第八章 平面解析幾何

第八章平面解析幾何第一節(jié)

直線(xiàn)的傾斜角與斜率、直線(xiàn)的方程第二節(jié)

直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式第三節(jié)

圓的方程第四節(jié)

直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系第五節(jié)

橢圓第六節(jié)

雙曲線(xiàn)第七節(jié)

拋物線(xiàn)第八節(jié)

曲線(xiàn)與方程第九節(jié)

直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)專(zhuān)家講壇目錄[備考方向要明了]1.理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式．2.能根據(jù)兩條直線(xiàn)的斜率判斷這兩條直線(xiàn)平行或垂直．3.掌握確定直線(xiàn)位置的幾何要素；掌握直線(xiàn)方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.考什么1.對(duì)直線(xiàn)的傾斜角和斜率概念的考查，很少單獨(dú)命題，但作為解析幾何的基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)時(shí)要加深理解．2.對(duì)兩條直線(xiàn)平行或垂直的考查，多與其他知識(shí)結(jié)合考查，如2012年浙江T3等．3.直線(xiàn)方程一直是高考考查的重點(diǎn)，且具有以下特點(diǎn)：(1)一般不單獨(dú)命題，考查形式多與其他知識(shí)結(jié)合，以選擇題為主．(2)主要是涉及直線(xiàn)方程和斜率.怎么考[歸納·知識(shí)整合]1．直線(xiàn)的傾斜角與斜率

(1)直線(xiàn)的傾斜角①一個(gè)前提：直線(xiàn)l與x軸

；一個(gè)基準(zhǔn)：取

作為基準(zhǔn)；兩個(gè)方向：x軸正方向與直線(xiàn)l向上方向．②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定：它的傾斜角為

.③傾斜角的取值范圍為

．

(2)直線(xiàn)的斜率①定義：若直線(xiàn)的傾斜角θ不是90°，則斜率k

.②計(jì)算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線(xiàn)不垂直于x軸，則k＝.相交x軸0°[0，π)tanα[探究]

1.直線(xiàn)的傾角θ越大，斜率k就越大，這種說(shuō)法正確嗎？2．兩條直線(xiàn)的斜率與它們平行、垂直的關(guān)系[探究]

2.兩條直線(xiàn)l1，l2垂直的充要條件是斜率之積為－1，這句話(huà)正確嗎？

提示：不正確，當(dāng)一條直線(xiàn)與x軸平行，另一條與y軸平行時(shí)，兩直線(xiàn)垂直，但一條直線(xiàn)斜率不存在．3．直線(xiàn)方程的幾種形式名稱(chēng)條件方程適用范圍點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(x0，y0)_______________不含直線(xiàn)x＝x0斜截式斜率k與截距b___________不含垂直于x軸的直線(xiàn)y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b名稱(chēng)條件方程適用范圍兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)不含直線(xiàn)x＝x1(x1＝x2)和直線(xiàn)y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)截距式截距a與b不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線(xiàn)都適用Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)[探究]

3.過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線(xiàn)是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？提示：當(dāng)x1＝x2，或y1＝y(tǒng)2時(shí)，由兩點(diǎn)式方程知分母此時(shí)為零，所以不能用兩點(diǎn)式方程表示．[自測(cè)·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)若直線(xiàn)x＝2的傾斜角為α，則α(

)答案：C

2．(教材習(xí)題改編)過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線(xiàn)的斜率等于1，則m的值為

(

)A．1

B．4C．1或3 D．1或4答案：A

3．過(guò)兩點(diǎn)(0,3)，(2,1)的直線(xiàn)方程為 (

)A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0答案：B

4．直線(xiàn)l的傾斜角為30°，若直線(xiàn)l1∥l，則直線(xiàn)l1的斜率k1＝________；若直線(xiàn)l2⊥l，則直線(xiàn)l2的斜率k2＝________.5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三點(diǎn)共線(xiàn)，則x等于________．答案：－3直線(xiàn)的傾斜角和斜率[例1]

(1)直線(xiàn)xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是(

)(2)已知兩點(diǎn)A(m，n)，B(n，m)(m≠n)，則直線(xiàn)AB的傾斜角為_(kāi)_______；(3)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍為_(kāi)_______．若將本例(3)中P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍.斜率的求法(1)定義法：若已知直線(xiàn)的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tanα求斜率；1．直線(xiàn)l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是(

)答案：A

2．若直線(xiàn)l與直線(xiàn)y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線(xiàn)l的斜率為(

)答案：B

直線(xiàn)的平行與垂直的判斷及應(yīng)用用一般式確定兩直線(xiàn)位置關(guān)系的方法直線(xiàn)方程l1與l2垂直的充要條件l1與l2平行的充分條件A2＋B1B2＝0l1與l2相交的充分條件l1與l2重合的充分條件3．已知l1的傾斜角為45°，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)m＝________.答案：－64．已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)，B(m,4)的直線(xiàn)與直線(xiàn)2x＋y－1＝0平行，則m的值為_(kāi)_______．答案：－8直線(xiàn)方程[例3]

