數(shù)列極限的幾何意義

數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，它在幾何學(xué)中也有著重要的應(yīng)用。數(shù)列極限的幾何意義是指，當(dāng)一個(gè)數(shù)列中的數(shù)值趨近于某個(gè)值時(shí)，這個(gè)值就是數(shù)列的極限。在幾何學(xué)中，數(shù)列極限可以用來描述一些重要的幾何概念，例如曲線的切線、曲面的切平面等。我們來看一下曲線的切線。曲線的切線是指在曲線上某一點(diǎn)處的切線，它是曲線在該點(diǎn)處的局部近似。當(dāng)我們用數(shù)列極限來描述曲線的切線時(shí)，我們可以將曲線上的點(diǎn)看作是數(shù)列中的數(shù)值，而曲線的切線則是數(shù)列的極限。例如，在曲線y=x2上，當(dāng)X趨近于1時(shí)，y的值也會(huì)趨近于1。因此，曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線就是數(shù)列{y}的極限，其中y_n=xn^2,Xn趨近于1。另一個(gè)重要的幾何概念是曲面的切平面。曲面的切平面是指在曲面上某一點(diǎn)處的切平面，它是曲面在該點(diǎn)處的局部近似。當(dāng)我們用數(shù)列極限來描述曲面的切平面時(shí)，我們可以將曲面上的點(diǎn)看作是數(shù)列中的數(shù)值，而曲面的切平面則是數(shù)列的極限。例如，在曲面Z=x2+y^2上，當(dāng)X和y趨近于0時(shí)，z的值也會(huì)趨近于0。因此，曲面在點(diǎn)(0,0,0)處的切平面就是數(shù)列{z}的極限，其中z_n=n2+y_n2,xn和y_n趨近于0。數(shù)列極限在幾何學(xué)中有著重要的應(yīng)用，它可以用來描述曲線的切線、曲面的切平面等重要的幾何概念。通過數(shù)列極限的幾何意義，我們可以更加深入地理解這些幾何概念，并且可以更加準(zhǔn)確地描述它們。

數(shù)列極限數(shù)學(xué)的起源來自于人們的生產(chǎn)實(shí)踐。早期原始社會(huì)的人們過著群居生活，生產(chǎn)力水平的低下導(dǎo)致他們不得不花費(fèi)心思去思考如何分配僅有的糧食，維持整個(gè)部落的發(fā)展。因此最開始的“數(shù)學(xué)”是真正的數(shù)學(xué)——有關(guān)于正整數(shù)的研究。前些年有幸聽到北京大學(xué)丘維聲教授的講課錄音，其中講到辛空間的時(shí)候他說：“實(shí)際上數(shù)論才是血統(tǒng)最純正的數(shù)學(xué)……”所以在微積分起源發(fā)展的過程中，諸如Leibniz等數(shù)學(xué)大師特別注重對(duì)離散極限及其和式（這就是后面的無窮級(jí)數(shù)）的研究，并提出了一系列理論（神奇的是這些理論在復(fù)變函數(shù)論還能被人們有效使用，并且發(fā)展成更高級(jí)的留數(shù)理論）。01極限的“ε-δ”語言這個(gè)定義相信大家都比較熟悉，但是很多人看了之后，心里總會(huì)產(chǎn)生這樣的想法：這些都是神馬玩意，又是ε又是δ的?。ㄟ@個(gè)定義反映出數(shù)學(xué)分析的抽象性，對(duì)于初學(xué)者確實(shí)不怎么友好；但是很遺憾，后面的許多定理，諸如定積分的定義，重積分的計(jì)算公式，第二類曲面曲線積分的計(jì)算方法鄧***都要用到這個(gè)定義去證明。所以我們很有必要反復(fù)溫習(xí)這個(gè)定義）在ε-δ語言中，如果我們關(guān)注這個(gè)不等式：的幾何意義，我們就不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)不等式反映了當(dāng)正整數(shù)n充分增長(zhǎng)時(shí)，數(shù)列{xn}到原點(diǎn)的距離；如果這個(gè)不等式確實(shí)可以找到確定的實(shí)數(shù)a成立，那么我們就說數(shù)列{xn}收斂于a；這里需要特別注意，數(shù)列不收斂（也叫發(fā)散）的情況有幾種？①當(dāng)n→∞時(shí)，xn→∞，換言之，數(shù)列{xn}可以無限增長(zhǎng)；②數(shù)列{xn}有界，但是當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{xn}的增長(zhǎng)方向不確定，例如數(shù)列{cosnπ}，當(dāng)n=1，3，5…時(shí)cosnπ=-1；當(dāng)n=2，4，6，…時(shí)，cosnπ=1，換言之兩個(gè)子列極限不唯一，原數(shù)列并不收斂。這兩種情況反映出數(shù)列收斂的兩個(gè)性質(zhì)：①增長(zhǎng)速度必須有度，數(shù)列必須有界；②數(shù)列的增長(zhǎng)方向必須有唯一性。