基于相量導數(shù)的相量測量建模與相量測量

基于相量導數(shù)的相量測量建模與相量測量

0測量精度的提高區(qū)域測量系統(tǒng)（wams）是一種新有效的電網(wǎng)動態(tài)監(jiān)控系統(tǒng)。WAMS要求對數(shù)據(jù)的采集具有同步性，還要求對數(shù)據(jù)的處理結(jié)果是帶有精確時標的相量數(shù)據(jù)，因此同步相量測量單元(phasormeasurementunit,PMU)是實現(xiàn)WAMS的基礎(chǔ)和核心，因此，優(yōu)秀的PMU算法能提高電力系統(tǒng)的保護監(jiān)控能力、能更好地確保電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行；算法的精度直接影響到電力系統(tǒng)穩(wěn)定控制、故障分析及繼電保護等高級應(yīng)用的準確性。為提高PMU算法的測量精度并使之滿足動態(tài)情況下工程應(yīng)用的要求，國內(nèi)外學者提出了多種相量測量算法并取得了一定成效，如過零檢測法、離散傅里葉變換法(discreteFouriertransform,DFT)以及小相量法。過零檢測法原理簡單、硬軟件實現(xiàn)容易，但由于電壓過零點處諧波和噪聲的影響以及檢測電路的不一致性，給實際計算帶來較大的誤差；DFT法由于計算速度快、精度高，并且對諧波有較好的抑制作用，從而得到廣泛應(yīng)用，但其沒有考慮信號相量的動態(tài)特性，并且無法保證采樣頻率為系統(tǒng)頻率的整數(shù)倍，因此會產(chǎn)生頻譜泄漏現(xiàn)象而影響相量測量的精度；而小相量法則由于較弱的諧波抑制特性而不能在同步相量測量領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。文獻提出了一種改進相位差的相量測量算法，該算法相對于傳統(tǒng)的DFT算法，計算精度有了較大提高，但其假設(shè)前題是信號的幅值保持不變，因此對于低頻振蕩等情況下幅值時刻變化的信號，其相量測量精度就無法達到實際應(yīng)用的要求?？紤]到泰勒級數(shù)是表征信號動態(tài)特性的一個有力工具，本文將其引入到電力信號動態(tài)相量的表示中，并通過相量導數(shù)來修正動態(tài)特性對相量測量的影響，從而提高了動態(tài)條件下相量測量的精度。1理論分析1.1電力信號動態(tài)特性為更好地模擬各種工況(包括動態(tài)條件)下的電壓、電流信號，本文用低頻帶限信號與旋轉(zhuǎn)向量相調(diào)制得到的信號實部來表示電力信號x(t)以及電力信號相量X(t)：式中：f為系統(tǒng)的基波頻率；a(t)為低頻帶限信號在t時刻的相量值。在靜態(tài)條件下，a(t)為一常量，利用傳統(tǒng)的相量測量算法就能較精確地計算出t時刻的電力信號相量值X(t)；但在動態(tài)條件下，a(t)為一時變量，因此將a(t)視為常量的相量測量算法會引起較大的計算誤差，從而無法滿足實際應(yīng)用的要求?？紤]到泰勒級數(shù)在表征信號動態(tài)特性方面的獨特優(yōu)勢，本文引入泰勒級數(shù)來表示低頻帶限信號的相量值a(t)，如式(2)所示：式中：a0為參考時刻tw時的信號相量值(通常令tw等于采樣數(shù)據(jù)窗的中心時刻)；a(n)為a(t)在tw時刻的n階導數(shù)。n的取值越大，a(t)越接近tw時刻的相量真實值，但同時所需的運算量越大、算法延時越長，故在實際應(yīng)用中需權(quán)衡n的取值。由于電力信號是一種緩慢變化的信號，有限階導數(shù)就可以較為精確地表示信號的動態(tài)特性，本文為了簡化公式的推導，取1階泰勒級數(shù)來近似表示信號的動態(tài)特性，對于更高階的表示形式可用類似方法推導?；?階泰勒模型(即n=1)的低頻帶限信號如式(3)所示：式中a(1)為a(t)在tw時刻的1階導數(shù)。