(1)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，點(diǎn)O(0,0)，A(1,3)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則直線(xiàn)AB的方程為 (

)A．y－1＝3(x－3)

B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)(2)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．△OAB的面積為12，則直線(xiàn)l的方程是_____________________________________________．[自主解答]

(1)因?yàn)锳O＝AB，所以直線(xiàn)AB的斜率與直線(xiàn)AO的斜率互為相反數(shù)，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直線(xiàn)AB的點(diǎn)斜式方程為：y－3＝－3(x－1)．[答案]

(1)D

(2)2x＋3y－12＝0求直線(xiàn)方程的常用方法

(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的直線(xiàn)方程，直接求出方程中系數(shù)，寫(xiě)出直線(xiàn)方程．

(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線(xiàn)方程．再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線(xiàn)方程．5．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直線(xiàn)的方程；(2)BC邊上中線(xiàn)AD所在直線(xiàn)的方程；(3)BC邊的垂直平分線(xiàn)DE的方程．(1)任何的直線(xiàn)都存在傾斜角，但并不是任意的直線(xiàn)都存在斜率．

(2)直線(xiàn)的傾斜角α和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系αk0°00°<α<90°k>090°不存在90°<α<180°k<0(1)明確直線(xiàn)方程各種形式的適用條件點(diǎn)斜式斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線(xiàn)；兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于x、y軸的直線(xiàn)；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)．在應(yīng)用時(shí)要結(jié)合題意選擇合適的形式，在無(wú)特殊要求下一般化為一般式．

(2)截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零，在與截距有關(guān)的問(wèn)題中，要注意討論截距是否為零．

(3)求直線(xiàn)方程時(shí)，若不能斷定直線(xiàn)是否具有斜率時(shí)，應(yīng)注意分類(lèi)討論，即應(yīng)對(duì)斜率存在與否加以討論.易誤警示——有關(guān)直線(xiàn)方程中“極端”情況的易誤點(diǎn)[典例]

(2013·常州模擬)過(guò)點(diǎn)P(－2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____________________．[答案]

x＋y－1＝0或3x＋2y＝01．因忽略截距為“0”的情況，導(dǎo)致求解時(shí)漏掉直線(xiàn)方程3x＋2y＝0而致錯(cuò)．所以，可以借助幾何法先判斷，再求解，避免漏解．

2．在選用直線(xiàn)方程時(shí)，常易忽視的情況還有：①選用點(diǎn)斜式與斜截式時(shí)忽視斜率不存在的情況；②選用兩點(diǎn)式方程時(shí)忽視與x軸垂直的情況及與y軸垂直的情況．已知直線(xiàn)l過(guò)(2,1)，(m,3)兩點(diǎn)，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)___．答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（四十九）”1．直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(－1,2)且與直線(xiàn)3y＝2x＋1垂直，則l的方程是 (

)A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0解析：法一：設(shè)所求直線(xiàn)l的方程為3x＋2y＋C＝0，則3×(－1)＋2×2＋C＝0，得C＝－1，即l的方程為3x＋2y－1＝0.答案：A

2．直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率的取值范圍是 (

)答案：D

3．已知A(3,0)，B(0,4)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在線(xiàn)段AB上移動(dòng)，則xy的最大值等于________．答案：3

4．已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，如右圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．故所求直線(xiàn)l的方程為2x＋3y－12＝0.[備考方向要明了]1.兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)一般是不單獨(dú)命題的，常作為知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)在相關(guān)的位置關(guān)系中．2.兩點(diǎn)間距離公式是解析幾何的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式是高考考查的重點(diǎn)，一般將這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合直線(xiàn)與圓或圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題中來(lái)考查.1.能用解方程組的方法求兩條相交直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．2.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離.怎么考考什么[歸納·知識(shí)整合]交點(diǎn)坐標(biāo)(1)若方程組有唯一解，則兩條直線(xiàn)

，此解就是

；相交交點(diǎn)的坐標(biāo)(2)若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)

，此時(shí)兩條直線(xiàn)

，反之，亦成立．無(wú)公共點(diǎn)平行[探究]

1.如何用兩直線(xiàn)的交點(diǎn)判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系？提示：當(dāng)兩條直線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩直線(xiàn)相交；沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，兩條直線(xiàn)平行，有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩條直線(xiàn)重合．2．距離點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝

點(diǎn)P0(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝兩條平行線(xiàn)Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝[探究]

1.使用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和兩條平行線(xiàn)間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？

提示：使用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式時(shí)要注意將直線(xiàn)方程化為一般式．使用兩條平行線(xiàn)間距離公式時(shí)，要將兩直線(xiàn)方程化為一般式且x、y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．[自測(cè)·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)原點(diǎn)到直線(xiàn)x＋2y－5＝0的距離是(