實(shí)際上，這兩條對(duì)于函數(shù)極限仍然有效。【例1】求下列極限：【分析】這個(gè)題目當(dāng)時(shí)被命題人放在第二個(gè)填空的位置（期末考試沒有選擇題），很多人看到這個(gè)題目，第一眼想到的就是通分然后考慮使用L'Hospital。首先說，這個(gè)想法并沒有錯(cuò)，畢竟洛必達(dá)法則是求未定式極限的重要手段。但是這是第二個(gè)填空題，對(duì)函數(shù)y=xcotx-1求導(dǎo)的計(jì)算量實(shí)在是過分的大，對(duì)于一個(gè)填空題（而且位置如此靠前）而言這實(shí)在是得不償失。其次，我們考慮極限定義的幾何意義與等價(jià)無窮小x∽tanx，既然極限定義的幾何意義是到原點(diǎn)的距離，那么在x→0時(shí)，tanx與x到原點(diǎn)的距離是等價(jià)小的，取倒數(shù)之后我們?nèi)匀豢梢詳喽ㄔ谠c(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，1/tanx（亦即cotx）與1/x到原點(diǎn)的距離仍然是等價(jià)無窮大量，因此這個(gè)題目答案就是0（這只是一個(gè)思考方式，在正式場(chǎng)合不能夠亂用）。（PS：當(dāng)時(shí)我在考場(chǎng)上做這道題目，瞥見旁邊的好幾位仁兄仍然堅(jiān)持不懈用洛必達(dá)法則還沒出結(jié)果，而我已經(jīng)做完第一面試卷，我那時(shí)感受到“人類的悲歡并不相同”這句話在高等數(shù)學(xué)的真切應(yīng)用不過很快打臉的事情就來了，那時(shí)候我的監(jiān)考教師就是我的數(shù)學(xué)教授，他看我在那里捂著嘴偷笑，就走到我身邊拾起我的卷子看了一眼，然后一邊剔牙一邊搖頭，背著手就走了，我當(dāng)時(shí)心里涼了半截。后來才知道我整張卷子就錯(cuò)了一個(gè)最簡(jiǎn)單的問題：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間被我寫反了，這么低級(jí)的錯(cuò)誤發(fā)生在我身上，他覺得不可思議，那個(gè)寒假我和他私聊，他批評(píng)了我這一點(diǎn)，說凡事都要認(rèn)真，最簡(jiǎn)單的計(jì)算出錯(cuò)，很可惜的）后面我們會(huì)學(xué)到Riamman更序定理，這個(gè)定理告訴我們，如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn在n→∞時(shí)也收斂，那么和式Sn中每一項(xiàng)可以隨意更換次序的必要條件是數(shù)列{〡an〡}的前n項(xiàng)和在n→∞時(shí)也收斂。用黎曼的話說，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)可以隨意調(diào)換和式每一部分的位置而不改變?cè)袠O限值的大小。在這里我們放上圖片以供參考：注意：這個(gè)不是極限發(fā)散的例子，因?yàn)檫@兩個(gè)極限不是同一極限，因此還是需要加以區(qū)分的。02遞推公式與等比數(shù)列考慮一個(gè)問題：斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……，這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。這個(gè)問題相信大家都很熟悉。那么好，請(qǐng)大家考慮這么一個(gè)問題，如何求出它的通項(xiàng)公式？有的人說數(shù)學(xué)分析最常用的兩句話是“這玩意也要證？！”與“這玩意也能證？！”其實(shí)是可以的，參見《高等代數(shù)》（北京大學(xué)出版社第五版向量空間這一單元，有詳細(xì)過程）。但是對(duì)于目前而言，很多極限我們只能判定它的存在，并不能直接求出極限值。判定存在的方法最常用的有比較審斂法（俗稱放縮法），判定的準(zhǔn)則是與等比數(shù)列作比較。【例2】已知函數(shù)：且{an}滿足an+1=f（an），a1=1，求{an}的極限。【分析】做過高中聯(lián)賽的都知道這種遞推公式有一個(gè)叫做特征根的辦法求通項(xiàng)公式（上面斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式就是特征根公式求出來的），但是很明顯要花很大力氣，高等數(shù)學(xué)的辦法是討論它的兩個(gè)子數(shù)列，我們換一種方式。這里我們可以采用與等比數(shù)列比較的辦法做下去?！敬鸢浮靠紤]證明不等式：并且注意到不等式的左端有一個(gè)隱含條件：絕對(duì)值大于等于0；什么？你問我這個(gè)不等式怎么想出來的？我問你泛函分析與實(shí)變函數(shù)構(gòu)造的函數(shù)都是怎么想出來的？！然后在已經(jīng)證明的結(jié)論左右兩側(cè)取極限，并且注意到常數(shù)的極限是