將式(3)代入式(1)，就得到1階泰勒展開形式的電力信號動態(tài)模型，如式(4)所示：以采樣頻率fs(則采樣周期為Ts)對x(t)進行采樣，可得離散化的電力信號動態(tài)模型，如式(5)所示：式中：tk=kTs為第k個數(shù)據(jù)點的采樣時刻；ω0=2πfTs為采樣角頻率。1.2．相量相關(guān)關(guān)系為獲得電力信號的相量值，對電力信號進行加窗離散傅里葉變換。設(shè)h(k)(當且僅當0≤k≤N-1時，h(k)≠0)是一長為N(實際應(yīng)用中，N通常為偶數(shù))的窗函數(shù)序列，用h(k)對采樣序列x(k)進行加窗處理，再對得到的長度為N的數(shù)據(jù)窗序列進行傅里葉變換，參考時刻取為數(shù)據(jù)窗的中心時刻，即取w=N/2-1/2，則tw=(N/2-1/2)Ts，數(shù)據(jù)窗內(nèi)相對于參考時刻的傅里葉變換結(jié)果可表示為(本文用下標i-1和i分別表示上一數(shù)據(jù)窗和當前數(shù)據(jù)窗數(shù)據(jù))：由式(6)可知，對于確定的窗函數(shù)序列h(k)，式中第1項只與參考時刻的相量值a0有關(guān)，是有用信息項；第2項為相量偏移量，它產(chǎn)生一個固定的偏移誤差；而第3、4項為負方向的旋轉(zhuǎn)誤差量，它產(chǎn)生一個2倍于基波頻率的波動誤差。為得到線性相位的特性，h(k)通常取為一關(guān)于窗中心實對稱的序列，則存在下列的關(guān)系：即通過對窗函數(shù)與參考時刻的恰當選取可有效減小零頻率處的一次頻響導數(shù)對相量測量精度的影響，則對當前窗數(shù)據(jù)的傅里葉變換結(jié)果可簡化為由式(9)可知，要獲得參考時刻的帶限信號相量值a0，首先就要表示出反映相量變化趨勢的a(1)，而由于實際的電力系統(tǒng)是一個大慣性系統(tǒng)，電力信號是緩變的而且相鄰時刻的信號是相關(guān)的，故a(1)可以通過相鄰數(shù)據(jù)窗的傅里葉變換結(jié)果來近似表示，其中相鄰2個窗函數(shù)的變換結(jié)果之差可由式(9)推導得到：式中:分別為當前數(shù)據(jù)窗與上一數(shù)據(jù)窗的相量測量值；m為2個數(shù)據(jù)窗中心之間的距離，乘以ejmω0的目的是通過相移上一窗函數(shù)的相量測量值X)i-1，從而使得2個數(shù)據(jù)窗的相量測量值都以當前數(shù)據(jù)窗的中心時刻為參考時刻。由式(10)可得此參考時刻帶限信號的相量1階導數(shù),其表達式為))結(jié)合式(6)～(11)得出該帶限信號在參考時刻的相量測量值，如式(12)所示：式中：P=-H(1)*(-2ω0)H(-2ω0)；Q=H(1)(-2ω0)?H*(0)。然后再根據(jù)式(1)，就可計算出被分析的電力信號在參考時刻的相量測量值可見，通過對電力信號采樣序列的加窗傅里葉變換以及窗函數(shù)頻響函數(shù)的求取，再根據(jù)式(12)就可以得出電力信號在參考時刻的相量測量值。1.3相量相移結(jié)果實際應(yīng)用中，采樣系統(tǒng)通常采用本地時間作為采樣參考時刻，而相量報告時刻則是由UTC時間確定的，故無論系統(tǒng)是采用等時間間隔采樣還是等角度間隔采樣，相量報告時刻往往都不能與數(shù)據(jù)窗參考時刻重合，因此還需將式(12)計算出的參考時刻相量值進行相移來得到報告時刻的相量值。在相移過程中，本文充分考慮到信號相量的動態(tài)特性，利用相量1階導數(shù)表示相量變化率，再根據(jù)式(1)得到相量相移結(jié)果，如式(13)：式中：tw與tr分別為當前數(shù)據(jù)窗的參考時刻(窗中心時刻)與相量報告時刻；f為當前數(shù)據(jù)窗的基波頻率；?為tw和tr之間的相角差；為電力信號在報告時刻的相量測量值?？梢姡檬?11)、(12)的計算結(jié)果并通過式(13)的計算，就可以計算出報告時刻的相量測量值，從而到達動態(tài)條件下相量測量的目的。