)答案：D

2．點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,4)，則AB的長(zhǎng)為 (

)A．10 B．5C．8 D．6解析：設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)．答案：A

答案：B

3．若三條直線(xiàn)2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一點(diǎn)，則b＝ (

)答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝05．點(diǎn)(2,3)關(guān)于直線(xiàn)x＋y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是________．答案：(－4，－3)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題

[例1]

(1)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l1：x＋y＋1＝0與直線(xiàn)l2：x－y＋3＝0的交點(diǎn)P，且與直線(xiàn)l3：2x－y＋2＝0垂直的直線(xiàn)l的方程是________．

(2)已知兩直線(xiàn)l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0，若l1與l2相交，則實(shí)數(shù)m、n滿(mǎn)足的條件是________．法二：∵直線(xiàn)l過(guò)直線(xiàn)l1和l2的交點(diǎn)，∴可設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0，即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0.[答案]

(1)x＋2y＝0

(2)m≠±4，n∈R若將本例(1)中條件“垂直”改為“平行”，試求l的方程．經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)方程的設(shè)法經(jīng)過(guò)兩相交直線(xiàn)A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(這個(gè)直線(xiàn)系方程中不包括直線(xiàn)A2x＋B2y＋C2＝0)或m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0.1．設(shè)直線(xiàn)l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿(mǎn)足k1k2＋2＝0.(1)證明l1與l2相交；(2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上．距離公式的應(yīng)用[例2]

已知點(diǎn)P(2，－1)．

(1)求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線(xiàn)l的方程；

(2)求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)l的方程，最大距離是多少？

(3)是否存在過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線(xiàn)？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)由(2)可知，過(guò)P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離超過(guò)的直線(xiàn)，因此不存在過(guò)P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線(xiàn)．求兩條平行線(xiàn)間距離的兩種思路

(1)利用“化歸”法將兩條平行線(xiàn)間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離．

(2)利用兩平行線(xiàn)間的距離公式．2．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直線(xiàn)l：4x＋3y－2＝0，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，且點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為2.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題[例3]

已知直線(xiàn)l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)m′的方程．求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的基本方法(1)已知點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸垂直；(2)已知點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上．利用以上兩點(diǎn)建立方程組可求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題．

3．直線(xiàn)y＝2x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)，

若點(diǎn)A(－4,2)，B(3,1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．與直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直線(xiàn)方程可設(shè)為：

(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；

(2)平行：Ax＋By＋n＝0.一般地，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)、直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)、直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)等情況，上述各種對(duì)稱(chēng)問(wèn)題最終化歸為點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決．(1)在判斷兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線(xiàn)的斜率是否存在．兩條直線(xiàn)都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線(xiàn)無(wú)斜率時(shí)，要單獨(dú)考慮；創(chuàng)新交匯——新定義下的直線(xiàn)方程問(wèn)題1．直線(xiàn)方程是高考的?？純?nèi)容，但一般不單獨(dú)考查，常與圓、圓錐曲線(xiàn)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，以交匯創(chuàng)新的形式出現(xiàn)在高考中．

2．解決新定義下的直線(xiàn)方程的問(wèn)題，難點(diǎn)是對(duì)新定義的理解和運(yùn)用，關(guān)鍵是要分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中．[答案]①1．本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)

(1)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，對(duì)解析幾何問(wèn)題與函數(shù)知識(shí)巧妙地結(jié)合創(chuàng)新．

(2)考查新定義、新概念的理解和運(yùn)用的同時(shí)考查思維的創(chuàng)新，本題考查了學(xué)生的發(fā)散思維，思維方向與思維習(xí)慣有所不同．

2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)

(1)根據(jù)新定義，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；

(2)認(rèn)真觀察直線(xiàn)方程，可舉一個(gè)反例，得到[OP]的最小值為1是假命題．3．在解決新概念、新定義的創(chuàng)新問(wèn)題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)

