下面3個步驟將任一命題公式化為合取范式或析取范式：將公式中的聯(lián)結(jié)詞化歸成∧，∨及┐；利用德.摩根律將否定符號┐直接移到各個命題變元之前；利用分配律、結(jié)合律將公式歸約為合取范式或析取范式。例5:求（P∧（Q→R））→S的析取范式和合取范式解：原公式

┐(P∧（┐Q∨R）)∨S

（┐P∨（Q∧┐R））∨S

┐P∨（Q∧┐R）∨S

（┐P∨S∨Q）∧（┐P∨S∨┐R）析取范式合取范式整理ppt所以原式

(┐(P∨Q)

∧(P∧Q))

∨((P∨Q)∧┐

(P∧Q))例6:求┐(P∨Q)(P∧Q)的析取范式。解：因為(A

B)

(A∧B)∨(┐A∧┐B)

(┐P∧┐Q∧P∧Q)

∨((P∨Q)∧(┐P∨┐Q))

(┐P∧┐Q∧P∧Q)

∨(P∧┐P)∨(P∧┐Q)

∨(Q∧┐P)∨(Q∧┐Q)注意：任一命題公式都可以化為合取范式或析取范式的形式整理ppt2.

范式的應用

利用范式對公式進行判斷：(1)公式A為永假式的充要條件是A的析取范式中每個簡單合取式至少包含一個命題變元及其否定。例：A(P1,P2,…,Pn)

(P1∧┐P1∧…)∨(P2∧┐P2∧…)∨…(2)公式A為永真式的充要條件是A的合取范式中每個簡單析取式至少包含一個命題變元及其否定。例：B(P1,P2,…,Pn)

(P1∨┐P1∨…)∧(P2∨┐P2∨…)∧…整理ppt例如:判斷下列公式為何種公式：(1)

P∨（Q→R）∨┐(P∨R)(2)

（P→Q）→P解:(1)

P∨（┐Q∨R）∨（┐P∧┐R）

（P∨┐Q∨R∨┐P）∧（P∨┐Q∨R∨┐R）永真(2)

┐（┐P∨Q）∨P

（P∧┐Q）∨P

（P∨P）∧（┐Q∨P）可滿足式整理ppt3.

范式不唯一性

P∨(Q∧R)

(P∨Q)∧(P∨R)

(P∧P)∨(P∧R)∨(Q∧P)∨(Q∧R)

分配律對識別公式是否等價帶來一定困難，解決方式：主范式整理ppt1.主析取范式小項的概念定義1-7.4:n個命題變元的合取式，稱作布爾合取或小項，其中每個變元與它的否定不能同時存在，但兩者必須出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。例如：P∧Q，┐P∧Q，P∧┐Q，┐P∧┐Q是P∧Q∧┐P不是問題：n個變元可有多少小項？三.公式的主范式整理pptPQP∧QP∧┐Q┐P∧Q┐P∧┐QTTTFFFTFFTFFFTFFTFFFFFFT見課本P33表1-7.2，三個變元的情況整理ppt下標表示法：命題變元按字典順序排列，命題變元對應1，變元的否定對應0。對小項依二進制編碼（或用十進制編碼）。如：P∧Q┐P∧Qm11(m3)m01(m1)P∧┐Qm10(m2)┐P∧┐Qm00(m0)整理ppt小項的性質(zhì)：(1)每一小項當其真值指派與編碼相同時，其真值為T，在其余指派情況下均為F。(2)任意兩個不同小項的合取為假。例：m110∧m100=(P∧Q∧┐R)∧(P∧┐Q∧┐R)

P∧┐P∧┐Q∧R∧┐R

F(3)全體小項的析取值永為真。

2n-1

∑mi=m0

∨m1∨…∨m2n-1

Ti=0

整理ppt主析取范式定義1-7.5：在給定公式的析取范式中，其簡單合取式都是小項，則稱該范式為主析取范式。例:P∧

(Q∨R)

(P∧Q)∨(P∧R)

不是可由兩種方法構(gòu)成:1)公式推導法2)列表法

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)整理ppt由基本等價公式推出主析取范式。其推演步驟可歸納為：化為析取范式.刪除永假的簡單合取式化簡重復出現(xiàn)的變元（等冪律）(4)

補進未出現(xiàn)的變元（同一律）添加(P∨┐P),然后利用分配律展開公式推導法整理ppt例8求(P∧Q)∨(┐P∧R)∨(Q∧R)的主析取范式。解原式

(P∧Q∧(R∨┐R))∨(┐P∧R∧(Q∨┐Q))∨(Q∧R∧(P∨┐P))

(P∧Q∧R)

∨(P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)

∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)

∨(┐P∧┐Q∧R)注意

主析取范式的唯一性整理ppt例9求P→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式解原式

┐P∨((┐P∨Q)∧(Q∧P))

┐P∨((┐P∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))

┐P∨(┐P∧Q∧P)∨(Q∧P)