1.4dpma算法本文所設(shè)計的基于泰勒級數(shù)的動態(tài)同步相量測量算法(dynamicphasormeasurementalgorithm,DPMA)是利用參考時刻的相量導數(shù)來消除電力信號動態(tài)特性對相量估測量的影響，從而達到減小相量測量誤差的目的。DPMA的流程如圖1所示?？偟膩碚f，DPMA通過兩大步驟來實現(xiàn)動態(tài)相量測量：1）計算參考時刻的相量測量值；2）相移參考時刻相量值到報告時刻。其中步驟1）為算法核心，它是提高相量測量算法動態(tài)性能的關(guān)鍵，它利用相鄰兩采樣數(shù)據(jù)窗的傅里葉變換結(jié)果來表示窗內(nèi)相量1階導數(shù)，并通過相量1階導數(shù)來修正相量測量值，從而減小了信號的動態(tài)特性對相量測量精度的影響，使得相量測量值更接近真實值；步驟2）通過相量測量值的相移來減小相量報告時刻與參考時刻之間的差異所帶來的相量測量誤差，進一步提高了該同步相量測量算法的精度。1.5基于動態(tài)相量測量算法的dpma為了使DPMA滿足在線應(yīng)用對運算量的要求，本文將對DPMA進行必要的假設(shè)與簡化以達到降低運算量的目的。由于在實際系統(tǒng)中，信號基波頻率f不會劇烈變化，因此本文假設(shè)采樣頻率在每個數(shù)據(jù)窗內(nèi)保持不變,那么式(11)可簡化為式(14)中，b(1)定義為每個采樣間隔的相量變化量，它是一個與時間參數(shù)無關(guān)的量。當固定頻率采樣時，當前數(shù)據(jù)窗中心與上一數(shù)據(jù)窗中心的相距點數(shù)m為一常數(shù)，而當跟蹤頻率采樣時，m會隨f而變化，但由于f只在有限范圍內(nèi)變化，故m只會在有限范圍內(nèi)取值，因此有限個的Fmi(i=1,2,3,4)可通過離線計算并制成表格，在線計算時再通過查表獲得其對應(yīng)的數(shù)值，因此，在已知Xi與Xi-1的前提下，式(14)只需4次復數(shù)乘法與3次加法就可計算出b(1)。那么，式(12)中相量測量值與相量1階導數(shù)就可以得到如式(15)所示的關(guān)系：則G1～G4可表示為雖然G1～G4形式上非常復雜，但它們的取值與信號基波頻率以及采樣間隔都是無關(guān)的，當窗函數(shù)序列h(k)的取值固定時，G1～G4的取值也可以通過先離線計算，再在線調(diào)用的方式來獲得。為此，相移函數(shù)式(13)則相應(yīng)變?yōu)橥ㄟ^以上對算法的優(yōu)化，大大降低了DPMA的運算量，使得其與具有相同數(shù)據(jù)窗長度的經(jīng)典DFT算法相比，只增加了較少的加法和乘法運算，而對于高速的DSP處理器而言，所增加的運算量是十分有限的，因此從理論上講，該動態(tài)相量測量算法完全能夠滿足現(xiàn)場應(yīng)用的要求。下文就以仿真和實際數(shù)據(jù)分析來驗證該算法的可行性和有效性。2算法評價2.1e的定義，表征總相量誤差(totalvectorerror,TVE)是相量測量算法性能的評價標準，用以檢測相量測量算法的時間同步性和相量計算誤差。eTVE的定義如式(17)所示：式中：Rr、Ri分別為相量實際值的實部、虛部；Rr(n)、Ri(n)分別為相量測量值的實部、虛部；emag與eang分別為幅值誤差以與相角誤差。eTVE值越小，表示相量測量值越接近真實值，則該相量測量算法的精度越高、性能越好；反之，則表示相量測量算法性能越差。為更客觀地評價DPMA算法的性能，假定下文研究中的時間標簽都是絕對正確的，即所有的相量測量誤差都是由于算法本身對信號動態(tài)特性的不完全表示所引起的。2.2算法性能分析DPMA可根據(jù)實際應(yīng)用的要求來選擇窗函數(shù)序列，在本文的仿真研究中，采用經(jīng)典矩形窗函數(shù)序列，并通過與DFT算法相比較來分析DPMA的算法性能。仿真中，系統(tǒng)額定基波頻率取為50Hz，以采樣頻率fs=2400Hz對信號進行等時間間隔采樣，數(shù)據(jù)窗長度取為N=96，數(shù)據(jù)窗滑動系數(shù)取為1，即每隔一點作一次相量運算。