(1)充分理解概念、定理的內(nèi)涵與外延；

(2)對(duì)于新概念、新結(jié)論要具體化，舉幾個(gè)具體的例子，代入幾個(gè)特殊值；

(3)注意新概念、新結(jié)論的正用會(huì)怎樣，逆用會(huì)怎樣，變形用又將會(huì)如何．(1)求S＝f(k)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)k為何值時(shí)，直線(xiàn)y＝kx將四邊形OABC分為面積相等的兩部分．“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（五十）”1．記直線(xiàn)(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(xiàn)(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直時(shí)m的取值集合為M，直線(xiàn)x＋ny＋3＝0與直線(xiàn)nx＋4y＋6＝0平行時(shí)n的取值集合為N，則M∪N＝________.2．已知A(3,1)、B(－1,2)，若∠ACB的平分線(xiàn)在y＝x＋1上，則AC所在直線(xiàn)方程是________．答案：x－2y－1＝03．已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(3,1)且被兩平行線(xiàn)l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為5，求直線(xiàn)l的方程．解：法一：若直線(xiàn)l的斜率不存在，則直線(xiàn)l的方程為x＝3，此時(shí)與l1，l2的交點(diǎn)分別是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線(xiàn)段長(zhǎng)|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意．當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－3)＋1，分別與直線(xiàn)l1，l2的方程聯(lián)立，4．已知直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)A(1,3)到直線(xiàn)l的距離為，求直線(xiàn)l的方程．[備考方向要明了]圓的方程、圓心坐標(biāo)、半徑、圓的性質(zhì)等是高考考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)最常涉及的要素．大多以選擇題或填空題的形式考查，有時(shí)也會(huì)穿插在解答題中，如2012年江蘇T12等.1.掌握確定圓的幾何要素．2.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.怎么考考什么[歸納·知識(shí)整合]1．圓的定義

(1)在平面內(nèi)，到

的距離等于

的點(diǎn)的軌跡叫做圓．

(2)確定一個(gè)圓的要素是

和

．定點(diǎn)定長(zhǎng)圓心半徑2．圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程①兩個(gè)條件：圓心(a，b)，

；②標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.半徑r(2)圓的一般方程①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②方程表示圓的充要條件為：

；③圓心坐標(biāo)，半徑r＝.D2＋E2－4F>0[探究]

1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圓嗎？

提示：不一定．只有當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，上述方程才表示圓．2．如何實(shí)現(xiàn)圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化？

提示：一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化，可用下圖表示：3．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)理論依據(jù)：

與

的距離與半徑的大小關(guān)系．(2)三個(gè)結(jié)論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)①

?點(diǎn)在圓上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)．點(diǎn)圓心(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2[自測(cè)·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是

(

)A．(2,3)

B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析：圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)．答案：D

2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (

)A．－1<k<4 B．－4<k<1C．k<－4或k>1 D．k<－1或k>4解析：由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.答案：D

答案：A3．若點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，則a的取值范圍是 (

)解析：∵點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴(2a)2＋a2<5，解得－1<a<1.4．以線(xiàn)段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為

(

)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8答案：B

5．(教材習(xí)題改編)經(jīng)過(guò)圓(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圓心，且與直線(xiàn)2x＋y＝0垂直的直線(xiàn)方程是______________．答案：x－2y－3＝0求圓的方程[例1]

(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線(xiàn)2x－y－3＝0上的圓的方程為_(kāi)_____________．

(2)已知圓C的圓心是直線(xiàn)x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線(xiàn)x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為_(kāi)_______．[答案]

(1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)

(2)(x＋1)2＋y2＝2求圓的方程的兩種方法求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程，一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．②代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．若條件中圓心坐標(biāo)明確時(shí)，常設(shè)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不明確時(shí)，常設(shè)為一般方程．

1．求下列圓的方程：(1)圓心在直線(xiàn)y＝－4x上，且與直線(xiàn)l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；(2)過(guò)三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．與圓有關(guān)的最值問(wèn)題[例2]已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．保持本例條件不變，求點(diǎn)P(x，y)到直線(xiàn)3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值．—————————————————與圓有關(guān)的最值問(wèn)題及解決方法(2)形如t＝ax＋by型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)的截距的最值問(wèn)題；

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題．與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題[例3]

已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求線(xiàn)段AP中點(diǎn)的軌跡方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求線(xiàn)段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．

[自主解答]

(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線(xiàn)段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線(xiàn)段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.求軌跡方程的一般步驟

(1)建系設(shè)點(diǎn)：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)；

(2)列式：列出幾何等式；

(3)坐標(biāo)化：用坐標(biāo)表示得到方程；

(4)化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)幾何等式得到的方程；

(5)證明作答：除去不合題意的點(diǎn)，作答．

3．如圖，已知點(diǎn)A(－1,0)與點(diǎn)B(1,0)，C是圓x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|＝|BC|，求AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程．(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、r的方程組，從而求出a、b、r的值；

(2)若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值．在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會(huì)使得思路簡(jiǎn)潔明了，簡(jiǎn)化思路，簡(jiǎn)便運(yùn)算．

(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上；

(2)圓心在任意一弦的垂直平分線(xiàn)上；

(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線(xiàn).創(chuàng)新交匯——高考中與圓有關(guān)的交匯問(wèn)題1．近年來(lái)高考對(duì)圓錐曲線(xiàn)的要求相對(duì)降低，因此圓的相關(guān)問(wèn)題成了高考命題的一個(gè)新熱點(diǎn)．圓的性質(zhì)使其具有很強(qiáng)的交匯性，對(duì)圓的考查可以與集合、直線(xiàn)、向量、三角函數(shù)、不等式、線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí)交匯命題．

