移動(dòng)的最小二乘法mo傾城leassshr求解邊值問(wèn)題的改進(jìn)

移動(dòng)的最小二乘法mo傾城leassshr求解邊值問(wèn)題的改進(jìn)

1dem與東單元由于移動(dòng)最小二乘法（mls）數(shù)據(jù)，可以從幾個(gè)不相關(guān)節(jié)點(diǎn)中的數(shù)據(jù)調(diào)整函數(shù)。該函數(shù)平滑度好，導(dǎo)數(shù)集連續(xù)。文在求解邊值問(wèn)題偏微分方程數(shù)值解時(shí),用MLS構(gòu)造位移函數(shù),這種位移函數(shù)的形成及區(qū)域積分的實(shí)現(xiàn)都可以脫離單元的概念。這一求解過(guò)程被稱為DEM。文對(duì)此做了進(jìn)一步改進(jìn),使得DEM求解精度更高、更具發(fā)展前途。這種改進(jìn)后的DEM被稱為EFGM。目前,EFGM主要用于模擬裂紋擴(kuò)展;當(dāng)然,該法在巖土工程中也有一定的應(yīng)用前景,比如該法可求解非飽和土問(wèn)題。關(guān)于EFGM的基本原理,此處不再贅述,詳見(jiàn)文。這里只介紹對(duì)EFGM的兩點(diǎn)補(bǔ)充,即EFGM如何求解集中力荷載問(wèn)題和EFGM的點(diǎn)積分實(shí)現(xiàn)形式。2分布力p的測(cè)定為方便討論,首先寫出EFGM的控制方程:若問(wèn)題的力邊界Γt上某點(diǎn)xo處作用一集中力P(見(jiàn)圖1),則可將P用分布力tˉtˉ(x)來(lái)表示。tˉtˉ(x)滿足且引入δ函數(shù)且則分布力可用δ表示為又,對(duì)連續(xù)函數(shù)g(x)來(lái)說(shuō),δ函數(shù)具有如下的性質(zhì):將式(4a),(4b)代入式(1b)中的第二項(xiàng)得因此,對(duì)體力、面力、集中力都存在的情況,只需將式(1b)改為3點(diǎn)積分形式EFGM并不是完全無(wú)網(wǎng)格,其位移函數(shù)的構(gòu)造可以脫離網(wǎng)格,而區(qū)域積分是借助一個(gè)背景網(wǎng)格(即cell結(jié)構(gòu))實(shí)現(xiàn)的。若能拋棄背景網(wǎng)格,使EFGM完全無(wú)網(wǎng)格化,程序設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)存儲(chǔ)無(wú)疑會(huì)得到簡(jiǎn)化。若拋棄背景網(wǎng)格,必須在求解域內(nèi)指定一些點(diǎn),在這些點(diǎn)上計(jì)算控制方程中的總剛及荷載矩陣。即,以點(diǎn)積分的形式實(shí)現(xiàn)EFGM。文介紹了EFGM的一種點(diǎn)積分形式。其作法是,在能量泛函中增加一穩(wěn)定項(xiàng)(該穩(wěn)定項(xiàng)中含有一個(gè)參數(shù)——穩(wěn)定系數(shù)),得到相應(yīng)的控制方程,從而將區(qū)域內(nèi)積分轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)上的積分。據(jù)文介紹,該法是可行的。但作者認(rèn)為,這種方法計(jì)算過(guò)程復(fù)雜,而且還要選擇穩(wěn)定系數(shù)。穩(wěn)定系數(shù)的選擇對(duì)計(jì)算結(jié)果有較大影響。原始的EFGM在完成區(qū)域內(nèi)積分時(shí),將區(qū)域劃分成子域cell結(jié)構(gòu),在每個(gè)cell內(nèi)采用高階高斯積分。文認(rèn)為在小cell內(nèi)采用低階高斯積分,比在大cell內(nèi)采用高階高斯積分得到的解答好?；谶@樣的思路,作者有理由認(rèn)為,當(dāng)子域cell劃分得足夠小時(shí),可將每個(gè)cell內(nèi)積分用其中心點(diǎn)上的積分代替。這便是本文建議的EFGM點(diǎn)積分形式。與原始的EFGM高斯積分相比,本文建議的點(diǎn)積分形式具有如下的特點(diǎn):(1)簡(jiǎn)化程序設(shè)計(jì)。