本文用線性斜波、余弦斜波和頻率偏移信號等3種不同的低頻帶限信號來模擬動態(tài)電力信號，并在各種情況下對比分析了DPMA和DFT算法的動態(tài)性能。2.3tve值的比較當系統(tǒng)發(fā)生低頻振蕩時，輸電線路兩端的電流、電壓信號的相對相角會發(fā)生翻轉(zhuǎn)，仿真中利用一線性斜波低頻帶限信號來近似模擬這一過程，設(shè)該線性斜波信號的數(shù)學表達式為該低頻帶限信號的幅值是時刻變化的，而相角會在半個振蕩周期中翻轉(zhuǎn)一次。其實部、虛部以及幅值Smag、相角?隨時間的變化曲線如圖2所示。運用經(jīng)典DFT算法以及DPMA對該斜波信號進行相量測量，并將相量測量值與相量理論真實值進行比較，得到各時刻的TVE值，如圖3所示。在振蕩過程中，DFT算法的最大TVE值出現(xiàn)在振蕩中心(100ms處)，而DPMA在此刻的TVE值卻為零，這是由于TVE表示相量測量誤差與相量真實值之比，而由圖2可知，相量真實值在振蕩中心的幅值最小，因此DFT算法在此刻的TVE值最大；而DPMA算法由于考慮了信號動態(tài)特性的影響，并利用相量一階導數(shù)進行了必要補償，從而大大減小了相量測量誤差，故其TVE值為零。圖3中2種算法的TVE值在振蕩開始與結(jié)束時，出現(xiàn)突然增大的現(xiàn)象，這是由于信號的不連續(xù)性造成的。2.4tve值對比為更好地模擬低頻振蕩信號，仿真中采用一余弦信號來代替線性斜波信號，如式(19)所示：當振蕩頻率fsp=1Hz時，應(yīng)用DFT算法和DPMA進行相量測量，2種算法的TVE值示于圖4。由于余弦信號在整個振蕩過程中都是連續(xù)的，因此，2種算法的TVE值均未出現(xiàn)突然增大的現(xiàn)象。由于余弦信號的展開式中包含無限次導數(shù)，故1階導數(shù)并不能完全消除信號動態(tài)特性對相量測量的影響，盡管如此，從圖4中可以看出，與DFT算法相比，DPMA的TVE值在整個振蕩過程中都較小，而DFT算法的TVE值不僅數(shù)值大而且波動性大。為了對比分析2種算法在振蕩條件下的相量測量性能，本文對振蕩頻率分別為2、3、4Hz的調(diào)制振蕩信號進行相量測量，其相量測量的相角、幅值誤差以及TVE值如圖5所示，其相量測量的相角、幅值誤差最大值以及TVE值的最大值，如表1所示。由圖5可知，隨著振蕩頻率fsp的增大，2種算法的TVE最大值都有所增大，但DPMA的TVE最大值都能控制在5%以內(nèi)，而DFT算法的TVE最大值則高達19.52%。2.5偏移頻率對dft算法的影響頻率偏移信號用一幅值為1、相角隨時間線性變化的復函數(shù)作為待調(diào)制信號，經(jīng)旋轉(zhuǎn)向量ej2πtfd調(diào)制后來表示，其表達式為式中fd為偏移頻率。當偏移頻率分別不同值時，DFT算法和DPMA進行相量測量的相角、幅值誤差以及TVE值如圖6所示。雖然2種算法的相量測量誤差都隨著偏移頻率的增大而增大，但是DPMA的誤差始終保持在一個較低水平而DFT算法的誤差卻隨著偏移頻率的增大而急劇增大，并且DPMA的相量測量誤差的波動性及總量都遠遠小于DFT算法。2.6系統(tǒng)無功供給不足導致信號基波頻率下降在實際電力系統(tǒng)中，電力信號的基波頻率是緩慢變化的，因此常利用等角采樣技術(shù)來有效減弱頻譜泄漏現(xiàn)象對相量測量的影響。如圖7所示為現(xiàn)場應(yīng)用中利用等角采樣技術(shù)獲得電力電壓信號及其幅值估計Rmag，此電壓信號先后受到低頻振蕩和線路故障的干擾，隨后遭遇某回路的三相同時跳闡，而后低頻振蕩現(xiàn)象消失而系統(tǒng)的有功供給不足，導致信號基波頻率下降。圖8為實際電壓信號在低頻振蕩時，信號包絡(luò)線波谷處的相量測量結(jié)果，由圖8可知，DPMA的計算結(jié)果要明顯光滑于DFT算法，這得益于DPMA的動態(tài)特性，這與前面的仿真研究中得出的結(jié)論一致。圖9(a)所示為系統(tǒng)跳閘后，有功供給不足而引起系統(tǒng)的基波頻率不斷下降時的相量測量結(jié)