《高等數(shù)學(xué)（上冊）》（陽平華）645-4教案 第七章 第28課 定積分的應(yīng)用（二）

28第28第課定積分的應(yīng)用（二）定積分的應(yīng)用（二）定積分的應(yīng)用（二）第課28PAGE8 PAGE8PAGE7 PAGE7定積分的應(yīng)用（二）定積分的應(yīng)用（二）第課28

課題定積分的應(yīng)用（二）——定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用、定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）了解定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用。（2）了解定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。思政育人目標(biāo)：通過介紹定積分在物理領(lǐng)域和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識，達(dá)到學(xué)以致用的目的。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用、定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】講解定積分在“變力沿直線所做的功”問題中的應(yīng)用從物理學(xué)知道，當(dāng)物體在恒力的作用下，沿力的方向做直線運(yùn)動，將物體移動了距離時，力所做的功為．但在實(shí)際問題中，常常需要計算變力所做的功，下面我們通過舉例來說明如何計算變力沿直線所做的功．例1設(shè)40N的力使彈簧從自然長度10cm拉長到15cm，問需要做多大的功才能克服彈性恢復(fù)力，將伸長的彈簧從15cm處再拉長3cm？解如圖7-19所示，根據(jù)胡克定律，有．當(dāng)彈簧從10cm拉長到15cm時，它伸長量為．因有，即，故得．于是可得到，則功元素為．于是，彈簧從15cm拉長到18cm，所做的功為．圖7-19例2一圓柱形的貯水桶高為5m，底面半徑為3m，桶內(nèi)盛滿了水．試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需做多少功？（水的密度取，重力加速度g?。┙馊鐖D7-20所示，作軸，并取深度為積分變量，則它的變化區(qū)間為，相應(yīng)于上任意小區(qū)間的一薄層水的高度為．因此，如果的單位為m，則這薄層水的重力為

，這薄層水被吸出桶外需做的功，即功元素為，于是所求的功為圖7-20【教師】講解定積分在“水壓力”問題中的應(yīng)用由物理學(xué)知識可知：在水深為h處點(diǎn)的壓強(qiáng)為，這里是水的密度，如果有一面積為A的平板水平地放置在水深h處，那么平板一側(cè)所受的水壓力為．如果這個平板鉛直放置在水中，那么由于水深不同，平板上各點(diǎn)處的壓強(qiáng)p也不相等，所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算．例3一矩形閘門垂直立于水中，寬為10m，高為6m，問閘門上邊界在水面下多少米時，它所受的壓力等于上邊界與水面相齊時所受壓力的兩倍．解設(shè)所求高度為，建立如圖7-21所示的坐標(biāo)系，任取小區(qū)間，小區(qū)間上壓力元素為．于是，由題意得，即解得．圖7-21【教師】講解定積分在“引力”問題中的應(yīng)用由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為，，相距r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力大小為．其中G為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)連線方向．計算一根細(xì)棒對一個質(zhì)點(diǎn)的引力時，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對該質(zhì)點(diǎn)引力的方向也是變化的，不能直接用上述公式來計算，而要結(jié)合微元法來計算．例4設(shè)有一長度為l、線密度為的均勻細(xì)直棒，在其垂線上距棒單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，試計算該棒對質(zhì)點(diǎn)M的引力．解取如圖7-22所示坐標(biāo)系，使細(xì)棒位于y軸，質(zhì)點(diǎn)M位于x軸，棒的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，由對稱性知，引力在垂直方向上的分量為零，所以只需求引力在水平方向的分量．取y為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上取長為的一小段，其質(zhì)量為，與M相距．于是在水平方向上，引力元素為，則引力在水平方向的分量為．圖7-22【學(xué)生】掌握定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用學(xué)習(xí)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（20min）【教師】講解定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)問題中，常常要涉及總產(chǎn)量、總收入、總成本等許多經(jīng)濟(jì)總量，這些總量可由其邊際量通過積分方法求得．一般地，有以下幾種常見的情況：（1）已知邊際成本，固定成本，則總成本的函數(shù)為或產(chǎn)量由變到時，總成本的改變量為或；（2）已知邊際收入，則總收入函數(shù)為或產(chǎn)量由變到時，總收入的改變量為或；（3）已知固定成本，邊際利潤，則總利潤函數(shù)為或產(chǎn)量由變到時，總利潤的改變量為或．例1設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本為，固定成本為50．求總成本函數(shù)．解法一．解法二，又因?yàn)椋?，故．?已知某產(chǎn)品的銷售量為時，收入變化率為．求（1）銷售量為10時的總收入；（2）銷售量從20到30時，總收入是多少？解（1），即銷售量為10時，總收入為950；（2），即銷售量從20到30時總收入為750．例3某企業(yè)每月生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時，其邊際成本函數(shù)為（單位：萬元），固定成本為20萬元，邊際收益為（單位：萬元）．求：（1）每月生產(chǎn)多少個單位產(chǎn)品時，利潤最大？（2）當(dāng)利潤達(dá)到最大時，再多生產(chǎn)10個單位，利潤將有什么變化？解（1）因?yàn)?/p>

．要使利潤最大，應(yīng)有，即，解得．又因，故唯一的駐點(diǎn)即為最大值點(diǎn)．所以每月生產(chǎn)10個單位產(chǎn)品時利潤最大．（2）再多生產(chǎn)10個單位產(chǎn)品時，利潤變化為，所以，再多生產(chǎn)10個單位時，利潤將減少250萬元．【學(xué)生】掌握定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用學(xué)習(xí)定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題1．利用微元法計算實(shí)際應(yīng)用問題時，應(yīng)注意什么？2．研究一下微元法在其他領(lǐng)域的應(yīng)用．【學(xué)生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解課堂測驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了定積分在物理和經(jīng)濟(jì)分析上的應(yīng)用。物理上的應(yīng)用包括求變力沿直線所做的功、水壓力和引力；經(jīng)濟(jì)分析上的應(yīng)用主要介紹了通過邊際量求相應(yīng)的總產(chǎn)量、總收入、總成本等經(jīng)濟(jì)總量。課后大