不需要將求解域剖分成子域,數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量也相應(yīng)減小。對(duì)三維問(wèn)題,這一優(yōu)點(diǎn)可能更突出。(2)提高計(jì)算速度。積分點(diǎn)可通過(guò)增加步長(zhǎng)獲得,不必通過(guò)坐標(biāo)變換求高斯點(diǎn)。(3)基本維持求解精度,求解精度僅有稍許下降(見(jiàn)后面算例)。與文中的點(diǎn)積分形式相比,本文建議的方法具有下面的特點(diǎn):(1)計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單,(2)需選擇的參數(shù)少。4懸臂梁端部受集中力所有算例都選用線性基。算例不僅表明對(duì)集中力荷載問(wèn)題使用本文的方法是可行的,而且表明本文建議的EFGM點(diǎn)積分形式的可行性。算例1半無(wú)限體邊界作用法向集中力文給出該問(wèn)題的應(yīng)力精確解。本文取坐標(biāo)系為圖2(a),相應(yīng)的應(yīng)力精確解為考慮問(wèn)題的對(duì)稱性,取計(jì)算范圍、荷載及約束情況如圖2(b)所示。本例中取L=5m,H=10m,P=1N。共布下231個(gè)均勻節(jié)點(diǎn)(11×21),權(quán)函數(shù)中取dm=2m,c=0.5m。按兩種方案進(jìn)行計(jì)算——高斯積分和點(diǎn)積分。采用高斯積分時(shí),計(jì)算域劃分10×20個(gè)cell,每個(gè)cell中采用4×4高斯積分;采用點(diǎn)積分時(shí),區(qū)域內(nèi)積分在40×80個(gè)積分點(diǎn)上得到。高斯積分中總積分點(diǎn)數(shù)(40×80)等于點(diǎn)積分的總積分點(diǎn)數(shù)(40×80)。計(jì)算表明,遠(yuǎn)處的應(yīng)力趨于零;距荷載作用點(diǎn)非常近的區(qū)域,EFGM計(jì)算結(jié)果與精確解有些差別;在荷載作用點(diǎn)附近,EFGM計(jì)算結(jié)果與精確解吻合得很好。表1僅列出該區(qū)域幾個(gè)點(diǎn)Y向應(yīng)力。算例2懸臂梁端部受集中力作用本算例如圖3所示,該問(wèn)題的精確解為文無(wú)法求解集中力荷載問(wèn)題,而是在右端施加與式(7c)～(7e)對(duì)應(yīng)的分布面力,從而得到解答。本文可按式(1b′)直接求解這類問(wèn)題。本例中,取L=8m,D=1m,P=1N,E=105Pa,ν=0.25。共布下55個(gè)均勻節(jié)點(diǎn)(11×5),權(quán)函數(shù)中取dm=4m,c=0.8m。按兩種方案進(jìn)行計(jì)算——高斯積分和點(diǎn)積分。采用高斯積分時(shí),計(jì)算域劃分10×4個(gè)cell,每個(gè)cell中采用5×5高斯積分;采用點(diǎn)積分時(shí),區(qū)域內(nèi)積分在40×15個(gè)積分點(diǎn)上得到。高斯積分中總積分點(diǎn)數(shù)(40×25)大于點(diǎn)積分的總積分點(diǎn)數(shù)(40×15)。由EFGM計(jì)算的位移(v)、應(yīng)力(σx)與精確解比較見(jiàn)表2,3。5點(diǎn)積分的總積分本文探討如何用EFGM求解集中力荷載問(wèn)題,并建議EFGM的一種點(diǎn)積分形式。算例表明本文方法的可行性。點(diǎn)積分實(shí)現(xiàn)EFGM時(shí),積分點(diǎn)多少個(gè)合適,本文沒(méi)有給出理論上的證明。從算例來(lái)看,點(diǎn)積分的總積分點(diǎn)數(shù)與高斯積分的總積分點(diǎn)數(shù)大致相當(dāng)即可。對(duì)于曲邊邊界,EFGM采用背景網(wǎng)格積分時(shí)是這樣處理的,若高斯點(diǎn)在求解域內(nèi),保留該高斯點(diǎn);否則,舍棄該