┐P∨(Q∧P)

(┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)

(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)整理ppt列表法定理1-7.3:在真值表中,一個公式的真值為T的指派所對應的小項的析取,即為此公式的主析取范式。整理ppt

P

QP→QP∨Q┐(P∧Q)A

T

TTTF

F

T

FFTT

F

F

TTTT

T

F

FTFT

T例6.求下列公式的主析取范式:P→Q，P∨Q，┐(P∧Q)，AP→Q

(P∧Q)∨(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)P∨Q

(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)┐(P∧Q)

(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)A

(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)整理ppt如：

P∨QM00(M0)

┐P∨QM10(M2)

大項的概念定義1-7.6

n個命題變元的析取式，稱作布爾析取或大項。其中每個變元與它的否定不能同時存在，但兩者必須出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。例如：P∨Q，┐P∨Q，P∨┐Q，┐P∨┐Q下標表示法：命題變元按字典順序排列，命題變元對應0，變元的否定對應1。對大項依二進制編碼（或用十進制編碼）。

P∨┐QM01(M1)

┐P∨┐QM11(M3)

2.主合取范式整理ppt大項的性質(zhì)每一大項當其真值指派與編碼相同時，其值為F，在其余指派情況下均為T。(2)任意兩個不同大項的析取式為永真。

Mi∨Mj

T(i≠j)(3)全體大項的合取式必為永假，記為：2n-1∏Mi=M0∧M1∧…∧M2n-1

F

i=0整理ppt主合取范式定義1-7.7對于給定的命題公式，如果有一個等價公式，它僅由大項的合取所組成，則該等價式稱作原式的主合取范式。同樣地求解主合取范式的方法也有兩種：列表法和公式推導法定理1-7.4在真值表中，一個公式的真值為F的指派所對應的大項的合取，即為此公式的主合取范式。列表法整理ppt

P

Q(P→Q)∧Q

T

T

T

T

F

F

F

T

T

F

F

Fm11

∨m01例求（P→Q）∧Q的主合取范式與主析取范式

(┐P∨Q）∧（P∨Q）；(P∧Q)∨(┐P∧Q)M10∧M00整理ppt公式推導法步驟：(1)化為合取范式(2)刪除永真的合取項(簡單析取式)(3)化簡重復出現(xiàn)的變元（等冪律）(4)補進未出現(xiàn)的變元（同一律）∨(Q∧┐Q)

整理ppt例11化(P∧Q)∨(┐P∧R)為主合取范式解原式

(P∨┐P)∧(P∨R)∧(Q∨┐P)∧(Q∨R)

(P∨R)∧(Q∨┐P)∧(Q∨R)合取范式

(P∨Q∨R)∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)課本上采用真值表法

(P∨R∨(Q∧┐Q))∧(Q∨┐P∨(R∧┐R))∧((P∧┐P)∨Q∨R)

(P∨Q∨R)

∧(P∨┐Q∨R)∧

(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧

(P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨R)整理ppt3.主析取范式與主合取范式之間的關(guān)系例如:(P→Q)∧Q

m1∨m3,

則(P→Q)∧Q

M0∧M2

由主析取范式求主合取范式的步驟:a.找出主析取范式中所沒有的小項下標b.對a中下標,求其對應的大項c.寫出b中所得大項的合取,即為該式的主合取范式.整理ppt求(A→B∧C)∧(┐A

(┐B∧┐C))的主析（合）取范式。解原式

(┐A∨(B∧C))∧((┐A∧┐B∧┐C)∨(A∧(B∨C)))

(┐A∧┐A∧┐B∧┐C)

∨(┐A∧(A∧(B∨C)))∨((B∧C)∧(┐A∧┐B∧┐C))

∨((B∧C)∧(A∧(B∨C)))

(┐A∧┐B∧┐C)∨(A∧B∧C)

=m000∨m111=∑0,7解1利用主析取范式與主合取范式之間的關(guān)系原式

∏1，2，3，4，5，6整理ppt4.主范式的應用(1)用以判定為何種公式.設(shè)A為含n個變元的主范式：a.若A

T，或A可化為與其等價的含2n個小項的主析取范式，則A為永真式。b.若A

F，或A可化為與其等價的含2n個大項的主合取范式，則A為永假式。c.若A不與F等價，且又不含2n

個大項或者小項，則A為可滿足式。整理ppt例:判斷下列公式為何類公式(P→Q)∧Q(P→Q)∧QM0∧M2m1∨m3;大小項數(shù)目均不到4,故為可滿足式.(2)證明等價式成立:主范式相同，則給定的兩個命題公式等價例A∨(A→(A∧B)),┐A∨┐B∨(A∧B)整理ppt1-8推理理論在邏輯學中，把從前提出發(fā)，依據(jù)公認的推理規(guī)則，推導出一個結(jié)論，這一過程稱為有效推理或形式證明。所得的結(jié)論叫有效結(jié)論。在數(shù)理邏輯中，集中研究的是用來從前提導出結(jié)論的推理規(guī)則和論證原理。這里最關(guān)心的不是結(jié)論的真實性，而是推理的有效性。與這些規(guī)則有關(guān)的理論稱為推理理論。整理ppt定義1-8.1：設(shè)A和C是兩個命題公式，當且僅當A→C為一重言式，即A