2．對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，要特別注意圓的定義及其性質(zhì)的運(yùn)用，同時(shí)要有豐富的相關(guān)知識(shí)儲(chǔ)備，解題時(shí)只有做到平心靜氣地認(rèn)真研究，不斷尋求解決問(wèn)題的方法和技巧，才能真正把握好問(wèn)題．1．本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)

(1)考查形式的創(chuàng)新，以集合的形式給出了幾何圖形，雖然兩幾何圖形常見(jiàn)但不落俗套;

(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，本題摒棄以往考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的方式，而是借助于參數(shù)考查直線(xiàn)與圓、直線(xiàn)與圓環(huán)的位置關(guān)系，同時(shí)也考查了分類(lèi)討論思想．

2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)

(1)弄清集合代表的幾何意義；

(2)結(jié)合直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求得m的取值范圍．3．解決直線(xiàn)和圓位置關(guān)系問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)

(1)根據(jù)題設(shè)條件，合理選擇利用代數(shù)方法還是幾何方法判斷其位置關(guān)系；

(2)凡是涉及參數(shù)的問(wèn)題，一定要注意參數(shù)的變化對(duì)位置關(guān)系的影響，以便確定是否分類(lèi)討論．1．若直線(xiàn)l：ax＋by＋4＝0(a>0，b>0)始終平分圓C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，則ab的最大值為 (

)答案：C

“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（五十一）”1．一動(dòng)圓與兩圓x2＋y2＝1和x2＋y2＋8x＋12＝0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為 (

)A．圓B．橢圓C．雙曲線(xiàn)的一支

D．拋物線(xiàn)解析：設(shè)圓x2＋y2＝1的圓心為O(0,0)，圓x2＋y2＋8x＋12＝0的圓心為O1(－4,0)，O′為動(dòng)圓的圓心，r為動(dòng)圓的半徑，則|O′O1|－|O′O|＝(r＋2)－(r＋1)＝1，由雙曲線(xiàn)的定義知，動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線(xiàn)的一支.答案：C

2．已知點(diǎn)M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)M的最短弦所在直線(xiàn)的方程是________．答案：x＋y－1＝03．已知圓C：(x－1)2＋y2＝2，過(guò)點(diǎn)A(－1,0)的直線(xiàn)l將圓C分成弧長(zhǎng)之比為1∶3的兩段圓弧，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_______．[備考方向要明了]1.能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系．2.能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.考什么1.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判斷、兩圓位置關(guān)系的判斷是高考的常考內(nèi)容，主要以選擇題或填空題形式考查，難度較為簡(jiǎn)單，如2012年重慶T3，陜西T4等．2.由直線(xiàn)與圓的方程求弦長(zhǎng)或求參數(shù)是高考熱點(diǎn)之一，多以選擇題或填空題形式考查，如2012年天津T8等，難度為中低檔.怎么考[歸納·知識(shí)整合]1．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系設(shè)直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，設(shè)d為圓心(a，b)到直線(xiàn)l的距離，聯(lián)立直線(xiàn)和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交相切相離d<rΔ>0d＝rΔ＝0d>rΔ<0[探究]

1.在求過(guò)一定點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)注意什么？

提示：應(yīng)首先判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線(xiàn)只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線(xiàn)應(yīng)有兩條；若點(diǎn)在圓內(nèi)，則切線(xiàn)不存在．方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離________________相外切______________________相交__________________________________相內(nèi)切___________________________內(nèi)含_________________________d>r1＋r2無(wú)解d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解[探究]

2.若兩圓相交時(shí)，公共弦所在直線(xiàn)方程與兩圓的方程有何關(guān)系？

提示：兩圓的方程作差，消去二次項(xiàng)得到關(guān)于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直線(xiàn)方程．[自測(cè)·牛刀小試]答案：A

1．直線(xiàn)l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是 (

)A．相交B．相切C．相離

D．不確定2．(2012·山東高考)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為 (

)A．內(nèi)切

B．相交C．外切

D．相離答案：B

答案：A

答案：D

4．已知圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－6x＋6y＋14＝0關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l的方程是 (

)A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝05．(2012·重慶高考)設(shè)A，B為直線(xiàn)y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝ (

)解析：因?yàn)橹本€(xiàn)y＝x過(guò)圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)，所以所得弦長(zhǎng)|AB|＝2.答案：D

直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系的常用方法

(1)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線(xiàn)的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線(xiàn)的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．能用幾何法，盡量不用代數(shù)法．

(2)判斷兩圓的位置關(guān)系，可根據(jù)圓心距與兩圓半徑的和與差的絕對(duì)值之間的關(guān)系求解．

1．直線(xiàn)l：y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y－3＝0的位置關(guān)系是________．解析：將x2＋y2－2y－3＝0化為x2＋(y－1)2＝4.由于直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直線(xiàn)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，從而直線(xiàn)l與圓相交．答案：相交2．設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線(xiàn)y＝0相切，則C的圓心軌跡為 (

)A．拋物線(xiàn)B．雙曲線(xiàn)C．橢圓

D．圓答案：A有關(guān)圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題

[例2]

(1)(2012·北京高考)直線(xiàn)y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．—————————————————求圓的弦長(zhǎng)的常用方法答案：D

答案：x2＋(y－1)2＝104.已知圓C的圓心與拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)4x－3y－2＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則圓C的方程為_(kāi)_______．圓的切線(xiàn)問(wèn)題[例3]

已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線(xiàn)l的方程；

(2)從圓C外一點(diǎn)P(x，y)向圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求點(diǎn)P的軌跡方程．(2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2，∴|PM|2＝|PC|2－r2.又∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－r2＝|PO|2，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2.∴2x－4y＋3＝0即為所求的方程．若將本例(1)中“不過(guò)原點(diǎn)”的條件去掉，求直線(xiàn)l的方程．求過(guò)一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程的方法

(1)若該點(diǎn)在圓上，由切點(diǎn)和圓心連線(xiàn)的斜率可確定切線(xiàn)的斜率，進(jìn)而寫(xiě)出切線(xiàn)方程；若切線(xiàn)的斜率不存在，則可直接寫(xiě)出切線(xiàn)方程x＝x0.(2)若該點(diǎn)在圓外，則過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)將有兩條．若用設(shè)斜率的方法求解時(shí)只求出一條，則還有一條過(guò)該點(diǎn)且斜率不存在的切線(xiàn)．5．已知點(diǎn)M(3,1)，直線(xiàn)ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過(guò)M點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程；(2)若直線(xiàn)ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值．解：(1)圓心C(1,2)，半徑為r＝2，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，方程為x＝3.由圓心C(1,2)到直線(xiàn)x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時(shí)，直線(xiàn)與圓相切．當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合．

(1)從思路來(lái)看，代數(shù)法側(cè)重于“數(shù)”，更多傾向于“坐標(biāo)”與“方程”；而“幾何法”則側(cè)重于“形”，利用了圖形的性質(zhì)．

(2)從適用類(lèi)型來(lái)看，代數(shù)法可以求出具體的交點(diǎn)坐標(biāo)，而幾何法更適合定性比較和較為簡(jiǎn)單的運(yùn)算．(1)涉及圓的切線(xiàn)時(shí)，要考慮過(guò)切點(diǎn)的半徑與切線(xiàn)垂直；

(2)當(dāng)直線(xiàn)與圓相交時(shí)，半弦、弦心距、半徑所構(gòu)成的直角三角形在解題中起到關(guān)鍵的作用，解題時(shí)要注意把它與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式結(jié)合起來(lái)使用；

(3)判斷直線(xiàn)與圓相切，特別是過(guò)圓外一點(diǎn)求圓的切線(xiàn)時(shí)，應(yīng)有兩條．在解題中，若只求得一條，則說(shuō)明另一條的斜率不存在，這一點(diǎn)經(jīng)常忽視，應(yīng)注意檢驗(yàn)、防止出錯(cuò).創(chuàng)新交匯——直線(xiàn)與圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題1．直線(xiàn)與圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題是高考中一類(lèi)重要問(wèn)題，常常以解答題的形式出現(xiàn)，并且常常是將直線(xiàn)與圓和函數(shù)、三角、向量、數(shù)列及圓錐曲線(xiàn)等相互交匯，求解參數(shù)、函數(shù)、最值、圓的方程等問(wèn)題．

2．對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的求解，首先要注意理解直線(xiàn)和圓等基礎(chǔ)知識(shí)及它們之間的深入聯(lián)系；其次要對(duì)問(wèn)題的條件進(jìn)行全方位的審視，特別是題中各個(gè)條件之間的相互關(guān)系及隱含條件的挖掘，再次要掌握解決問(wèn)題常用的思想方法，如數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)及分類(lèi)討論等思想方法．[典例]

(2011·新課標(biāo)全國(guó)卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線(xiàn)x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．1．本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)

(1)考查形式的創(chuàng)新，將軌跡問(wèn)題、向量問(wèn)題和圓的問(wèn)題融為一體來(lái)考查．

(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，本題摒棄以往考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的方式，而是借助于參數(shù)考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，同時(shí)也考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想．

2．解決直線(xiàn)和圓的綜合問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)

(1)求點(diǎn)的軌跡，先確定點(diǎn)的軌跡的曲線(xiàn)類(lèi)型，再利用條件求得相關(guān)參數(shù)；

(2)存在性問(wèn)題的求解，即先假設(shè)存在，再由條件求解并檢驗(yàn)．答案：A

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)12x－5y＋c＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________．“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（五十二）”1．設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|＝(