C，稱C是A的有效結(jié)論。這個定義可推廣到有n個前提的情況。設(shè)H1，H2，…，Hn，C是命題公式，當且僅當H1∧H2∧…∧Hn

C稱C是一組前提H1，H2，…，Hn的有效結(jié)論。一、基本定義整理ppt(1)真值表法二、論證方法判斷有效結(jié)論的過程就是論證過程，論證方法基本分為設(shè)P1，…，Pm是出現(xiàn)于前提H1，…，Hn和結(jié)論C中的全部命題變元，列出這個真值表，即可看出H1∧H2∧…∧Hn

C是否成立。整理ppt例1：一份統(tǒng)計報表的錯誤，或者是材料不可靠，或是因計算錯誤，這份報表有錯不是材料不可靠，所以這份報表是由于計算有錯誤。PQ┐PP∨Q(P∨Q)∧┐P(P∨Q)∧┐P→QTTFTFTTFFTFTFTTTTTFFTFFT┐P∧(P∨Q)

Q解：P：材料不可靠Q：計算錯誤整理ppt由一組前提、公認的推理規(guī)則，利用已知的等價或蘊含公式，推出有效的結(jié)論。(2)直接證法：

P規(guī)則：前提在推導中的任何時候都可引入使用。常用的蘊含式和等價式見表P43。

T規(guī)則：前面已導出的有效結(jié)論可作為后續(xù)推導引入。整理ppt例2：證明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)

S∨R(1)

P∨QP(2)

┐P→QT(1)E(3)

Q→SP(4)

┐P→ST(2)(3)I(5)

┐S→PT(4)E(6)

P→RP(7)

┐S→RT(5)(6)I(8)

S∨RT(7)E整理ppt定義1-8.2：假設(shè)公式H1，H2，…，Hn中的命題變元為P1，P2，…，Pm的一些真值指派，如果能使H1∧H2∧…∧Hn的真值為T，則稱公式H1，H2，…，Hn是相容的。如果對于P1，P2，…，Pm的每一組真值指派，使得H1∧H2∧…∧Hn的真值均為F，則稱公式H1，H2，…，Hn是不相容的。(3)間接證法整理ppt設(shè)要證：H1∧H2…∧Hn

C，記為S

C。即證其逆反式┐C→┐S為永真，即C∨┐S為永真，故┐C∧S為永假，所以要證H1∧H2…∧Hn

C。只要證明┐C與H1∧H2…∧Hn是不相容的。整理ppt例3：證明A→B，┐(B∨C)可邏輯推出┐A(1)A→BP(2)AP(附加前提)(3)┐(B∨C)P(4)┐B∧┐CT(3)E(5)BT(1),(2),I(6)┐BT(4)I(7)B∧┐BT(5),(6)I整理ppt若要證：H1∧H2∧…∧Hn

(R→C)，記為S

R→CCP規(guī)則：結(jié)論為R→C時，R作為附加前提引入，推出后件C。因為S→(┐R∨C)

┐S∨(┐R∨C)

(┐S∨┐R)∨C

┐(S∧R)∨C

(S∧R)→C∴將R作為附加前提，如有(S∧R)

C，即證得S

(R→C)。整理ppt例4：證明A→(B→C)，┐D∨A，B蘊含D→C(1)DP(附加前提)(2)┐D∨AP(3)AT(1),(2)I(4)A→(B→C)P(5)B→CT(3),(4)I(6)BP(7)CT(5),(6)I(8)D→CCP整理ppt推理理論：

1、真值表法：

2、直接證法：P規(guī)則，T規(guī)則。

3、間接證法：利用不相容的概念，CP規(guī)則。整理ppt1.命題及其表示法基本概念：命題命題標識符:命題變元，命題常量真值：T和F,1和0重點：命題的判斷（這句話是對的）2.聯(lián)結(jié)詞基本概念：聯(lián)接詞的定義及使用(┐∧

∨→

▽……) 最小聯(lián)結(jié)詞組（┐,∧）（┐,∨）重點：聯(lián)結(jié)詞的使用第一章小結(jié)整理ppt練習11、判斷是否為命題1)4+x=5.2)若x=1,則x+1=5。2、將下列命題符號化1）氣候很好或很熱2）天氣炎熱但濕度較低3）控制臺打字機即可作輸入設(shè)備，又可作輸出設(shè)備4）要求有使用C++或Java的經(jīng)驗整理ppt3.命題公式與翻譯基本概念：命題公式（合式公式），命題的翻譯（命題公式符號化）重點：命題的翻譯4.真值表與等價公式基本概念：真值表（真值指派），等價公式，子公式重點：真