)答案：C

3．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由動(dòng)點(diǎn)P向⊙O與⊙O′所引的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________．4．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，問(wèn)是否存在斜率為1的直線(xiàn)l，使l被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．若存在，寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．[備考方向要明了]1.橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，三種題型均有可能出現(xiàn)，如2012年山東T10等，題目難度中低檔．2.直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題一直是高考的重點(diǎn)，多以解答題形式考查，難度相對(duì)較大，如2012年陜西T19等.1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)．2.了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.怎么考考什么[歸納·知識(shí)整合]1．橢圓的定義

(1)滿(mǎn)足以下條件的點(diǎn)的軌跡是橢圓①在平面內(nèi)；②與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之

等于常數(shù)；③常數(shù)大于

.(2)焦點(diǎn)：兩定點(diǎn)．

(3)焦距：兩

間的距離．

[探究]

1.在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡如何？

提示：當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是不存在的．和|F1F2|焦點(diǎn)2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)－aa－bbb－bax軸、y軸(0,0)－a(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2a2b2c(0,1)a2－b2[探究]

2.橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？[自測(cè)·牛刀小試]答案：D

答案：AA．6 B．5C．4 D．3解析：根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長(zhǎng)為4a＝16，故所求的第三邊的長(zhǎng)度為16－10＝6.3．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為 (

)答案：A

答案：C

答案：4橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c或m、n的方程組.

(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求；注意：用待定系數(shù)法求橢圓的方程時(shí)，要“先定型，再定量”，不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí)，可進(jìn)行分類(lèi)討論或把橢圓的方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).答案：3橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用(1)求橢圓C的離心率；—————————————————橢圓離心率的求法求橢圓的離心率(或范圍)時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍．答案：B

直線(xiàn)與橢圓的綜合(1)求橢圓C的方程；(2)求△ABP面積取最大值時(shí)直線(xiàn)l的方程．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸垂直時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x＝0，與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符，舍去．故可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)，直線(xiàn)與橢圓相交時(shí)的常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法涉及問(wèn)題處理方法弦長(zhǎng)根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)點(diǎn)差法(2)求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形．當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2、b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程．

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a、b、c的方程組，解出a2、b2，從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長(zhǎng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a＋c，最小距離為a－c.(2)求橢圓離心率e時(shí)，只要求出a，b，c的一個(gè)齊次方程，再結(jié)合b2＝a2－c2就可求得e(0<e<1)．

(3)求橢圓方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)是：①中心是否在原點(diǎn)；②對(duì)稱(chēng)軸是否為坐標(biāo)軸.答題模板——直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系[典例]

(2012北京高考

·滿(mǎn)分14分)已知曲線(xiàn)C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．

(1)若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

(2)設(shè)m＝4，曲線(xiàn)C與y軸的交點(diǎn)為A，B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線(xiàn)y＝kx＋4與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線(xiàn)y＝1與直線(xiàn)BM交于點(diǎn)G.求證：A，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)．[快速規(guī)范審題][準(zhǔn)確規(guī)范答題]

聯(lián)立消元后易忽視Δ＞0這一前提條件．不會(huì)將三點(diǎn)共線(xiàn)轉(zhuǎn)化為斜率相等去證明．整體運(yùn)算不準(zhǔn)確，導(dǎo)致推證不出正確的結(jié)論．[答題模板速成]解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題的解題步驟：第一步審清題意分析條件，確定相應(yīng)的曲線(xiàn)方程?第二步聯(lián)立方程聯(lián)立方程消元后保證Δ的取值，利用根與系數(shù)關(guān)系建立兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系第三步問(wèn)題轉(zhuǎn)化求解將所給定的問(wèn)題坐標(biāo)化、方程化，轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注意整體運(yùn)算中x1＋x2，x1x2的運(yùn)用?第四步得結(jié)論解決問(wèn)題得出結(jié)論?第五步反思回顧反思回顧解題過(guò)程，檢查步驟是否完備?“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（五十三）”答案：2(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(1)求該曲線(xiàn)C的方程；[備考方向要明了]1.了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．2.了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用、了解雙曲線(xiàn)的實(shí)際背景、了解雙曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界或解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.考什么1.雙曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程是高考?？純?nèi)容，三種題型均有可能，高考對(duì)雙曲線(xiàn)的要求比橢圓要低，難度為中低檔，如2012年大綱全國(guó)T8，新課標(biāo)全國(guó)T8等．2.直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)也是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，多以解答題形式考查，題目難度較大.怎么考[歸納·知識(shí)整合]1．雙曲線(xiàn)的定義滿(mǎn)足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)

(1)在平面內(nèi)；

(2)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的___________為一定值；

(3)這一定值一定要

兩定點(diǎn)的距離．

[探究]

1.與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定為雙曲線(xiàn)嗎？

提示：只有當(dāng)2a<|F1F2|且2a≠0時(shí)，軌跡才是雙曲線(xiàn)；若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；若2a>|F1F2|，則軌跡不存在．差的絕對(duì)值小于2．雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)坐標(biāo)軸原點(diǎn)坐標(biāo)軸原點(diǎn)(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)a2＋b22a2b[探究]

2.雙曲線(xiàn)的離心率的大小與雙曲線(xiàn)“開(kāi)口”大小有怎樣的關(guān)系？提示：離心率越大，雙曲線(xiàn)的“開(kāi)口”越大．

3．等軸雙曲線(xiàn)

等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)叫做等軸雙曲線(xiàn)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，離心率e＝____，漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_________.實(shí)軸與虛軸y＝±x[自測(cè)·牛刀小試]1．雙曲線(xiàn)2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是 (

)答案：C

解析：由題意知，a＝2，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝4.A．k>5 B．2<k<5C．－2<k<2 D．－2<k<2或k>5解析：由題意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－2<k<2或k>5.答案：D

答案：D

A．1或5B．6C．7D．9答案：C

5．已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線(xiàn)方程為_(kāi)_______．雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程[例1]

(1)(2012·大綱全國(guó)卷)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C：x2－y2＝2的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝ (

)[答案]

(1)C

(2)B雙曲線(xiàn)定義運(yùn)用中的兩個(gè)注意點(diǎn)

(1)在解決與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)有關(guān)的距離問(wèn)題時(shí)，通?？紤]利用雙曲線(xiàn)的定義;

(2)在運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義解題時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清楚指整條雙曲線(xiàn)還是雙曲線(xiàn)的一支．

答案：A

A．2B．3C．4D．6答案：B

雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)及應(yīng)用答案：(1)C

(2)C—————————————————研究雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)實(shí)半軸、虛半軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個(gè)重點(diǎn)；答案：C

直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

[例3]

已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)F(－2,0)．

(1)求雙曲線(xiàn)方程；求解雙曲線(xiàn)綜合問(wèn)題的主要方法(1)求雙曲線(xiàn)的離心率；(1)定義法，根據(jù)題目的條件，若滿(mǎn)足定義，求出相應(yīng)a，b，c即可求得方程．(2)待定系數(shù)法

雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)從以下三點(diǎn)關(guān)注：(1)“六點(diǎn)”：兩焦點(diǎn)、兩頂點(diǎn)、兩虛軸端點(diǎn)；

(2)“四線(xiàn)”：兩對(duì)稱(chēng)軸(實(shí)、虛軸)，兩漸近線(xiàn)；

(3)“兩形”：中心、頂點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形，雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)(不包括頂點(diǎn))與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形．(1)區(qū)分雙曲線(xiàn)中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線(xiàn)中c2＝a2＋b2.(2)雙曲線(xiàn)的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈(0,1)．易誤警示——雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的解題誤區(qū)[答案]

A(1)因?qū)﹄p曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)不清，誤以為c＝10，錯(cuò)選C；

(3)解決與雙曲線(xiàn)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還易出現(xiàn)對(duì)a，b，c之間的關(guān)系式c2＝a2＋b2與橢圓中a，b，c之間的關(guān)系式a2＝c2＋b2的混淆，從而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤等．答案：2“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（五十四）”答案：D

[備考方向要明了]1.掌握拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率等)．2.了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．了解拋物線(xiàn)的實(shí)際背景，了解拋物線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.考什么1.拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，三種題型均有可能，難度為中低檔，如2012年陜西T13等．2.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)問(wèn)題是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，多以解答題形式考查，難度中等偏上.怎么考[歸納·知識(shí)整合]1．拋物線(xiàn)的定義滿(mǎn)足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)：

(1)在平面內(nèi)；

(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F距離與到定直線(xiàn)l的距離

；

(3)定點(diǎn)

定直線(xiàn)上．

[探究]

1.當(dāng)定點(diǎn)F在定直線(xiàn)l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

提示：當(dāng)定點(diǎn)F在定直線(xiàn)l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)F且與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)．相等不在2．拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)M(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0有何關(guān)系？若拋物線(xiàn)方程為x2＝2py(p>0)，結(jié)果如何？2．拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離圖形1[自測(cè)·牛刀小試]1．設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－2，則拋物線(xiàn)的方程是 (

)A．y2＝－8x

B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x解析：拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－2知p＝4，且開(kāi)口向右，故拋物線(xiàn)方程為y2＝8x.答案：C

2．已知d為拋物線(xiàn)y＝2px2(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，則pd等于 (

)答案:D

4．若點(diǎn)(3,1)是拋物線(xiàn)y2＝2px的一條弦的中心，且這條弦所在直線(xiàn)的斜率為2，則p＝________.答案：2拋物線(xiàn)的定義及應(yīng)用

[例1]設(shè)P是拋物線(xiàn)y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線(xiàn)x＝－1的距離之和的最小值；

(2)若B(3,2)